高中数学导数专题讲义（答案版）

1、第 PAGE140 页 共 NUMPAGES140 页高中数学导数专题讲义（答案版）最新导数专题讲座内容 汇总 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、

2、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出，随变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：1.最高次项系数是否为0；2.导函数是否有极值点；3.两根的大小关系；4.根与定义域端点讨论等。五、求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立；（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数

3、在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离；（2）导函数的根与区间端点直接比较；（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。七、求解函数单调性问题方法提炼：（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；（2），由（或）可将恒成立转化为（或）恒成立；（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。【考点分类】 考点一、分类讨论求解函数单调性；【例1-1】（20_-20_朝阳一模理18）已知函数 （）求函数的单调区间；（）当时，都有成立，求的取值范围；（）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明

4、理由 【答案】（）函数的定义域为 （1）当时，恒成立，函数在上单调递增；（2）当时， 令，得 当时，函数为减函数；当时，函数为增函数 综上所述，当时，函数的单调递增区间为 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （）由（）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数， 所以在区间上，显然函数在区间上恒大于零；（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以 依题意有，解得，所以 （3）当时，即时，在区间上为减函数， 所以 依题意有，解得，所以 综上所述，当时，函数在区间上恒大于零 （）设切点为，则切线斜率， 切线方程为 因为切线过点，则 即 令 ，则 （1）当时，在区间上， 单调递增

5、；在区间上，单调递减， 所以函数的最大值为 故方程无解，即不存在满足式 因此当时，切线的条数为 （2）当时, 在区间上，单调递减， 在区间上，单调递增， 所以函数的最小值为 取，则 故在上存在唯一零点 取，则 设，则 当时，恒成立 所以在单调递增，恒成立所以 故在上存在唯一零点 因此当时，过点P存在两条切线 （3）当时，显然不存在过点P的切线 综上所述，当时，过点P存在两条切线；当时，不存在过点P的切线 【例1-2】（20_-20_海淀一模理18）已知函数，. （）求函数的最小值；（）求函数的单调区间；() 求证：直线不是曲线的切线.【答案】（）函数的定义域为， 当变化时，的变化情况如下表：递

6、减 极小值 递增 函数在上的极小值为， 所以的最小值为 （）解：函数的定义域为， 由（）得，所以 所以的单调增区间是，无单调减区间. （）证明：假设直线是曲线的切线. 设切点为，则，即 又，则. 所以, 得，与 矛盾 所以假设不成立，直线不是曲线的切线 【练1-1】（20_-20_西城一模理18）已知函数，且.() 求的值及的单调区间；() 若关于的方程存在两个不相等的正实数根，证明：.【答案】（）对求导，得， 所以，解得. 故，. 令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：0 0 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. （）解：方程，即为， 设函数.求导，得 由，解得，或. 所以当变化时，与

7、的变化情况如下表所示：0 所以函数在单调递减，在上单调递增. 由，得.又因为， 所以.不妨设（其中为的两个正实数根）， 因为函数在单调递减，且， 所以. 同理根据函数在上单调递增，且， 可得， 所以， 即 . 【练1-2】（2022-20_石景山一模文18）已知函数. （）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（）求函数的单调区间；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（）1分 由已知，解得. 3分 （II）函数的定义域为.（1）当时, ，的单调递增区间为；5分 （2）当时. 当变化时，的变化情况如下：- + 极小值 由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是. 8分 （

8、II）由得，9分 由已知函数为上的单调减函数， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 即在上恒成立. 11分 令，在上， 所以在为减函数., 所以. 14分 【练1-3】（20_-20_朝阳期末文19）已知函数，.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；（）求函数的单调区间.【答案】函数的定义域：.（）当时，.有，即切点（1,3）， .所以曲线在点处切线方程是， 即. （）若，. 令，得（舍），. 极小值 则.所以函数不存在零点. （）.当，即时， 极小值 当，即时，的单调增区间是，；当，即时， 极大值 极小值 当，即时， 极大值 极小值 综上时，的单调增区间

9、是;减区间是.当时，的单调增区间是,;减区间是.当时，的单调增区间是; 当时，的单调增区间是，;减区间是. 【练1-4】（20_-20_丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点 （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间；（）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围.【答案】（）函数的图象与直线相切于点， ， ， 解得 （）， 令，得或；令，得 的单调递增区间为，；单调递减区间为 8分 （）记在上的值域为,在上的值域为， 对于，使得， 由（）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， ， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为或，的最大值为或 ，且， 或， 或， 即

