深圳市第二高级中学2012高二期中考试（选修2-2选修2—3）

1、20112012学年深圳市第二高级中学第三学段考试高 二 数 学（理科） 试 题时间：120分钟 满分： 150分 命题人：殷木森 审题人：廖国平第卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等写在答题卷上指定位置，并将试卷类型（A）和考生号的对应数字方格用2B铅笔涂黑；2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案，不能答在试卷上；其他题直接答在试卷中指定的地方。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填涂在答题卡上1. 有一段演绎推理是这样的：

2、“指数函数是增函数；是指数函数；是增函数”，结论显然是错误的，原因是 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误2. 有两组平行线，一组有条，另一组有条，这两组平行线相交，可以构成（ ）个平行四边形.A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中第项的二项式系数是 A. B. C. D.4. 在复平面内，复数对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5. 把一枚硬币连续抛掷两次，事件“第一次出现正面”,事件“第二次出现正面”，则等于A B C D6. 已知，是的导函数，即，则A B C D7. 已知和式当时，无限趋近于一个常数，则可用定积分表示为AB C

3、D8.高二年级某三个班级参加“深圳市第二高级中学第一届数学竞赛”分别有名同学获奖，并站成一排合影留念，若相同班级的同学不能相邻，则有（ ）种排法.A B C D第卷 非选择题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请把答案填在答卷内9设随机变量的分布列如下表所示，且，则 .10. 已知自由落体的运动方程为， 则在到这一段时间内落体的平均速度为 ，落体在时的瞬时速度为 .11. 已知二项式的展开式中含项的系数与复数的模相等，则 12. 与直线垂直的抛物线的切线方程为 .13. 中国已进入了高油价时代，车主们想尽办法减少用油.已知某型号汽车以速度行驶时，耗油率是，若要使每公里的耗油量最低，

4、则应该以 的速度匀速行驶.14. 一般地，给定平面上有个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为，已知的最小值是， 的最小值是， 的最小值是.试猜想的最小值是 .（这就是著名的Heilbron猜想，已经被我国的数学家攻克）三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分12分）用到这个数字，组成没有重复数字的四位数（1）这些四位数中偶数有多少个？能被整除的有多少个？（2）这些四位数中大于的有多少个？解：（1）偶数的个位数只能是2、4、6、8有共4种排法，其它位上有种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数1344个；能被5整除的数个位必

5、须是5，故有336个；6分（2）最高位上是4时，百位上只能是到，共有种；最高位大于4时，共有种；由分类加法计数原理知，这些四位数中大于的共有1974个12分16. （本小题满分14分） 已知函数.（1）求的单调区间；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线，所围成的图形的面积.解：（1），解得，解得，的单调增区间是，单调减区间是（注：也可以写成闭区间或）4分（2）切点坐标是，且在点处的切线方程是化简得9分（3）解得由的图象特点得曲线，所围成的图形的面积是：（或由求得）14分17. （本小题满分12分）小王参加2012年度某项劳动技能考试考试按科目A，B依次进行，只有科目A合格后才能继续参加科

6、目B的考试每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动技能合格证已知他每次参加科目A考试合格的概率均为，每次参加科目B考试合格的概率均为，且各次考试是否合格互不影响（1）求小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率；（2）记小王参加2012年度该项劳动技能考试的次数为（含可能的补考次数），求随机变量的分布列解： （1）设小王参加科目A考试合格与补考合格分别为事件，参加科目B考试合格与补考合格分别为事件，由已知， 2分又，相互独立，所以“小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证” 5分故小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率为

7、 6分（2）随机变量的可能取值为2，3，4 7分则，8分 11分所以随机变量的分布列为：12分18. ABCDOFE如图，有一正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以线段的中点为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形. 若正方形的边长为，问如何画切割线，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.ABCDOFExyP解：（法一）以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为点的坐标为，故边缘线的方程为. 4分要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，直线的的方程可表示为，即，7分由此可求得，.，9

8、分设梯形的面积为，则. 12分当时，取最大值，其最大值为.此时.13分答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. 14分解法二：以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为点的坐标为， 故边缘线的方程为. i4分要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，直线的的方程可表示为，即，7分由此可求得，.，9分设梯形的面积为，则. 12分当时，取最大值，其最大值为.此时.13分答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. 14分（法二）以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧的方程为点的坐标为， 故边缘线的方程

9、为. i4分要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，直线的的方程可表示为，即，7分由此可求得，.，9分设梯形的面积为，则. 12分当时，取最大值，其最大值为.此时.13分答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为. 14分19. 某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮次，若投中次则确定为级；若投中次及以上则可确定为级.已知某班同学小明每次投篮投中的概率是.（1）求小明投篮次才被确定为级的概率；（2）设小明投篮投中次数为，求的分布列；（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求小明不能入围的概率.解：解：（1）阿

10、明投篮4次才被确定为B级的概率；4分 （2）由已知，的分布列为：012345P 8分 （3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：5次投中3次，有种投球方式，其概率为；投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是；投中1次分别有中否否、否中否否，概率为；投中0次只有否否一种，概率为；所以阿明不能入围这一事件的概率是.14分20. 已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）讨论的单调性；（3）证明：（）为自然对数的底数）解： （1）是的一个极值点，则 ，验证知=0符合条件. 3分（2）. 4分1）若=0时， 单调递增，在单调递减；5分 2）若 上单调递减. 6分 3）若. . 再令. 7分 在. 综上所述，若上单调递减若 . 8分若时，在单调递增，在单调