建模示例之如何预报人口的增长

1、建模例如：如何预报人口的增长人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速开展的同时, 世界人口也以空前的规模增长。统计数据显示：年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口亿5102030405060可以看由，人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经携带着它的 60亿子民踏入21世纪。长期以来，人类的繁殖一直在自发地进展着。 只是由于人口数量的迅 速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开场研究人类和自然 的关系、人口数量的变化规律，以及如何进展人口控制等问题。我国是世界第一人口大国，地球上每五个人中就有一个中国人。在20世纪

2、的一段时间我国人口的增长速度过快，请看：年1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000人口亿3.04.76.07.210.311.3 12.95有效地控制我国人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到 21 世纪中叶建成富强文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的 美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做由准确的预报，是有效控制人口增长的前提。长期以来人们在这方面作了不少工作，下面介绍两个最根本的人口模型，并利用表 1给生的近两个世纪的美国人口统计 数据以百万为单位，对模型作检验，最后用它预报 2010年美国的人年人口179

3、01800181018201830184018503.95.37.29.612.917.123.2186031.4年人口187018801890190019101920 193038.650.262.976.092.0106.5 123.21940131.7年人口1950 1960 1970 1980 1990 2000150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4表1美国人口统计数据1)指数增长模型最简单的人口增长模型使人所共识的：记今年人口为小, k年后人口为Xk ,年增长率为r ,那么Xk X0 (1 r)k(i) 显然，这个公式的根本条件是年增长率 r保持不变。

4、二百多年前英国人口学家马尔塞斯Malths, 1766-1834调查了英国一百多年的人口统计资料，得由了人口增长率不变的假设，并据此建 立了著名的人口指数增长模型。模型建立 记时刻t的人口为x(t),当考察一个国家或一个较区的人口时，x(t)是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将 X视为 连续、可微函数。记初始时刻t 0的人口为X0 .假设人口增长率为常 数r,即单位时间x(t)的增量等于r乘以x(t).考虑t到t t时间人口的增 量，显然有xt t xt rxt t令t 0,得到xt满足微分方程:有这个方程很容易解生xtrtx0edxdtrx , x(0)X0r0时（3）式表示人口

5、将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4参数估计（3成的参数r和 x0 可以用表1的数据估计。为了利用简rt单的线性最小二乘法，将（3）式取对数，x txe可得y rt a , y ln x , a ln x0以179

6、0年至1900年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得 r=0.2743/10年，x。=4.1884.以全部数据1790年至2000年拟合（4）式， 得 r =0.2022/10 年，x =6.0450.结果分析 用上面得到的参数r和x0代入（3）式，将计算结果与实际数据 作比拟。表2中计算人口 x1是用1790年至1900年的数据拟合的结果，计 算人口 x2是用全部数据1790年至2000年拟合的结果，图3、图4是 它们的图形表示+号是实际数据，曲线是计算结果。可以看由，用这个模型根本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，但是进入20世纪后，美国人口增长明显变慢，这个模型就不适宜了年

7、实际人口计算人口 X1计算人口 X217903.94.26.018005.35.57.418107.27.29.118209.69.511.1183012.912.513.6184017.116.516.60185023.221.720.30186031.428.624.90187038.637.630.5188050.249.537.3189062.965.145.7190076.085.655.9191092.068.41920106.583.71930123.2102.51940131.7125.51950150.7153.61960179.3188.019701980199020002

8、04.0226.5251.4281.4230.1281.7344.8422.1表2指数增长模型拟合美国人口数据的结果9080706050403020100024681012图3指数增长模型拟合图形/ +十七Xd+-450 400 350 300 250 200 150 100 50 00510152025图4指数增长模型拟合图形练习 用1900至2000年的数据拟合指数增长模型，计算并作图，观 察结果。历史上，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可 以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。 另外，用它做短期人口预测可以得到较好的结果。显然，这是因为在这 些情

9、况下，模型的根本设计一一人口增长率是常数一一大致成立。但是长期以来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事 实上是在不断地变化着。排除灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人 口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长 就会慢下来，即增长率变小。表3是用数值微分的三点公式计算的美国人口增长率 /年，可以看到，进入20世纪后增长率明显下降。用平.word.zl-均增长率作为r,用指数增长模型描述美国人口的变化，结果当然会与 表1的统计数据相差很大。年增长率1790 1800 1810 1820 1830 184