10、或 又， 当时，在上单调递增，上单调递减， 的最小值为或，的最大值为 ，且， ， ，即 综上所述：或 【练1-5】（20_-20_朝阳二模文20）已知函数. ()求函数的单调区间；（）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围.【答案】() 函数的定义域为,.（1）当时，, 令，解得，则函数的单调递增区间为 令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为；令，解得，函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）当时，恒成立， 所以函数的单调递增区间为.（4）当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为，

11、；令，解得，则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （）依题意，在区间上. ，.令得，或.若，则由得，函数在上单调递增. 由得，,函数在上单调递减. 所以，满足条件；若，则由得，或；由得，. 函数在,上单调递增,在上单调递减. ， 依题意 ，即，所以；若，则. 所以在区间上单调递增，不满足条件；综上，. 【练1-6】（20_-20_房山二模文19）已知函数 （）求函数的单调区间；（）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。【答案】（）,定义域为 ，令 极小值 所以的增区间为，减区间为。（II）因为直线与曲线没有公共点， 所以方程无实根，即无实根，等价于无实根 设，即

12、无零点。当时，显然无零点，符合题意；当时，令 极小值 ，显然不符合题意；当时，令 极大值 ，所以时，符合题意 综上所述：【练1-7】（20_-20_朝阳一模文19）已知函数.（）若求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】()若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为 （）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；令，解得，但， 所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为， 单调增区间为，.（2）当时，函数的单调减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，

13、所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为， 函数的单调增区间为. 9分 （）（1）当时，由（）问可知，函数在上为减函数， 所以不存在极值点; （2）当时，由（）可知，在上为增函数， 在上为减函数. 若函数在区间上存在极值点，则， 解得或, 所以. 综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【练1-8】（20_-20_东城期末理19）已知函数 （）当时，试求在处的切线方程；（）当时，试求的单调区间；（）若在内有极值，试求的取值范围 【答案】（）当时， 方程为（）， 当时，对于，

14、恒成立， 所以 ； 0.所以 单调增区间为，单调减区间为 （）若在内有极值，则在内有解 令 . 设 , 所以 , 当时，恒成立， 所以单调递减. 又因为，又当时，, 即在上的值域为, 所以 当时， 有解.设，则 ， 所以在单调递减.因为，, 所以在有唯一解.所以有：0 0 递减 极小值 递增 所以 当时，在内有极值且唯一. 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立 综上，的取值范围为 【练1-9】（20_-20_大兴期末理18）已知函数.（）当时，求函数在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当 时， 所以，函数在点处的切线方程为 即：()函数的定义域

15、为：当时，恒成立，所以，在和上单调递增 当时，令，即：， , 所以，单调递增区间为，单调减区间为. （）因为在上恒成立，有 在上恒成立。所以，令， 则.令则 若，即时，函数在上单调递增，又 所以，在上恒成立；若，即时，当时，单调递增；当时，单调递减 所以，在上的最小值为， 因为所以不合题意. 即时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，在上的最小值为 又因为，所以恒成立 综上知，的取值范围是. 考点二、已知函数单调求参数范围；【例2-1】（20_-20_石景山期末文20）已知函数 ,. （）若在处取得极小值,求的值；（）若在区间为增函数,求的取值范围；（）在（）的条件下,函数有三个零点,求

16、的取值范围 【答案】（）由在处取得极大值,得, 所以(经检验适合题意) （）,因为在区间为增函数,所以在区间恒成立, 所以恒成立,即恒成立, 由于,得. 所以的取值范围是.（）, 故,得或 当时, ,在上是增函数,显然不合题意. 当时, 随的变化情况如下表: + 0 + 极大值 极小值 要使有三个零点,故需, 即 , 解得 所以的取值范围是. 【例2-2】（20_-20_朝阳期中文19）已知函数， （）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为. 因为. 又因为函数在单调减，所以不等式在上成立. 设，则，即即可，解得. 所以的取值范围是. （）当时， .

