北京航空航天大学材料力学课件-刘华-3第三章轴向拉压变形

1、第三章 轴向拉压变形(bin xng)3-1 引言(ynyn) 3-3 桁架节点位移与小变形概念3-4 拉压与剪切应变能3-5 简单拉压静不定问题3-6 热应力与预应力3-2 拉压杆的变形与叠加原理 3-7 拉压杆弹塑性分析简介3-8 结构优化设计概念简介1Page共六十二页思考：为什么要研究变形？下述问题是否(sh fu)与变形相关？各杆内力(nil)？ A点位移? 各杆材料不同，温度变化时内力？AF123AF453-1 引言2Page共六十二页3-2 拉压杆的变形(bin xng)与叠加原理轴向变形(bin xng) 胡克定律一、拉压杆的轴向变形与胡克定律拉压刚度(伸长为正)横向变形3Pa

2、ge共六十二页二、拉压杆的横向(hn xin)变形与泊松比试验表明：对传统材料(cilio)，在比例极限内， 且异号。泊松比横向正应变定义：4Page共六十二页例：已知E, m, D，d，F，求D和d的改变量。FFdD思考：当圆管受拉时，外径减小，内径增大(zn d)还是减小？ 横向应变中的横向：横截面上任意一点(y din)沿面内任意方向 泊松比：对于大多数各向同性材料00.5铜泡沫： =-0.395Page共六十二页例：已知E, m, D，d，F，求D和d的改变(gibin)量。FFdD解：先求内周长(zhu chn),设ds 弧长改变量为du, edu/dsdu=edsds6Page共六

3、十二页三、多力杆的变形(bin xng)与叠加原理解：1. 内力分析(fnx)。轴力图2. 变形计算。（用何方法？ ）方法一：各段变形叠加步骤：*用截面法分段求轴力；*分段求出变形；*求代数和。例：已知E，A1，A2，求总伸长7Page共六十二页阶梯形杆：讨论(toln)：n总段数FNi杆段 i 轴力变截面(jimin)变轴力杆8Page共六十二页解法(ji f)二：各载荷效应叠加与解法一结果(ji gu)一致，引出叠加原理(a)(b)例：已知E，A1，A2，求总伸长 （续）2F9Page共六十二页叠加原理：几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独(dnd)作用产生的效果的总和。叠加原理

4、(yunl)的适用范围*材料线弹性*小变形*结构几何线性10Page共六十二页叠加原理(yunl)成立。叠加原理(yunl)不成立。材料线性问题，材料非线性问题，11Page共六十二页*几何(j h)非线性问题例(2)杆伸长(shn chn)：解：(1)节点C平衡： (4)(3) 关系：(三次抛物线关系,瞬时机构,叠加原理不成立)(微小)例：已知 ，求 与 关系。12Page共六十二页解：距端点(dun din)x处截面的轴力为总伸长(shn chn)为例：已知 ，求 (1) 为常量dx 微段伸长13Page共六十二页解：(a)取长度(chngd)为x的杆段为分离体； (c)轴力 (e)总伸长

5、(shn chn)：(b)分离体内再取微段 ，微段载荷 (2) 为变量(d) 微段伸长：例：已知 ，求 （续）需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。14Page共六十二页解：1、叶片(ypin)的外力作用于微段 上的离心力为例：图示涡轮叶片，已知 ，角速度 ，求叶片 横截 面上的正应力与轴向变形。 15Page共六十二页2、叶片的内力(nil)与应力3、叶片(ypin)的变形dx 微段:总伸长：16Page共六十二页例：已知 ,求桁架节点A的水平(shupng)与铅垂位移解：1、轴力与变形(bin xng)分析(拉) (缩短)(压)(伸长)3-3 桁架节点位移与小变形概念17Page共六十

6、二页2、节点A的位移的精确计算(j sun) 及其困难。位移求法：杆1伸长 到 点， 杆2缩短 到 点， 以B、C为圆心作圆交于A点计算困难(kn nn)：解二次方程组；由于 位移内力变化，需迭代求解. 18Page共六十二页小变形：与结构原尺寸(ch cun)相比 为很小的变形。实用解法：*按结构原几何(j h)形状与尺 寸计算约束反力与内力；*采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。3、小变形问题实用解法19Page共六十二页4、节点(ji din)位移计算20Page共六十二页例：ABC刚性杆，求节点(ji din)C的位移。 然后(rnhu)画B点位移 思考：有同学问BB,CC铅垂向下，刚

