函数的定义域与值域知识点与题型归纳 (2)

1、高考明方向 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.备考知考情 定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理名师一号P13知识点一 常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！2、定义域必须写成集合或区间的形式！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)yax(a0且a1)，ysinx，ycosx的定义域均为R(5)y

2、logax(a0且a1)的定义域为(0，)(6)函数f(x)x0的定义域为x|x0(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.（补充） 三角函数中的正切函数ytanx定义域为 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合知识点二 基本初等函数的值域注意：值域必须写成集合或区间的形式！(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域是： 当a0时，值域为y|yeq f(4acb2,4a)； 当a0时，值域为y|yeq f(4acb2,4a)(3)yeq f(k,x)(k0)的值域是y

3、|y0(4)yax(a0且a1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.（补充）三角函数中正弦函数ysinx，余弦函数ycosx的值域均为正切函数ytanx值域为名师一号P15 知识点二 函数的最值注意：名师一号P16 问题探究 问题3 函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在1、温故知新P11 知识辨析1（2）函数的值域为（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题函数的值域为（ ） 答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数的值域是，则函数的值域是（ ） 答案

4、：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1据解析式求定义域例1. （1）名师一号P13 对点自测1(2014山东) 函数的定义域为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2) B(2，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)(2，) D.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)2，)解析要使函数有意义，应有(log2x)21，且x0，即log2x1或log2x2或0 x0，)解得30，)解得1x2，所以定义域为(1,2例3. （2）名师一号P13 对点自测2已知函数f(x)eq f(1,x1)，则函数

5、f(f(x)的定义域是()Ax|x1 Bx|x2Cx|x1且x2 Dx|x1或x2解析eq blcrc (avs4alco1(x1，,f(1,x1)10，)解得x1且x2.注意： 名师一号P14 高频考点 例1 规律方法（2）（P13 问题探究 问题1 类型二）已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足ag(x)b的x的取值范围，而已知fg(x)的定义域是a，b，指的是xa，b例4(补充)已知的定义域是，求的定义域。答案：注意： 名师一号P13 问题探究 问题1 类型三若已知的定义域为，求的定义域相当于当时，求的值域（即的定义域）练习：(补充)已知的定义域是，求函数的定义域。

6、已知的定义域是，求函数的定义域。如: 的定义域是,的定义域练习：(补充)1、设函数，求函数的定义域。答案：得2、设函数的定义域为，求函数的定义域。答案：得3实际问题中函数定义域的确定注意： 实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义（二）求函数值域 注意：求函数的值域先求定义域！(1)确定函数值域的原则 当函数yf(x)用表格给出时， 函数的值域是指表格中y的值的集合 当函数yf(x)的图象给出时， 函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的 值的集合 当函数yf(x)用解析式给出时， 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定 当函数由实际问题给出时， 函

7、数的值域应结合问题的实际意义确定(2)基本初等函数的值域(3)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有：名师一号P14 问题探究 问题2 怎样求解函数的值域？求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域(3)换元法：形如yaxbeq r(cxd)(a、b、c、d均为常数，且a0)的函数常用换元法求值域，形如yaxeq r(abx2)的函数用三角函数代换求值域(4)分离常数法：形如yeq f(cxd,axb)(a0)的函数可用此法求值域(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函

8、数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围名师一号P17 高频考点 例3 规律方法 (3)、（4）基本不等式、导数法 例1. 名师一号P14 高频考点 例2（1）求函数的值域答案: 小结: 求函数值域的基本方法1配方法： 名师一号P14 问题探究 问题（2） 配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法，要特别注意自变量的范围；二次函数在给定区间上的最值有两类：（1）求闭区间上的最值；（2）求区间定（动），对称轴动（定）的最值-二次函数专题例2