17、令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表：1 0 + 极小值 所以时,函数的最小值为. 所以成立. 【练2-1】（20_-20_海淀期中文18）已知函数. （）若曲线在点处切线的斜率为，求函数的单调区间；（）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（）因为，所以曲线经过点， 又， 所以， 所以. 当变化时，的变化情况如下表 0 0 极大值 极小值 所以函数 的单调递增区间为， 单调递减区间为 .（）因为函数在区间上单调递增， 所以对成立， 只要在上的最小值大于等于0即可. 因为函数的对称轴为， 当时，在上的最小值为， 解，得或，所以此种情形不成立 当时，在上的最小值为， 解得，所以，

18、综上，实数的取值范围是. 【练2-2】（20_-20_丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点，求的取值范围。【答案】（1）由已知得，切点坐标为， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时

19、，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，有只有一个零点 ， 1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 - 减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，所以在只存在一个零点。3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【练2-3】（20_-20_朝阳期末理18）已知函数,其中 （）若在区间上为增函数，求的取值范 围；（）当时，（）证明：；（）试判断方程是否有实数解，并说明理由 【答案】函数定义域， （）因为在区间上为增函数，

20、所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 则 （）当时，, （）令，得 令,得，所以函数在单调递增 令,得，所以函数在单调递减 所以， 所以成立 （）由（）知， ， 所以 设所以 令，得 令,得，所以函数在单调递增， 令,得，所以函数在单调递减；所以， 即 所以 ，即 所以，方程没有实数解 【练2-4】（20_-20_海淀期中理18）已知函数，曲线在点处的切线为 （）若直线的斜率为，求函数的单调区间；（）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围 【答案】（）因为直线的斜率为 所以 所以 所以 令解得 所以当和时， 当时， 所以的单调增区间为和，单调减区间为 （）要使在上单调 只需或在恒成立 （1）在恒

21、成立等价于，即 解得 （2）在恒成立， 当时，即，解得（舍）或（舍）当时，即，解得 综上所述 考点三、已知函数不单调求参数范围；【例3-1】已知函数.当时，若在区间上不单调，求的取值范围. 【答案】解法一： 令，解得， 因为在区间上不单调， 所以区间上存在极值点， 所以，或 即，或 所以或 . 解法二: 因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点.令，解得，区间长为， 在区间上不可能有个零点. 所以 即：， ， 又， . 【例3-2】已知函数，若在区间上不单调，求的取值范围 【答案】 考点四、已知函数存在单调区间求参数范围；【例4-1】设函数，.若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围.

22、【答案】解法一：设， 依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立. 注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可 由，即，得， 由，即，得， 所以， 所以实数的取值范围是. 解法二：， 依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立.又因为，所以. 设，所以小于函数在区间的最大值.又因为， 由解得；由解得. 所以函数在区间上递增，在区间上递减.所以函数在，或处取得最大值.又，所以， 所以实数的取值范围是. 【例4-2】（2022-2022朝阳二模理18）设函数，.（）若，求函数在上的最小值；（）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；【答案】 【练4-1】已知函数，函数在上存在单调递增区间，求的取值

23、范围 【答案 当时， 令，解得 则在上单调递增区间，满足题意.当时 当，即时， ，在上单调递减(舍）当，即，且时 令，解得：， 当时， 则在上单调递增区间，满足题意 当时， 要使在上存在单调递增区间， 则，即，解得 所以 综上所述得：的取值范围为：解法二：在上存在单调递增区间等价于在存在区间使成立，即存在使成立 设 当时， 则 所以，的取值范围为：考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；【例5-1】（20_-20_西城一模文18）已知函数，其中 （）求的极值；（）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围 【答案】（）的定义域为， 且 2分 当时，故在上单调递增 从而没有极大

24、值，也没有极小值 4分 当时，令，得 和的情况如下： 故的单调减区间为；单调增区间为 从而的极小值为；没有极大值 6分 （）解：的定义域为，且 8分 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意 9分 当时，在上单调递减 当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意 11分 当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意 综上，的取值范围是 13分 【例5-2】已知函数，其中若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围 【答案】的定义域为， 当，在单调递减， 当时，在单调递减，单调递增, 的定义域为，且 当时，显然 ，从而在上单调递增 此时在上单调递增，符合题意 当时，在上单