10、0 18502.95 3.11 2.99 2.97 2.91 3.01 3.0818602.45年增长率1870 1880 1890 1900 1910 1920 19302.44 2.42 2.05 1.91 1.66 1.46 1.0219401.04年增长率1950 1960 1970 1980 1990 20001.58 1.49 1.16 1.05 1.09 1.16表3美国人口增长率 /年看来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个根本假设21.2)阻滞增长模型Logistic模型模型建立 分析人口增长到一定数量后增长率下降的主

11、要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且 随着人口的增长，阻滞作用越来越大。所谓组织增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的根本假设进展修改后得到的。阻滞作用表达在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增 加而下降。假设将r表示为x的函数r(x),那么它应是减函数。于是方程 (2)写作dx加 r x x, x 0 x0对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即r(x) r sx, r 0,s 0(6)这里r称固有增长率，表示人口很少时理论上是x=0的增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm,称

12、人口容量。当x xm时人口不再增长，即增长率应r(xm) 0,代入(6)式彳等s二，于是(6)式为 xmxm式的另一种解释是，增长率r(x)与人口尚未实现局部的比例 xmx/xm成正比，比例系数为固有增长率r.将代入方程(5府dx rx 1 dtxmxo(8)x ,.方程(8)右端的因子rx表达人口自身的增长趋势，因子1 丁 那么表达 xm了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。如果以x为横轴，dx/dt为纵轴作曲方程(8)的图形图5，可以分 析人口增长速度dx/dt随着x的增加而变化的情况，从而大致地看由xt 的变化规律。

13、图5 dx/dt x曲线图图6 xt曲线图练习 根据图5 dxdt与x的关系，分析x随t的变化情况：t较小从而x较小时和t较大从而x较大时x的增长速度有何不同，x多大时人口增长最快，t 时x ?等，由此你能大致画由xt的图形吗。实际上，方程（8）可以用别离变量法求解得到xmxmx01 e rt(9)读者可以用计算机画由（9）式的图形，它是一条S形曲线图6，x增1, , xm _ 加得先快后慢，t 时x xm,拐点在x 寸.你在上面的联系中 画的图形与这个图形一样吗参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数 和xm ,我们不用（9）式，而将方程（8）表为dx dtsx,xm(10)

14、上式左端可以从表1的数据用数值微分计算，右端对参数 r, s是线性的。我们利用1860年至1990年的数据去掉个别异常数据，用MATLAB软件计算得到 r=0.2557/10 年，xm=392.0886.参数估计也可以借助专家的经历。例如，某些人口学家估计世界人口的固有增长率r =0.029,又知道世界人口在1960年为29.8亿时，增长dx dt率是1.85%,即x=0.0185,于是按照方程(8),世界人口容量为Xm=29.8 (1-0.0185/0.029)=82.3亿。实际上，20世纪70年代世界人口为40亿左右时增长率到达最大，然后开场下降。注意到阻滞增长模型中x xm/2时dx/d

15、t最大，可以看由上述结果的一致性。结果分析 用上面得到的参数r和xm代入(9)式，将计算结果与实际数据作比拟，得表4和图7年实际人口计算人口 x17903.93.918005.35.018107.26.518209.68.3183012.910.7184017.113.7185023.217.5186031.422.3187038.628.318801890190019101920193019401950196019701980199050.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.435.845.056.269.785.5103.

16、9124.5147.2171.3196.2221.2245.3表4阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果300250200 -150100 -十+七十50 -L 024b4-4-68101214161820图7阻滞增长模型拟合图形以1790年为起点可以看由，用这个模型拟合时虽然中间一段19世纪中叶到20世纪 中叶不大好，但是最后一段二十世纪中叶以后吻合的不错。模型检验 在估计阻滞增长模型的参数时没有用2000年的实际数据，是为了用它作模型检验。我们用模型计算2000年的人口，与的实际数据281.4百万比拟，来检验模型时候适宜。为简单起见，可利用x1990和方程（7昨如下计算x 2000 x1990

17、 x x1990 rx 1990 1 x1990 /xm得至4x2000 =274.5百万，与实际数据的误差约 2.5%,可以分为该模型是 相当满意的。人口预报 应将2000年的实际数据加进去重新估计参数，可得r =0.2490/10年，xm=433.9886.然后再利用模型检验中的计算方法预报美国 2010年的人口，得到x 2010 年的人口，得到x 2010 =306.0 百万。这个预报结果的准确性如何。让我们拭目以待。由方程(8)表示的阻滞增长模型，是荷兰生物学家Verhulst19世纪中叶提出的。 它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等的变化，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费平的销售就可以用它来