二阶连续的四次有理插值样条及其应用

1、二阶连续的四次有理插值样条及其应用摘 要：对有理插值样条有关问题进行了分析，并在此基础上构造了一种带参数的分母为 线性的四次有理插值样条。把四次有理插值样条函数的连续性降为C?连续就可以提供额外 的自由度，这对于控制曲线的形状具有较大的灵活性。关键词：四次有理插值样条；曲线曲面；自由度Abstract: A kind of rational quartic spline with linear denominator is derived on the base of analysis about the question of rational spline. If we decrease

2、thesplines continuity to C continuous, it can provide additional freedom degree, and this is very useful for shape constraint in curve design.Key words: rational quartic interpolation spline; curve and surface; freedom degree多项式样条函数可以说是应用最广的一种样条函数，作为样条函数和有理逼近的结合 一有理样条函数，既是有理函数逼近的重要组成部分，同时又是多项式样条的一种自

3、然推 广，兼顾了二者的优点，且使用更为灵活，更具一般性。有理插值样条特别是有理三次有理插值样条，以及它们在外型控制中的应用，已经有 了不少工作，取得了一系列的成果。但四次有理插值样条由于其构造所花费的计算量太大以 及在使用上很不方便而让人们忽视了其重要的应用价值因此很少有人研究他们。但实例表 明，在某些情况下四次有理插值样条确实能给出较好的结果。在实际应用中,二阶连续的曲 线可满足大多数的需求。如果四次有理插值样条的连续性降为S连续，则不但可以使计算 量大大减少，而且还可以提供额外的自由度，而这些自由度无论在数值计算还是在外型设 计中都是很有用的。本文就分母为一次，分子为四次的有理插值样条进行

4、了初步的探讨，取 得了一些有意义的结论。一、四次有理插值样条的构造及性质给出数据 (t,f), i = 0,1,. n +1,其中f为被插函数f(t)在分划点t处给出的函 i iii数值，此处t t t t +1是分划点，记h = t - t以及9 = ( t- t) / h ,且令a和p 01n n+1i i+i ii ii i是正的参数。设S表示所构造的有理四次样条在t i处的一阶导数，则可定义t0, tn上的分母为线性的有理四次样条如下p ( t) I=|(i = 0，1，n)(1) 此处t 握q (t)p.( t) =(1-9)a f +9(19)3U +92(19)2V +93(1-

5、9)W +94p.f.q (t) = (1-9)a +9p且U =a hd + (3a +p )f，W =p hd + (a + 3p )fi i i ii i i i i i i+1i i i+1其中，V是待定未知量。i容易看到，对给定的数据及选定的正参数a i和P,如上所定义的有理插值函数满足p (t )=f ,p(t )=d ( i = 0, 1, ., n+1) i i i i通常情况下，采用四次插值样条曲线，可使其连续性达到C3连续，但如果将四次有理插值样 条P(t)的连续性降为C2连续，则由P( t i + ) = P( t i - )(i = 0, 1, ., n-1)可得6h

6、+ 6h + 2(ai-1 1) + 2% 1d = 6氏(1+上)父(1+E)f + 一2 V + 2Vii-1pp i h a h a i h P ih ai1ii1i1iii1 i1i i(i = 0, 1, ., n-1)h a 一、 h a 一、=6h +6h + 2( -pi-1 1)+2(苻1)，i1iB = 6厂(+ 1) -i-1 ( 4 + 1)， h P h PAd = Bf + CV + DV ( i = 0, 1, ., n-1) i i i i i i1 i i(2)八一2h 2hC = TT, Di=可得:i1 i 1i i因此，对于任意给定的d0,dn和V. (

7、 i = 0, 1, ., n-1) P(t)是C2连续的，所以有下面的定理。定理1对于任意给定的V. (i = 0, 1, ., n-1) ， P(t)( (1)式中)是C2连续的。此定理也就是说四次有理插值样条P(t)的连续性若降为C2连续，则可以提供额外的自由度V。这就为提高曲线的插值精度和控制曲线曲面的形状提供了方便克服了高次插值 i曲线带来的缺点。进一步而言，当a广P.时P(t)就退化为四次多项式样条曲线p*(t),此时可将其记作p*( t) =(1-0 )4 f +0 (1-0)3U.* +。2(1-0)2V* +03(1。)W* +。4 f 1。其中U*= hd + 4f ,W*

8、 =-hd + 4f ,V*= V.；a，仍可以视为一个待定未知量。易发现 TOC o 1-5 h z II II II l+1l+1 II IP*(t)同样可以满足p*(t )=f ,p*(t )=d ( i = 0, 1, ., n+1)。而此时(2)式变形为 ii i i id = B*f + C*V * + D*V*，其中l I I I1-1I IB* =2(h.-以,C* =h ,D* =h.1hh i 3(h + h )h.3(h + h )hl i-1i i-1 i-1ii-1 i同理，对于任意给定的d , d和V *( i = 0, 1, ., n-1),p*(t)都是C2连续

9、的。因此，本文 0 n ii所构造的四次有理插值样条是C2连续的四次多项式样条的成功推广。二四次有理插值样条的应用 、控制插值曲线的形状是CAGD中一项重要的任务，但是在插值条件固定的情况下，普通的插 值样条曲线，如三次插值样条、B一样条等，因为插值格式固定而无法控制曲线的形状。近 年来，带参数的三次有理插值样条曲线在形状控制中的应用引起了一些作者的广泛注意。但 四次有理插值样条因其次数较高、不易控制而很少有人关注，而本文给出的结果表明，四次 有理插值样条在形状控制中的应用毫不逊色于三次有理插值样条。设f (t)是被插函数，令p ( t)是f (t)在t e , tn 上由(1)式所定义的四次

10、有理插值样条函数，g(t)是t ,t 上定义的线性函数，或以t t . t (或 (或 )g(t),i = 0,1,2,., n，ijp ( t)称作被约束于 g(t)之 上(下)的四次有理插值函数，g (t)被称作下(上)约束曲线。以下假定分划为等距的，将四次有理插值函数作为约束插值工具，容易得到下面的上 下同时约束插值条件定理。定理2 给定数据( t,f,d,g,g *), i = 0,1,., n +1，且 g * f g。则由(1)式所i i i i ii i i定义的四次有理插值样条函数p (t)在t,t 上位于直线段段g(t)之下且位于直线段g*(t) i i+1之上的充分条件是,

11、正参数气、pi和自由度匕满足不等式组：a (3f +h d -2g -g )+p (f -g ) 0i i i i i i+1i i ia (f - g )+p (3f -hd -g -2g ) 0ii+1i+1ii+1ii+1 ii+1v -a (g +2g )-p (2g +g )0i i ii+1i ii+1由(1)式所定义的四次有理插值样条函数p (t)在t,t 上位于直线段g(t)、g*(t)之间 i i+1的充分条件，由定理2给出。从中可以发现虽然四次有理插值样条函数的次数较高，但在形状 控制中的应用却可以达到三次有理插值样条函数的效果。但是必须要指出的是满足约束条件 的有理插值函数的存在性取决于对应不等式的可解性，有些情况下可能找不到这样的正参 数ai和pi满足不等式组，使得对这种有理插值曲线的控制受到一定的限制。本文构造了分子为四次的有理插值样条函数，将其连续性降为C2连续就可以提供额 外的自由度，这就为提高曲线的插值精度和控制曲线曲面的形状提供了方便，克服了高