25、调递增，在上单调递减，不合题意 当时，令，得 和的情况如下表： 当时，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意 当时，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意 综上，的取值范围是 导数专题二、极值问题 【知识点】 一、函数的极值定义 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值，记作极大值与极小值统称为极值，称为极值点 极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点 极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。可导函数的极值点必定是它的驻点。但是反过来

26、，函数的驻点却不一定是极值点，例如,点是它的驻点，却不是它的极值点。极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。极值问题主要建立在分类讨论的基础上， 二、求函数的极值点和极值注意事项：1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，要说明没有。2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。三、求函数极值的三个基本步骤 第一步、求导数；第二步、求方程的所有实数根；第三步、考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负

27、变正，则是极小值如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值 【考点分类】 考点一、分类讨论求函数极值（点）；【例1-1】（20_-20_海淀一模文19）已知函数.()求曲线在点处的切线方程；()求函数的零点和极值；()若对任意，都有成立，求实数的最小值. 【答案】 （）设切线斜率为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即。（）令，解得。当时，；时，所以函数零点有且只有一个，为1.令，即解得。当时，；当时，所以函数在处取得极小值，无极大值。（）由（II）知，当时，；时，且在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值。且。，所以只需。所以。所以的最小值为1。【例1-2】（2022-2022朝阳二模

28、理18）设函数，.（）若，求函数在上的最小值；（）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；（）求函数的极值点.【答案】 考点二、已知函数极值（点）情况求参数范围；【例2-1】（20_-20_朝阳一模文19）已知函数.（）若求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】()若，函数的定义域为，.则曲线在点处切线的斜率为.而，则曲线在点处切线的方程为 （）函数的定义域为，.（1）当时，由,且此时，可得.令，解得或，函数为减函数；令，解得，但， 所以当，时，函数也为增函数.所以函数的单调减区间为， 单调增区间为，.（2）当时，函数的单调

29、减区间为，.当时，函数的单调减区间为，.当时，由，所以函数的单调减区间为，.即当时，函数的单调减区间为，.（3）当时，此时.令，解得或，但，所以当，时，函数为减函数；令，解得，函数为增函数.所以函数的单调减区间为， 函数的单调增区间为. 9分 （）（1）当时，由（）问可知，函数在上为减函数， 所以不存在极值点; （2）当时，由（）可知，在上为增函数， 在上为减函数. 若函数在区间上存在极值点，则， 解得或, 所以. 综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.【例2-2】（20_-20_东城期末理19）已知函数 （）当时，试求在处的切线方程；（）当时，试求的单调区间；（）若在内有极值，试求的取值范

30、围 【答案】（）当时， 方程为（）， 当时，对于，恒成立， 所以 ； 0.所以 单调增区间为，单调减区间为 （）若在内有极值，则在内有解 令 . 设 , 所以 , 当时，恒成立， 所以单调递减. 又因为，又当时，, 即在上的值域为, 所以 当时， 有解.设，则 ， 所以在单调递减.因为，, 所以在有唯一解.所以有：0 0 递减 极小值 递增 所以 当时，在内有极值且唯一. 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立 综上，的取值范围为 【练2-1】（20_-20_房山二模理18）已知函数 （）当时，求函数的单调区间；（）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围。【答案】（）当时， 定义域为 令，

31、得 0 递增 递减 极小值 递增 （）， 因为 所以令，只需 设， 若在区间上有两个极值点，则在区间上有两个零点 要使在区间上有两个零点，的唯一根必须在区间 所以令，得，且 解得：【练2-2】已知函数，（为常数）.若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】 由题意可知，解得 所以，实数的取值范围为.【练2-3】已知函数，其中且.若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】在上有且仅有一个极值点， 在上有且仅有一个异号零点， 由二次函数图象性质可得， 即，解得或， 综上，的取值范围是. 【练2-4】已知函数，其中且.（）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；（

32、）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（）由已知可得.， 又 在处的切线方程为.令，整理得. 或， ， 与切线有两个不同的公共点. -7分 （）在上有且仅有一个极值点， 在上有且仅有一个异号零点， 由二次函数图象性质可得， 即，解得或， 综上，的取值范围是. 【练2-5】（20_-20_海淀二模文18）已知函数， 其中且.（）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；（）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.【答案】（）由已知可得. 1分 ， 2分 又 在处的切线方程为. 4分 令，整理得. 或， 5分 ， 6分 与切线有两个不同的公共点.7分 （）在

