传热学-第四章-热传导问题数值解法课件

1、作业：第四版：3-2，3-31，3-482022/7/151第四章导热问题的数值解法Numerical Method forHeat Conduction2022/7/153主要内容（重点掌握）：导热问题数值求解的基本思想内外节点离散方程的建立非稳态导热问题的数值解法 Friday, July 15, 20224特点： (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；前述2、3章对导热问题的求解思路：导热微分方程+边界条件+初始条件稳态问题：直接积分法非稳态问题：分离变量法

2、解析解（analytical solution）局限性：简单几何形状及边界条件工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依据，不能解决实际问题。研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法； (2)实验法；(3)数值计算法4-0 引言Friday, July 15, 20225(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法：a 偏向于机理研究；b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、空间上的局限性c.费用昂贵(3) 数值方法数值方法：把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点

3、上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；b. 与实验法相比成本低数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD） Friday, July 15, 202264-1 导热问题数值求解的基本思想建立控制方程及定解条件确定节点（建立网格系统）针对所有节点建立某物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程解的分析是

4、改进初场否是否收敛步骤：Friday, July 15, 20227研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题1.建立控制方程，给出定解条件：B.C.Friday, July 15, 202282.区域离散化-建立网格系统相邻节点之间的距离步长（step length）节点（node）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域元体（element）或控制容积（control volume）：相邻两节点中锤线构成的区域。xyn=1mm=Mn=Nm=1(m,n)Friday, July 15, 202293

5、.建立物理量的代数方程节点(m,n)上物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值求解的重要环节。4.设立迭代初场代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）5.求解代数方程组各项系数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化线性问题r，c，l，e随温度变化各项系数在每次迭代中更新非线性问题6.解的分析获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。Friday, July 15

6、, 202210建立离散方程的常用方法：(1) 泰勒级数展开法；(2) 多项式拟合法；(3) 控制容积积分法；(4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)4-2 内节点离散方程的建立方法Friday, July 15, 202211一. 泰勒级数展开法Friday, July 15, 202212a，b相加得：略去无穷小量有：Friday, July 15, 202213同理，在y轴方向有：这种使用被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为中心差分传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：Friday, July 15, 202214Friday, July 15, 2022

7、15二. 热平衡法思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守恒方程。均分网格：直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰，推导过程简洁，应予以重点掌握！非均网格只需对界面面积做适当处理即可(m,n)Friday, July 15, 2022164-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。xyn=1mm=Mn=Nm=1wsen(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)封闭第二类边界条件或第三类边界条件：部分边界温度未知。

8、不封闭(m,n)Friday, July 15, 2022171.边界节点离散方程的建立：qwxyqw(1) 平直边界上的节点(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)Friday, July 15, 202218(2) 内部角点xyqw(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)(m+1,n)Friday, July 15, 202219(3) 外部角点xy(m,n)(m,n-1)(m-1,n)qwFriday, July 15, 202220热流边界qw分为三种情况讨论：第三类边界条件：(3) 辐射边界条件：Friday, July 15, 2022212.节点方程组的求

9、解思路：写出所有内节点和边界节点的离散方程；使得未知节点个数=代数方程式个数代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法迭代法：给出初场，在迭代中不断改进，直至满足收敛条件为止。直接求解：矩阵求逆，高斯消元法等经过有限次运算获得代数方程的精确解。Friday, July 15, 202222直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到每两次之间的迭代结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度

10、的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值Friday, July 15, 202223在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：第 k 次迭代完全结束后的节点温度：Friday, July 15, 202224判断迭代是否收敛的准则：当有温度t接近于零的时，选此准则较好迭代次数，表示第k次迭代表示第k次迭代所得计算域内的最大值Friday, July 15, 202225例题：Friday, July 15, 202226Friday,

11、July 15, 202227 4-4 非稳态导热问题的数值解法 非稳态导热数值解法的特点： （1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件； （2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间域进行离散； （3）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化； （4）由于时间和空间同时离散，在有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点温度方程求解的稳定性问题。 Friday, July 15, 202228第三类边界条件下，常物性、无内热源无限大平壁的一维非稳态导热问题为例。 1) 求解域的离散 2) 节点温度差分方程的建立 运用热平衡法可以

12、建立非稳态导热物体内部节点和边界节点温度差分方程。1. 一维非稳态导热的数值求解： Friday, July 15, 202229内部节点温度差分方程 内部节点n所代表的控制容积在i时刻的热平衡： 时间项一阶导数采用向前差分，扩散项采用当前（i）时层上的值来表示，热平衡方程式可写成 左侧导入热量右侧导入热量计算第i+1时层温度值时，用第i时层的已知值内部节点温度方程的显式差分格式 Friday, July 15, 202230两点结论： (a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联立求解方程组，这是显式

13、差分格式的优点。这样就可以从初始温度出发依次求出各时刻的节点温度；(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即 稳定性条件说明，一旦空间步长x或时间步长的数值确定之后，另一个步长的数值的就不能任意选择，必须满足稳定性条件。 物理意义: Friday, July 15, 202231隐式差分格式： 如果节点温度取下一时层(i+1)的温度值，内部节点n所代表的控制容积的热平衡方程式可写成: 内部节点温度方程的隐式差分格式 Friday, July 15, 202232隐式格式与显式格式的区别：Friday, July 15, 202233 (2) 边界节点温度差分方程 边界节点0所代表的控制容积在k 时刻的热平衡： 时间项一阶导采用向前差分，扩散项采用前一时层（i）温度（显示格式），热平衡方程式可写成： 上式写成显函数的形式Friday, July 15, 202234同内部节点温度方程的显式差分格式的道理相同，需将上一时层的信息传递到下一时层去，因此必须满足：Friday, July 15, 202235 第四章小结 （2）掌握有限差分法的原理; 重点掌握以下内容： （3）能够根据导热问题的特点，