3分部积分法-习题0001

1、4.3分部积分法-习题第4章不定积分分部积分法习题解.求以下不定积分：xsin xdx ；m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 sin x作为先积分部份，得x sin xdx xd( cosx)- sin xdx cos x cxcosx cos xdx- udv uv vduxcosx sin x c- cosxdx sin x c arcsin xdx ；【解】被积函数已经拥有udv的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdx xarcsin xxd arcsin xudv uvvdu1x arcsin x x . dx- 整理2x2x

2、 arcsin x 1,一1 =d (1 x2 )- d (1x2 ) 2xdx1 x2xarcsin x xln( x 1)dx ；m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,乘积中有不行独立积分的ln( x 1),则应将另一部份x作为先积分部份，得 TOC o 1-5 h z x ln( x 1)dx ln( x 1)d 1 x2- xdx 1 x2c2x2 ln( x1) x2d ln( x 1)- udvuv vdu22-x2 ln( x1尸1 x2 dx-整理22 x 1:x2 ln( x 1) 1 ( x 1 -1 )dx -化假分式为多项式+真分式22x 1一

3、 x2 ln( x 1) = .1 ( T x2x ln x 1) c22 2(x2 1)ln( x 1) 1x21 x c421 / 124.3分部积分法-习题第4章不定积分分部积分法习题解 xe x dx;m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,应将乘积中的 ex作为先积分部份，得xe xdxxd ( e x )- e xdx e x cxe x e xdx- udv uv vduxe x e x c- e xdx e x c(x 1)e x c e x cosxdx ；m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的 e x作为

4、先积分部份，得e x cosxdx cosxd( e x )-e xdxe x ce x cosxe xd cosx- udv uv vdue x cosx e x sin xdx - d cos x sin xdxe x cosx sin xd( e x )- e xdx e x cd sin x cosxdxe x cosx e x sin x e x d sin x - udv uv vdu即有e x (sin x cos x) e x cosxdxcos移项、整理得2 e x cosxdxe xdx e (sin x cos x) e cosxdx e x (sin x cosx) C

5、i整理得积分结果【解法二】将乘积中的e x cosxdx 1 e x (sin x cosx) c2cos x作为先积分部份，得e x cosxdx e xd sin xcosxdx sin x cudv uv vdude xe xdxe x sin x sin xde xe x sin x ( e x )sin xdx2 / 12即有4.3分部积分法-习题第4章不定积分分部积分法习题解x - sin xx 4sin xx(sin xx(sin xcosxdx将右侧的积分项移到左侧,最后得积分结果 x2 arctanxdx e xd ( cosx)e x ( cosx)(cosx)decos

6、x)cos x)e (sin x整理得e x cosxdxcosx)(e x )dxsin xdxcosx cudv uv vdude xe xdxx cosxdxcos x)e cosxdx2 e x cos xdx1 e x (sin x cosx)2m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,乘积中有不行独立积分的arctanx ,则应将另一部份x2x2 arctan xdxarctan xd x31 x3 arctanx3整理e x (sin x cos x)作为先积分部份，得1 x3 arctanxarctanxarctanxarctanxx3arctanxx3a

7、rctanx3x3 d arctanx1 - 1 x23 21 -1 x23 21 x26x 2 ) dx1 xx =dx)1x21 2 d (12 1 x12ln(1x2 )2x2 ) cx2 dx 1 x3 c3udv uv vdud arctan x1化假分式为多项式分别积分x2 )d (11du整理1 2 dxx+真分式x2 )In u2 xdx x cos x dx ；2m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,x将乘积中的 cos 作为先积分部份，得2xcosx dxxxd 2sin?cos- dxx x2 cos dx2sin c3 / 124.3分部积分法

8、-习题第4章不定积分分部积分法习题解 In xdx ；x 2x sin2x2x sin2x2x sin2x2 sin dx2x2( 2cos _ )24cos_x c2-udv uvx c -sin _ dx2-整理vdux x2 sin d2 2x2cos c2m积分式已经拥有udv的形式，能够直接套用分部积分公式，得-udv uv vdud In x 1 dxx- 整理In xdx x In x xd In xx In x x dx xx In x dxxIn x x c dx x cx(In x 1) c xsin x cosxdx ；m被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部

9、积分公 式，cos xdx sin x c【解法一】将乘积中的cos x作为先积分部份，得x sin x cosxdx x sin xd sin xxd 1 sin2仍为两不一样种类函数的乘 积xudu21. xsin 2 x2xd 1 u2221 xsin221. 2京-xsin2sin 2 xdx21 cos2x dx21(x cos2xdx)4udv uv vdu- sin 2 x 1 cos2x2- 分别积分1 xsin2 x21 xsin2 x21 xsin21 ( x 1 cos2xd2x)421 ( x 1 sin2 x) c421 x sin 2x c48-d 2x 2dxco