33、上有且仅有一个极值点， 在上有且仅有一个异号零点， 9分 由二次函数图象性质可得， 10分 即，解得或， 12分 综上，的取值范围是.13分 【练2-6】（2022-2022年北京高考文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求的取值范围。【答案】由 得 因为的两个根分别为1,4，所以 （_）（）当时，又由（_）式得 解得 又因为曲线过原点，所以 故 （）由于a0,所以“在（-，+）内无极值点”等价于“在（-，+）内恒成立”。由（_）式得。又 解 得 即的取值范围 考点三、已知函数极值求参数值；【例3-1】已知函数.（）求的单调区间；（）

34、是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）的定义域为.， 即 . 令，解得：或.当时，故的单调递增区间是. 当时，随的变化情况如下：极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时，随的变化情况如下：极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （）当时，的极大值等于.理由如下：当时，无极大值.当时，的极大值为， 令，即 解得 或（舍）. 当时，的极大值为. 因为 ， 所以 .因为 ，所以 的极大值不可能等于. 综上所述，当时，的极大值等于. 【例3-2】已知函数在处有极值10，求的值.【答案】 依题意得方程组

35、 解得. 当a=-3,b=3时， 令得_=1. (-,1) 1 (1,+) + 0 + 无极值 显然不合题意，舍去. 当时， 令得或._ 1 （1，+）+ 0 - 0 + 极大值 极小值 在处有极小值10，合题意， . 导数专题三、最值问题 【知识结构】 【知识点】 一、求解函数最值问题的步骤：对于函数的最值问题主要建立在前面的极值问题的基础上；一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：第一步、求函数在内的极值；第二步、将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 二、主要的问题类型：1.分类讨论求函数最值；2.已知函数最值情况求参数范围；3.已知函数最

36、值求参数值；4.其他的情况转化为最值问题；【考点分类】 考点一、分类讨论求函数最值；【例1-1】（20_-20_东城一模文19）已知函数， （1）若在处取得极值，求的值；（2）求在区间上的最小值；（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立.【答案】（1）定义域为 ，因为函数在处取得极值，所以有， 解得 （2）1）当时， 在单调递增，所以该区间上的最小值为 2）当时， 在单调递增，所以该区间上的最小值为 3）当时， - 0 + 减 极小值 增 所以在该区间的最小值为 综上所述，当时，在的最小值为1；当时，在的最小值为.（3）由已知得，所以在时，恒有 若要证明当时，恒有成立，只需证明， 即证

37、明恒成立.令 令，有 当时，恒有，所以当时， 所以，所以在时，单调递减， 因此恒成立，所以，当时，恒有成立.【例1-2】（20_-20_丰台一模理18）设函数， （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）在（）的条件下，求证：；（）当时，求函数在上的最大值 【答案】（）当时， 所以 因为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即 4 （）证明：由（）知 令，则 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以当时，函数最小值是命题得证.（）因为，所以 令，则 当时，设，因为， 所以在上单调递增，且， 所以在恒成立，即 所以当，在上单调递减；当，在上单调递增 所以在上的最大值等于， 因为， 不妨设， 所

38、以 由（）知在恒成立， 所以在上单调递增 又因为， 所以在恒成立，即 所以当时，在上的最大值为 【练1-1】（20_-20_西城期末文19）已知函数，其中是自然对数的底数，.（）求函数的单调区间；（）当时，求函数的最小值.【答案】（）解：因为， 所以 2 令，得 3 当变化时，和的变化情况如下： 5 故的单调减区间为；单调增区间为 6 （）解：由（），得的单调减区间为；单调增区间为 所以当，即时，在上单调递增， 故在上的最小值为；当，即时， 在上单调递减， 在上单调递增， 故在上的最小值为；当，即时，在上单调递减， 故在上的最小值为. 所以函数在上的最小值为 【练1-2】（20_-20_海淀期