7、性杆ABC杆为什么能伸长？ 再画C点位移 答：切线代圆弧的近似。解：先计算杆1内力 与伸长 FBDACCB21Page共六十二页例：零力杆：求A点的位移(wiy)。FABCABCA*AB杆不受力，不伸长(shn chn)转动。22Page共六十二页例：画出节点(ji din)A的位移杆两端均为可动点情形：平移+变形(伸长或缩短)+ 转动(zhun dng)(切线代圆弧)FABCaABC23Page共六十二页例：画节点(ji din)A的位移324Page共六十二页*设想(shxing)固定BD中点 和BD方位例：求A，C相对(xingdu)位移O*D点随OD杆变形发 生位移，DC杆平 移、伸长

8、、转动， 由对称性，C点到 达C点。25Page共六十二页3-4 拉压与剪切应变(yngbin)能两条平行(pngxng)的研究途径(从物理、理力到材力)方法一：方法二：例： 无摩擦，求26Page共六十二页功能原理成立条件：载体由零逐渐(zhjin)缓慢增加，动能与热能等的变化可忽略不计。应变能（ ）：构件因变形贮存能量。 外力功( ):构件变形时，外力在相应位移上做的功。W外力(wil)功、应变能与功能原理（根据能量守恒定律）弹性体功能原理：27Page共六十二页一、轴向拉压应变(yngbin)能*线弹性(tnxng)材料 拉压杆应变能D外力功弹性体功能原理：对线弹性体：（如何推导）28P

9、age共六十二页*非线性弹性(tnxng)材料外力(wil)功计算功能原理是否成立?29Page共六十二页二、拉压与剪切应变(yngbin)能密度单向受力应变能密度：单位体积内的应变能，用 表示单向受力应变(yngbin)能密度单向受力体应变能30Page共六十二页纯剪切拉压杆单向(dn xin)受力体应变能（常应力(yngl)等直杆）纯剪应变能密度（变力变截面杆）31Page共六十二页2、应变(yngbin)能计算3、位移(wiy)计算例：计算节点B的铅垂位移。 解：1、轴力分析32Page共六十二页例：用能量法求A，C相对(xingdu)位移。解：1、轴力分析(fnx)12周边四杆轴力：2

10、、应变能、外力功计算杆2轴力：3、位移计算33Page共六十二页 总结(zngji)： 1、不用通过画变形(bin xng)图来确定节点的位移。2、只能求解沿载荷作用线方向的位移。3、同时作用有多个载荷时，无法求载荷的相应位移。无法求A点的水平位移PABCF无法求A点的铅垂位移PABC34Page共六十二页3-5 简单(jindn)拉压静不定问题 *静不定(bdng)问题：根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。*静定问题 ：由静力平衡方程可确定全部未知力(包括支反力与内力)的问题。*静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。一度静不定AF123静定问题35Page共六十二页平衡(pnghng

11、)方程静不定问题求解(qi ji)思路协调方程 赘余反力数=协调条件数求解物理方程 ：F123F36Page共六十二页解：1、平衡(pnghng)方程2、变形(bin xng)协调方程3、胡克定律4、补充方程F123F37Page共六十二页1、静不定(bdng)问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；注意(zh y)：5、联立求解平衡方程及补充方程2、内力特点：内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增 大，轴力亦增大。F12338Page共六十二页2、几何(j h)方面3、物理(wl)方面4、支反力计算补充方程：解1：1、静力学方面例：求杆两端的支反力。 何时问题 ：39Page共六十二页2、物理(

