概率论与数理统计课件：第7讲 随机变量函数的分布

1、问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布, 2.4 随机变量函数的分布求截面面积 的分布。又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 I 的分布，求功率 W=I2R (R为电阻) 的分布等。 一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。 这个问题无论在理论上还是在实实际中都非常重要。2.4.1 离散型随机变量函数的分布解：当 X 取值 -1，0，1，2 时， Y 取对应值 4，1，0 和 1。由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3+0.4 = 0.7， PY=4 =

2、 PX=-1 = 0.2 .例1：设随机变量 X 有如下概率分布： 求 Y= (X 1)2 的概率分布。得 Y 的概率分布： 一般地，若X是离散型 随机变量，概率分布为如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大) 的 y1, y2 , yi ,.把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加，记成 qi , 则 q1, q2, , qi ,就是Y = g(X) 的概率分布。例2：在应用上认为: 单位时间内，一个地区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月内发生火灾的次数 XP(5)，

3、试求随机变量Y=|X-5|的概率分布。 解：由于X的所有可能取值为0, 1, 2, , 对应的概率分布为及Y=|X-5|可知，Y 的所有可能取值为0, 1, 2, 。且对每个 i，当 0 i 5时，有 k=5+i 和k=5-i 两个 k 值与 i 对应, 使 |k-5|=i ; 当i=0 或 i6 时，只有一个 k 值与 i 对应，使|k-5|=i 。于是，Y的概率分布为：2.4.2 连续型随机变量函数的分布解：设 Y 的分布函数为 FY(y)，则例3：设随机变量X 有概率密度求 Y = 2X+8 的概率密度。于是Y 的密度函数注意到得 从上述例中可以看到, 在求P(Yy)的过程中, 关键的一

4、步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式 。例如: 用X(y-8)/2 代替 2X+8y, 这样做是为了利用已知的 X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY (y)。 这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的一种常用方法。 下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机变量函数的概率密度 。注:a可以是负无穷,b可以是正无穷其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数， 定理1: 设 X是具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量,且在区间a, b外取值为0, 又设 y= g(x)在(a,b)内可导的严格单调函数, 记 (, ) 为g(x)

5、的值域，则随机变量Y = g(X)是连续型随机变量，概率密度为例6：设随机变量X在 (0,1) 上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。解：在区间 (0, 1) 上，函数 ln x 0, 于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上单调下降,在(-,0)上取值, 有反函数 由前述定理，得注意取绝对值已知 X 在 (0,1) 上服从均匀分布，代入 的表达式中得即Y 服从参数为1/2的指数分布。求导可得当 y0 时,例7：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x), 注意到 Y=X2 0，故当 y0时，FY(y)=0；若则

6、 Y=X2 的概率密度为： 从上述例中可以看到, 在求PYy的过程中, 关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式 。例如: 用X(y-8)/2 代替 2X+8y,用 代替 X2 y 。 这样做是为了利用已知的 X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY (y)。 这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的一种常用方法。例8：设随机变量X的概率密度为求 Y = sinX 的概率密度。当时 解：注意到,当 y0 时， FY(y)=0；当 y1时，FY(y)=1；当 0 y 1, G(y)=1;对 y0, G(y)=0;由于0y1，对0y1,G(y)=P Y y =P F(X) y =F (y)= y，即Y的分布函数是=P F-1 F(X)F-1 (y) =P XF-1 (y) Y 的密度函数故, Y 服从0，1上的均匀分布。 本节