39、末文18）已知函数与函数在点处有公共的切线，设.（I）求的值 （）求在区间上的最小值.【答案】（I）因为所以在函数的图象上 又，所以 所以 3 （）因为，其定义域为 5 当时， 所以在上单调递增 所以在上最小值为 7 当时，令，得到(舍) 当时，即时，对恒成立， 所以在上单调递增,其最小值为 当时，即时, 对成立， 所以在上单调递减， 其最小值为 当,即时, 对成立, 对成立 所以在单调递减,在上单调递增 其最小值为 综上，当时， 在上的最小值为 当时，在上的最小值为 当时, 在上的最小值为.【练1-3】（20_-20_丰台一模理18）已知函数，.()若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a

40、,b的值；()当，且ab=时，求函数的单调区间，并求函数在区间-2，-1上的最小值.【答案】()函数h(_)定义域为_|_-a，1 则， 3 h(_)在点（1，0）处的切线斜率为0， 即,解得或6 ()记(_)= ，则(_)=(_+a)(b_2+3_)(_-a), ab=，所以，(_-a), , 令，得，或, 因为，所以， 故当，或时，当时， 函数(_)的单调递增区间为， 单调递减区间为, ,， 当，即时, (_)在-2,-1单调递增, (_)在该区间的最小值为， 当时,即, (_)在-2,单调递减, 在单调递增， (_)在该区间的最小值为， 当时,即时, (_)在-2,-1单调递减, (_)

41、在该区间的最小值为， 综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. （不综述者不扣）【练1-4】（20_-20_延庆一模理18）已知函数.() 讨论函数的单调性；（）当时，求函数在区间的最小值.【答案】函数的定义域为， 1 ()， 4 （1）当时，所以在定义域为上单调递增；5 （2）当时，令，得（舍去）， 当变化时，的变化情况如下：此时，在区间单调递减， 在区间上单调递增；7 （3）当时，令，得，（舍去）， 当变化时，的变化情况如下：此时，在区间单调递减， 在区间上单调递增. （）由()知当时，在区间单调递减，在区间上单调递增.（1）当，即时，在区间单调递减， 所以，；（2）当，

42、即时，在区间单调递减， 在区间单调递增，所以， （3）当，即时，在区间单调递增， 所以. 【练1-5】（20_-20_东城期末理18）已知，函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值 【答案】（）当时， 所以，.2 因此 即曲线在点处的切线斜率为.4 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即6 （）因为，所以 令，得 若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值 若，当时，函数在区间上单调递减， 当时，函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值 若，则当时，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最小值 综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为

43、；当时，函数在区间上的最小值为 【练1-6】（20_-20_西城二模理18）已知函数，其中 （）若，求曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最大值和最小值 【答案】的定义域为， 且 2 当时， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 4 （）解：方程的判别式为 （）当时，所以在区间上单调递增，所以在区间 上的最小值是；最大值是6 （）当时，令，得 ，或 和的情况如下： 故的单调增区间为，；单调减区间为 当时，此时在区间上单调递增，所以在区间 上的最小值是；最大值是 当时，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上的最小值是 因为 ， 所以 当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大

44、值是 当时，此时在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值是；最大值是 综上， 当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是 【练1-7】（20_-20_丰台一模文19）已知函数,.(1)设函数,且求a,b的值; (2)当a=2且b=4时,求函数的单调区间,并求该函数在区间(-2,m 上的最大值.【答案】()函数h(_)定义域为_|_-a, 则, 因为所以解得,或 ()记(_)= ,则(_)=(_+a)(b_2+3_)(_-a) , 因为a=2,b=4,所以(_-2), , 令,得,或, 当,或时,

45、当时, 函数的单调递增区间为, 单调递减区间为, 当-20 解得 所以 ，f（_）在（0，1）上递增，（1，e）上递减，且 f（1）此时（0，e）上不可能有零点 综上a=-1或者 【练2-7】（20_西城二模文）已知函数，其中.（）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（）当时，证明：存在实数，使得对任意的，都有成立；（）当时，是否存在实数，使得关于的方程仅有负实数解？当时的情形又如何？(只需写出结论) 【答案】（）解：当时，函数， 求导，得， 2分 因为， 3分 所以函数的图象在点处的切线方程为.4分 （）证明：当时，的定义域为. 求导，得， 5分 令，解得， 6分 当变化时，与的变化情况如下