10、sudu sin u c- 整理【此题解答案与课本后答案能够互化:1 x 1 cos2x1 x 1 sin 2x c一,x sin2 x 1 x sin2x c4 / 124.3分部积分法-习题第4章不定积分分部积分法习题解1 x cos2x 1 x441sin 2x8【解法二】为利于积分的进行,先将乘积中的分部份，得x sin x cosxdx1 x sin 2xdx2sin x cos x化简为x cos2x1sin 2 x c 181_ sin 2x ,弁将其作为先积2sin x cos x sin 2x1 xd (2cos2x)sin 2xdxcos2 x1 xcos2x(1 cos2

11、 x) dx2udvuvvdux cos2x4cos2xdx-整理1x cos2x4cos2 xd2xd2x 2dxx cos2xsin 2x ccosudusin u4 x tan2 xdx ；m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,为便于积分，先将乘积中的tan2 x化为易于积分的 sec2x tan2 xdxx(sec2 x1)dxtan 2 xsec2 x 1In 3 x(11)2 dxx(xsec 2 x x)dx整理x2x2x2x2x2xsec2xdxxd tan xx tan xx tan xx tan xx tan x分别积分sec2 xdxtan x

12、ctan xdxsin xdx cosx1 d cos x cosxIn cosxudvtan xm 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,5 / 12uv vdusin x cos xcos x1 dusin xdxIn u c乘积中有不行独立积分的3xln 2dxln 3 xd4.3分部积分法-习题不定积分ln分部积分法3x ,则应将另一部份12 dx习题解1, 处作为先积分部份，得x2ln 3 x1d lnudvuvvduln 3 x1. 3ln 2x dxd In3ln 2 x1 dxln 3 x3 ln 2 xdxx2整理,并再次应用上边的方法ln 3 x23l

13、n xd12 dxln 3 x3ln 2 x1 d3lnudv uvvduln 3 x3ln 2 x6ln x1 dxd 3ln 2 x3 2ln x 1 dxln 3 x3ln 2 x6ln x2 dx x整理，弁再次应用上边的方法ln3-x3ln 2 x6ln xddxln 3 x3ln 2 x6ln x1d 6ln x xudvuv vduln 3 x3ln 2 x6ln x12 dxd 6ln x6 dxln 3 x3ln 2 x6ln x12 dx(ln3 x 3ln 2x 6ln x6) c整理x(12) (arcsin x)2 dx ；m积分式已经拥有udv的形式，能够直接套用分

14、部积分公式，得6 / 124.3分部积分法-习题第4章不定积分分部积分法习题解(arcsin x)2 dx x(arcsin x)2 xd(arcsin x)2- udv uv vdux(arcsin x) 2x 2arcsin x dx d (arcsin x) 2 2arcsin x 1 dx TOC o 1-5 h z 1 x21x2x(arcsin x) 2 arcsin x , 2x dx - 整理 h i x2x(arcsin x) 2 arcsin xd( 2 1x2 )-_2x dx 1 d (1 x2 )21 x2 c或 1 x21x2x(arcsin x) 2 2 1x2

15、arcsin x ( 2 1x2 )d arcsin xudv uv vdux(arcsin x) 22 1 x2 arcsin x21 x2 _1 dx1 x2d arcsin x . dx1x2x(arcsin x) 22 叱 1 x2 arcsin x 2 dx -整理x(arcsin x)22 1 x2 arcsin x 2 x c(13) x2 e xdx ；m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,将乘积中的 e x作为先积分部份，得x2 e xdxx2d ( e x )-e xdxe x cx2e x( e x )dx2-udv uv vdux2e xe x

16、 2xdx-整理x2e x2xd( e x )-e xdxe x cx2e x 2xe x ( e x )d 2x - udv uv vdux2e x 2xe x 2 e xdx-整理7 / 124.3分部积分法-习题不定积分分部积分法习题解x2e x2xe x2e x cdxe x ( x22x2) c整理3(14) e x dx ；m 被积函数中含根式,且根指数与根号内多项式的次数不等,可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后,再用分部积分法求解。x u，则 xu3 , dx 3u 2due3 x dxeu 3u2du3u2 deueu du3u 2eueud 3u2udvuvvdu

