专题一第二讲函数与方程及函数的应用

1、第二讲函数与方程及函数的应用1如图为4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()Ayxeq sup6(f(1,3)，yx2，yxeq sup6(f(1,2)，yx1Byx3，yx2，yxeq sup6(f(1,2)，yx1Cyx2，yx3，yxeq sup6(f(1,2)，yx1Dyxeq sup6(f(1,3)，yxeq sup6(f(1,2)，yx2，yx12(2013宁夏质检)设函数f(x)eq blc(avs4alco1(log2x， x0，,logsdo9(f(1,2)（x），xf(a)，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)

2、(0，1)3设函数yf(x)在R上有意义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)eq blc(avs4alco1(f（x），f（x）M,M，f（x）M)，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”若给定函数f(x)2x2，M1，则fM(0)的值为()A2B1C.eq r(2) Deq r(2)4(2013哈尔滨第一次联合模拟考试)已知函数f(x)eq blc(avs4alco1(a2x，x0，,logsdo9(f(1,2)x，x0.)若关于x的方程f(f(x)0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是()A(，0)B(，0)(0，1)C(0，1) D(0，1)(1，)5(2012高考江西卷)如图

3、所示，|OA|2(单位：m)，|OB|1(单位：m)，OA与OB的夹角为eq f(,6)，以A为圆心，AB为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)0)，则函数yS(t)的图象大致是()6函数f(x)eq blc(avs4alco1(x22x3，x0,2ln x，x0)的零点个数为_7(2013福建省普通高中毕业班质量检测)若函数f(

4、x)eq blc(avs4alco1(2xa，x0,ln x，x0)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_8设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM(MD)，有xlD，且f(xl)f(x)，则称函数f(x)为M上的l高调函数现给出下列命题：函数f(x)(eq f(1,2)x是R上的1高调函数；函数f(x)sin 2x为R上的高调函数；如果定义域为1，)的函数f(x)x2为1，)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是2，)其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)9设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(

5、x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围10(2013昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(xN*)如下表：月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地

6、100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例11(2013湖南省五市十校高三第一次联合检测)设函数f(x)ax2bxc，且f(1)eq f(a,2)，3a2c2b，求证：(1)a0，且3eq f(b,a)eq f(3,4)；(2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则eq r(2)|x1x2|0,log2alog2a)或eq blc(avs4alco1(alog2（a），)解得a1或1a0，故选C.3【解析】选B.由题意，令f(x)2x21，得x1，因此当

7、x1或x1时，fM(x)2x2；当1x0时，f(x)1有唯一根eq f(1,2)，故a2x1在(，0上无根，当a2x1在(，0上有根可得aeq f(1,2x)1，故由a2x1在(，0上无根可知a0或0a0时，令2ln x0，解得xe2，所以已知函数有两个零点【答案】27【解析】当x0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是0a1.【答案】(0，18【解析】对于，xR，x1R.又f(x)(eq f(1,2)x在R上是减函数，(eq f(1,2)x1(eq

8、 f(1,2)x，即f(x1)0,m（2x）max)或eq blc(avs4alco1(m0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0，1)10【解】(1)y关于x的函数关系式为yeq blc(avs4alco1(2x，0 x4，,4x8，46.)(2)由(1)知：当x3时，y6；当x4时，y8；当x5时，y12；当x6时，y16；当x7时，y22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为eq f(1,12)(6183123163222)13(元)(3)由(1)和题意知：当y12时，x5，所以“节约用水家庭”的频率为eq f(77,100)77%.据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.11【证明】(1)由已知得f(1)abceq f(a,2)，3a2b2c0，又3a2c2b，a0，b3a2b2b，a0，3eq f(b,a)0时，f(0)c0，f(1)eq f(a,2)0.函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点；当c0时，f(1)eq f(a,2)0，函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点综上所述，函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，x1x2eq f(b,a)，x1x2eq f(c,a)