46、表：+ 0 0 + 8分 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 又因为，当时，；当时， 所以当时，；当时，. 记，其中为两数， 中最大的数， 综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式 恒成立. 10分 （）解：当与时，不存在实数，使得关于实数的方程仅 有负实数解. 13分 考点三、已知函数不存在零点求参数范围；【例3-1】（20_-20_石景山一模文19）已知函数 （）求函数的极值；（）证明：当时，；（）当时，方程无解，求的取值范围 【答案】（）， 令解得， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有极小值 （）令，则， 由（）知， 所以在上单调递增， 所以， 所以. （）方程，整理

47、得， 当时，. 令， 则， 令，解得， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值， 而当越来越靠近时，的值越来越大， 又当，方程无解， 所以. 【例3-2】（20_-20_海淀期末理18）已知关于的函数 （）当时，求函数的极值；（）若函数没有零点，求实数取值范围.【答案】（），. 2分 当时，,的情况如下表：2 0 极小值 所以，当时，函数的极小值为. 6分 （）. 当时，的情况如下表：2 0 极小值 7分 因为, 8分 若使函数没有零点，需且仅需，解得,9分 所以此时；10分 当时，的情况如下表：2 0 极大值 11分 因为,且,12分 所以此时函数总存在零点. 13分 综上所述，

48、所求实数的取值范围是. 【练3-1】（20_-20_朝阳一模文18）设函数，记.（）求曲线在处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）当时，若函数没有零点，求的取值范围.【答案】(I)，则函数在处的切线的斜率为.又， 所以函数在处的切线方程为,即 4分 （）， ，（）.当时，在区间上单调递增；当时，令，解得；令，解得.综上所述，当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是，减区间是.9分 （）依题意，函数没有零点，即无解.由（）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数， 由于，只需， 解得.所以实数的取值范围为. 13分 综上所述，所求实数的取值范围是. 【练3-2】（20_-20_通州期末

49、理18）已知函数 ， （）求的单调区间；（）若方程没有实数根，求取值范围 【答案】（）因为函数，所以 1分 （1）当时，所以的递增区间是，无递减区间. 3分 （2）当时，令，得，令，得 所以的递增区间是，递减区间是 5分 综上，当时，的递增区间是，无递减区间， 当时，的递增区间是，递减区间是 （）（1）当时， 在上显然无零点， 所以方程没有实数根. 6分 （2）当时，在上单调递增， 因为，所以 所以在上有零点.所以方程有实数根. 8分 （3）当时，的递增区间是，递减区间是， 所以是的极小值，也是的最小值.所以没有实数根等价于 11分 所以所以 所以所以. 12分 综上，的取值范围是 13分 考

50、点四、证明函数零点情况；【例4-1】（20_-20_海淀期末理18）已知函数. （）当时，求函数的单调区间和极值；（）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）【答案】（）因为, 所以， 当时，.令 ， 得 ， 所以随的变化情况如下表：极大值 极小值 所以在处取得极大值， 在处取得极小值. 函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为 （）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立， 即函数在区间上的最大值小于等于1. 因为， 令，得. 因为时，所以. 当时，对成立，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为, 所以不等式在区间上无解；当时，随的变化情况如下表： 极小值 所以函数

51、在区间上的最大值为或. 此时, ， 所以 . 综上，当时，关于的不等式在区间上无解. 【例4-2】（20_-20_房山一模文19）已知函数， （I）求曲线在处的切线方程；（II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I）其中， 所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为 ， 令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 时， 令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又， 可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 【练4-1】（2

52、0_-20_房山一模文19）已知函数， （I）求曲线在处的切线方程；（II）求的单调区间 （III）设，其中，证明：函数仅有一个零点 【答案】（I）其中， 所以曲线在处的切线方程 （II）的定义域为 ， 令，解得 令，解得 所以，的单增区间为，单减区间为 （III），定义域为 又 当时，恒成立，即在上单调递增 又 即 可知函数仅有一个零点 时， 令，解得或 令，解得 所以，在，上单调递增，在上单调递减 又 又， 可知在有一个零点，即函数仅有一个零点 综上所诉，函数仅有一个零点 考点五、函数交点问题；【例5-1】（20_-20_东城期末文19）已知函数，.（）当时，求曲线在点处的切线的方程；（）