17、3u 2eu6ueu dud 3u26udu3u 2eu6udeueu dueu c3u2eu6ueueu d 6uudvuv vdu3u 2eu6ueu 6eudud6u6du3u 2eu6ueu 6eu cdu eu3(u22u 2)eu c整理3 一3( 3 x22 3 x 2)e x c(x2 1)sin 2xdx m 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,将乘积中的sin2x作为先积分部份，得(x2 1)sin 2xdx ( x21)d ( 1 cos 2x)2sin2xdx1 sin 2xd 2x21 ( x221)cos2x(1 cos2x)d ( 21co

18、s2x c2x2 1)一udv uv vdu1 ( x221)cos2x1 cos2x 2 xdx2d ( x21) 2xdx8 / 124.3分部积分法-习题第4章不定积分分部积分法习题解 ln( x2 1)dx ;1 ( x221 ( x221 ( x221 ( x221 ( x22m积分式已经拥有ln( x21)dxx ln(x ln( x2x ln( x21)cos2 x1)cos2xcos2xdxx cos2xdxxd 1 sin 2x1)cos2x211)cos2x2整理1 cos2xd 2x21sin2x2xsin 2xxsin 2xsin 2xdx3 )cos2 x2udv的形

19、式,ln( x21)1)1)1)(17) e 2 x sin xdx1一 sin 2xdx21cos2x c1 cos2x c21 x sin 2x c2能够直接套用分部积分公式，得xd ln( x2 1)x 2 x dx x2 1(1 1 )dxx212x 2arctan x cm 被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式,【解法一】将乘积中的e 2x作为先积分部份，得整理udv uv vduudv uv vdud ln( x21)dx1化假分式为多项式+真分式e 2x sin x dx2.x sin21 e2 xsin x2.1e 2x dx 1 e 2 x c21 e2

20、 xsin x1 e2 xsin x1 e2 xsin x1 e2 xsin xe 2 x )d sin Xudv uv vdue2 x2)(1 cosx2e2 x cos2x dx2dx2xd sin21cos2xdx整理cosx d (21 e 2 x)2e 2xdx1 e2 xcosx829 / 12e2 x) d 1 cos x 42udv uvvdu即有4.3分部积分法-习题第4章不定积分1 e2 x sin x221 e2 x sin x2e. 2x sin2 x_dx分部积分法习题解1 e3x cos,x821 e2 xcosx将右侧的积分项移到左侧，整理得a 2x17 e16最

21、后得积分结果sinxdx【解法二】将乘积中的一e-x sindx即有2e1 e 2x sin16xex(cos，4sin_ )e2 x (cos82x sin x_dx24sin X )222e172x (cos21 x d cosdx -21e_2x sin16x _ 4sin2x)21 sin8整理xdxx dx2xsin作为先积分部份，得2c - xe xd ( 2cos )2cos(2cosx)desin X dx22xsin d2 2udv uv2el x2e 2 x2e 2 x2e 2 x2e 2 xcoscoscoscoscoscose 2x sin x dx(2cos2x ”)

22、(2e2 x )dx24cos x e22 x dx整理de 2x4e 2 xd 2sin X4e 2 x 2sin8dx4 2sinsinsin2e 2x cos2将右侧的积分项移到左侧，整理得17 e- 2 x sinxdx2最后得积分结果(18) cos(ln x)dx ；m积分式已经拥有cos(ln x)dxx8sin2cos x dx2x de 2x 2udv2e 2x )dx - de 2x16e 2x sinxdx28e 2 x sin x2e-2 x (cos 4sin)e 2x sin X dxcix2cos c2vdu2e 2xdx2sin x2整理16e .2 x sin

23、 dx2 e 2 x (cos 4sin )17uv2evdu2 xdxudv的形式，能够直接套用分部积分公式，得x cos(ln x) xd cos(ln x)udv uvvdu1010 / 124.3分部积分法-习题第4章不定积分分部积分法习题解x cos(ln x)x sin(ln x)1dxxd cos(ln x) sin(ln x)1dx xx cos(ln x)sin(ln x) dx整理x cos(ln x)x sin(ln x)xd sin(ln x)udv uv vdux cos(ln x)x sin(ln x)x cos(ln x) 1 dx- d sin(ln x) cos(ln x)1dxx cos(ln x)x sin(ln x)cos(ln x)dx整理即有cos(ln x)dx xcos(ln x) sin(ln x)cos(ln x) dx将右侧的积分项移到左侧，整理得2 cos(ln x)dx xcos(ln x)sin(ln x)ci最后得积分结果cos(ln x)dx1 xcos(ln x)sin(ln x) c ln( xx2)dx ；m积分式已经