9、. （1）(补充) 求函数的值域答案: 例2. （2）名师一号P14 高频考点 例2（2）求函数y2xeq r(12x)的值域方法1：令 eq r(12x)t(t0)，则xeq f(1t2,2).y1t2teq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)2eq f(5,4).二次函数对称轴为teq f(1,2)，在0，)上，yeq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)2eq f(5,4)是减函数故ymaxeq blc(rc)(avs4alco1(0f(1,2)2eq f(5,4)1，故函数有最大值1，无最小值，其值域为(，1方法2：y2x与yeq r(12x)均为定义域上

10、的增函数，故y2xeq r(12x)是定义域为x|xeq f(1,2)上的增函数，故ymax2eq f(1,2) eq r(12f(1,2)1，无最小值故函数的值域为(，1变式：求函数的值域分析:令答案: 形如yaxbeq r(cxd)(a、b、c、d均为常数，且a0)的函数令，使之变形为二次函数例2. （3）(补充) 求函数的值域分析:令答案: 练习：求函数的值域分析:令答案: 小结: 求函数值域的基本方法2换元法：名师一号P14 问题探究 问题（3） 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域例如：形如yaxbeq r(cxd)(a、b、c、d均为常数，

11、且a0)的函数令，使之变形为二次函数对于含结构的函数，可以利用三角代换，令，或令转化为三角函数强调：换元后要确定新元的取值范围！例3. （1）名师一号P14 高频考点 例2（3）求函数的值域例3. （2）(补充) 求函数的值域答案：变式1：求函数的值域答案：变式2：求函数的值域答案：小结: 求函数值域的基本方法3.不等式法：名师一号P17 高频考点 例3 规律方法 (3) 利用基本不等式：ab2eq r(ab)(a、bR)求函数的值域用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”例4. （1）(补充) 求函数的值域答案：例4. （2）求函数的值域（前面换元法已讲解）答案：

12、小结: 求函数值域的基本方法4.利用函数单调性: 名师一号P14 问题探究 问题（5） 根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域(补充)注意双勾函数的单调性!函数在区间单调递减; 函数在区间单调递增.例5. （1）温故知新P11 知识辨析1（2）函数的值域为（ ）答案：正确例5. （2）(补充) 求函数的值域.值域小结: 求函数值域的基本方法5.分离常数法: 名师一号P14 问题探究 问题（5）形如的函数的值域可使用此法练习：1、 2、 3、 答案：1、 2、3、例6.名师一号P14 高频考点 例2（4）求函数的值域法一：换元+分离常数法法二：利用函数有界性由yeq f(

13、3x,3x1)，得3xeq f(y,1y).3x0，eq f(y,1y)0，0y1.原函数的值域为(0,1)，无最值变式1：(补充)求函数的值域答案： 法一：换元+分离常数法法二：利用函数有界性变式2：(补充)求函数的值域答案： 法一：换元+分离常数法法二：利用函数有界性小结: 求函数值域的基本方法6函数有界性法：(补充)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过的函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数、指数函数的有界性。例7. （1）计时双基练P215第9题定义运算: 例如: 则函数的最大值为 答案:4 名师一号P15 特色专题 典例已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x

14、)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()Aa22a16 Ba22a16 C16 D16【规范解答】f(x)的图象的顶点坐标为(a2，4a4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a2，4a12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，H1(x)的最小值是A4a4，H2(x)的最大值是B4a12，所以AB(4a4)(4a12)16.【名师点评】本题应是一道难度较高的题目，是对学生思维能力的一个考

15、验，但通过数形结合很容易求解，同学们应该认真体会数形结合这种思想在特定情景下的神奇练习：(补充)定义运算，求函数的值域答案：小结: 求函数值域的基本方法7数形结合法：名师一号P14 问题探究 问题（6） 当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域(补充)如两点间距离、直线斜率等等例7. （2）(补充) 求函数的值域可视作单位圆外一点与圆上的点所连线段斜率的2倍,设过点的点的直线方程为即令解得或答案：练习：求函数的值域答案：变式：求函数的值域答案：例7. （3）(补充)求函数的值域其中答案：变式：求函数的值域答案：其中注意：求两点距离