12、wl)方面3、求解(qi ji)解2：1、几何方面例：求杆两端的支反力。 4、由平衡方程40Page共六十二页例：套管(to un)与轴两端用刚性板固定，其拉压刚度分别为E1A1、 E2A2。求分别在下列两种情况的载荷P作用下，套管与轴的轴力。PPPPl1l241Page共六十二页PP套筒：E1A1轴：E2A2分析变形：套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固定，套筒和轴的伸长量相等。协调(xitio)条件：平衡方程：PFN2FN142Page共六十二页PPl1l2套筒：E1A1轴：E2A2分析变形：套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固定，套筒和轴的伸长量相等。协调条件：FNZPFNT1FNZFNT2

13、轴均匀(jnyn)变形平衡方程：FNT1+FNZ=PFNT2 +FNZ=043Page共六十二页 关于(guny)变形图的画法 若能直接判断出真实(zhnsh)变形趋势，则按此趋势画变形图； 若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形 图均可。 对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可假设各杆 均产生拉伸变形，即内力为正(设正法)。若计算结果 为负，则说明真实方向与所设方向相反。(写变形协调方程时，可先不考虑符号，计算完后加以说明即可)44Page共六十二页F12lllABC例：AC为刚性杆，求1、2两杆的轴力可直接判断：1杆缩短(sudun)， 2杆伸长ACBFAFB计算(j sun)

14、完之后，说明一下： 1杆受压，2杆受拉45Page共六十二页F123llll1l2l3假设(jish)各杆受拉(设正法)FFN1FN2FN3例：AB为刚性杆，求1、2、3杆的轴力。AB各杆伸长(shn chn)，所受轴力为正46Page共六十二页例：各杆拉压刚度(n d)EA，杆1，2 长l解：1、画变形图(画法(hu f)2,教材P75图为画法(hu f)1)设节点C位移至C，过C点向三杆作垂线2、根据变形图画受力图，假 设各杆均受拉。对照书上 例题。思考：可否假设杆1，3受压，杆2 受拉求解？47Page共六十二页解：1、平衡(pnghng)方程3、物理(wl)方程2、变形协调方程C48P

15、age共六十二页5、强度(qingd)校核4、解答(jid)符合强度要求思考：选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强?设49Page共六十二页6、设计(shj)截面思考：由上式设计的 能否取各自由上式的计算值？为什么？设4、解答(jid)50Page共六十二页解：1、协调(xitio)条件例：ABC刚性(n xn)块，各杆EA，求轴力。分析：如何建立变形协调条件？考虑刚性块ABC转动：2、代入物理方程51Page共六十二页4、解答(jid)3、平衡(pnghng)方程52Page共六十二页建立协调(xitio)方程例（方法一）赘余杆：杆3和杆4协调(xitio)方程：53Page共六十二

16、页建立(jinl)协调方程例（方法二）结构看作(kn zu)两部分组合，A点位移相同。协调方程：54Page共六十二页3-6 热应力(yngl)与初应力(yngl) 思考：当温度变化时，杆内可能(knng)引起应力吗？AA(1)(3)(2)(4)55Page共六十二页A 在静不定结构(jigu)各构件杆变形必须服从变形协调条件，因此温度变化或杆长制造误差，一般将引起应力。 由于杆长制造误差或温度变化，结构在未受载时已存在的应力，分别(fnbi)称为初应力（或称预应力）与热应力。56Page共六十二页解：(1)平衡(pnghng)方程（设各杆受拉）代入物理(wl)方程(2)协调方程例：3杆制造误

17、差长 ，1、2杆 ，3杆 ，求各杆内力57Page共六十二页设 由温度(wnd)变化引起：解答(jid)成为（比较预应力与热应力）解答：58Page共六十二页例：制造误差，同时(tngsh)作用外载。1、利用叠加原理(yunl)求解思考：装配应力有利还是有害？工程中能否利用？用于设计等强结构：如预应力钢筋混凝土。载荷内力装配或/和温度内力59Page共六十二页2、一般(ybn)解法(1)平衡(pnghng)方程（同前）(2)协调方程(3)物理方程(同前)规律探索：从单纯外载静不定问题到载荷、预应力和热应力耦合静不定问题，求解方程唯一不同：FF60Page共六十二页建立协调(xitio)方程例61Page共六十二页内容摘要第三章 轴向拉压变形。3-4 拉压与剪切应变能。3-2 拉压杆的变形与叠加原理。3-