53、若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围；（）设函数，请写出曲线与最多有几个交点.（直接写出结论即可）【答案】（）当时，.当时，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （）由，得.当时，此时在上单调递增.当时，当时， 所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；当时，令，得.与在区间上的情况如下：极大值 若曲线与轴有且只有一个交点， 则有，即.解得.综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点. （）曲线与曲线最多有4个交点. 【例5-2】（20_-20_丰台一模文19）已知函数 （1）求曲线：在处的切线的方程；（2）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；（3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公

54、共点，求的取值范围。【答案】（1）由已知得，切点坐标为， 所以切线方程为 （2）由已知得，函数的定义域为 ，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有恒成立或者恒成立 1、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即大于的最大值 令，有 所以在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在满足条件。2、当恒成立时，即恒成立， 恒成立，即小于的最小值 由上种情况可知，单调递减，但恒有，因此的取值范围为 （3）当时，（1）中的直线与曲线：有且只有一个公共点 即只有一个根， 令，有只有一个零点 ， 1、当时，在单调递减，在单调递增，在取得最小值2，大于0 因此恒大于0，所以舍去 2、当时，解得， 1 - 0 + 0 -

55、减 极小值 增 极大值 减 易知 ，而当时，所以在只存在一个零点。3、当时，解得， 1 - 0 + 减 极小值 增 当时，所以若只有一个零点，必须有 即， 综上所述，的取值范围为和 【练5-1】（20_-20_西城期末理18）已知函数 (,为自然对数的底数). （）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；（）求函数的极值；（）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值 【答案】()由,得.又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (), 当时,为上的增函数, 所以函数无极值. 当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数

56、无极小值 当,在处取得极小值,无极大值. ()当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (_) 在上没有实数解. 当时,方程(_)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(_)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表: 递减 递增 当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当

57、时,方程(_)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 【练5-2】（20_-20_丰台期末理18）已知函数 （）求函数的极小值；（）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围 【答案】（）函数的定义域为R 因为 ， 所以 令，则 0 - 0 + 极小值 所以 当时函数有极小值 6分 （）函数 当时， 所以要使与无交点，等价于恒成立 令，即， 所以 当时，满足与无交点；当时， 而， 所以，此时不满足与无交点 当时，令 ， 则， 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时， 由 得， 即与无交点 综上所述 当时，与无交点 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 【知识结构】 【知识点】

58、求解函数的恒成立问题和存在性问题首先转化为函数的最值问题，主要的方法提炼：一、已知不等式恒成立，求参数取值范围：分参法；（1）分离参数，使不等式转化为（）恒成立；（2）求导函数；（3）找出的最大（小）值（）；（4）解不等式（），得出参数取值范围 二、已知不等式恒成立，求参数取值范围：讨论法；（1）构造新函数，使不等式转化为（）恒成立；（2）求导函数，判断函数的单调性；（3）找出的最小（大）值（）；（4）解不等式（），得出参数取值范围 【考点分类】 考点一、单变量单函数的不等式型；，即求 ，即求 【例1-1】（20_-20_朝阳期中文19）已知函数， （）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；（

59、）当时，证明.【答案】（I）函数的定义域为. 因为. 又因为函数在单调减，所以不等式在上成立. 设，则，即即可，解得. 所以的取值范围是. （）当时， .令，得或（舍）.当变化时，变化情况如下表：1 0 + 极小值 所以时,函数的最小值为. 所以成立. 【例1-2】（20_-20_海淀二模理18）已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；（）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果） 【答案】（）时且， ， 令则或；令则， 递增区间为和；递减区间为。（）在有解，在有解， 令，则在有解，即， 且， ， 当即时 在上递增，在上递减

60、，在上递增， 若，则，则， 则在上递减，在上递增， 则恒成立， 满足条件。若，则，则，则在上递增， 则， ，又， 当即时，在上递增， 在上递增，由知与矛盾， 当即时，在上递增， 由知与矛盾， 综上所述： （）。【练1-1】（20_-20_东城一模理18）设函数， （）当时，求的单调区间；（）当时，恒成立，求的取值范围；（）求证：当时， 【答案】（）当时，则， 则. 令得 + 所以 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时， （）因为， 所以恒成立，等价于恒成立 设， 得， 当时， 所以在上单调递减， 所以时， 因为恒成立， 所以 （）当时，等价于 设， 求导，得 由（）可知，时， 恒成立