16、之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧；求两点距离之差时，要将函数式变形，使两定点在轴的同侧。例8.（1）(补充) 求函数的值域.答案：例8.（2）(补充) 求函数的值域.答案：小结: 求函数值域的基本方法8求导法： 名师一号P42 知识点三 名师一号P44 问题探究 问题（3）当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值确定值域注意: (补充)(1)准确熟练记忆求导公式与法则(2)一般地，如果在区间上的函数 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤为：(1)求在区间内极值.(2)将函数的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个为

17、最大值，最小的一个最小值.一般地，如果在区间上的函数极值存在且唯一,那么它必是相应的最值（即极大值为最大值，极小值为最小值）.练习：求函数在上的值域.,令得(舍去)或当时, ,单调递增当时, ,单调递减为极大值, 极大值存在且唯一,最大值又所以值域为例9. (补充)求的值域答案：另法:分离常数法小结: 求函数值域的基本方法9判别式法： (补充)形如不同时为的函数可用判别式法求其值域.在由且，求出的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值注意:只适用于定义域为且分子、分母没有公因式的情形！注意：型，可直接用不等式性质. 如求的值域（答案：）和型，先化简，再用基本不等式或双钩函数 如例3：求

18、的值域 例3变式2：求函数的值域 = 3 * GB3 型，通常用判别式法也有的可通过分离常数法解决如例9：求的值域型，与类型类似，可用判别式法或基本不等式（三）函数值域的简单综合例10.名师一号P17 高频考点 例3（1）如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当xeq f(1,2)时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为()A2 B3 C4 D1解析：根据f(1x)f(x)， 可知函数f(x)的图象关于直线xeq f(1,2)对称又函数f(x)在eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)上单调递增，故f(x)在eq bl

19、c(rc(avs4alco1(，f(1,2)上单调递减，则函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.给定函数的值域，求参数的取值（范围）例11. （1）名师一号P17 高频考点 例3（2） 即P14 变式思考2（3）函数f(x)eq f(1,x1)在区间a，b上的最大值是1，最小值是eq f(1,3)，则ab_.解析：知f(x)在a，b上为减函数，eq blcrc (avs4alco1(fa1，,fbf(1,3)，)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,a1)1，,f(1,b1)f(1,3)，)eq bl

20、crc (avs4alco1(a2，,b4.)ab6.例11. （2）名师一号P14 高频考点 例3已知二次函数f(x)ax2bx(a、b是常数，且a0)满足条件：f(2)0，且方程f(x)x有两个相等实根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和2m,2n？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由 解析： (1)方程f(x)x，即ax2bxx，亦即ax2(b1)x0，由方程有两个相等的实根，得(b1)24a00，b1.由f(2)0，得4a2b0.由、得，aeq f(1,2)，b1，故f(x)eq f(1,2)x2x.(2)假设存在实数

21、m、n满足条件，由(1)知，f(x)eq f(1,2)x2xeq f(1,2)(x1)2eq f(1,2)eq f(1,2)，则2neq f(1,2)，即neq f(1,4).f(x)eq f(1,2)(x1)2eq f(1,2)的对称轴为x1，当neq f(1,4)时，f(x)在m，n上为增函数于是有eq blcrc (avs4alco1(fm2m，,fn2n，)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)m2m2m，,f(1,2)n2n2n，)eq blcrc (avs4alco1(m2或m0，,n2或n0.)又mneq f(1,4)，eq blcrc (avs4alco1(m2

22、，,n0.)故存在实数m2，n0，使f(x)的定义域为m，n，值域为2m,2n注意：名师一号P14 高频考点 例3 规律方法对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域上用相应方法求函数值域若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论可借助函数图象确定函数的值域或最值练习：已知函数在区间上的最大值为，求实数的值。解析：充分利用二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间端点取得这一结论求解解：函数的最大值必或或对称轴处取得（1）令,解得 此时 故的最大值不可能在处取得（2）令,解得 此时 且 故时, 取得最大值（3）令,解得 要使在处取得最大值 须且只须且 经检验,只有合题意综上所述, 或练习：已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围。答案：（1） （2）变式：已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值