第二讲风险效用理论及保险定价理论的发展ppt课件

1、对外经济贸易大学游桂云教授第二讲 风险成效实际及保险定价 实际的开展.寿险定价特点寿险定价特点长期性、储蓄性 死亡率 收益率 费用率寿险业务利润亏损来源 死差益损 利差益损 费差益损分红保单&不分红保单.非寿险定价特点-传统印象 中短期业务 资金时间价值不被强调.国外非寿险定价实际开展在早期的保险运营中，国外保险企业根据银行利率程度来规定预定的利率，以银行存款作为保险资金的主要运用途径保险标的的承保风险是保险企业面临的主要风险。精算定价实际.20世纪60年代后，西方资本市场日渐兴隆，为保险资金的运用开辟了宽广的空间，保险企业为了提升本身的竞争才干，纷纷寻求更好的资金价值增值的途径。 .上世纪七

2、十年代以后，国际保险运营的一个显著特点是保险企业为了减少运营风险，添加效益，日益注重投资职能的发扬，期货、期权等金融衍生工具买卖成为保险投资的一项重要内容。 承保利润与投资实际的权重变化。 .风险成效概念大约在220年以前由数学家丹尼尔贝努利提出的，成为20世纪后期开展起来的保险经济实际的基石。冯.诺伊曼和摩根斯坦卡尔.博尔奇将成效实际用于再保险最优化研讨，从而使其迅速开展起来。.非寿险定价实际 精算定价风险成效定价金融工程定价.精算定价精算开展与根本原理保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去处理商业保险和社会保证业务中需求准确计算的工程，如研讨保险事故的出险规

3、律、保险事故损失额的分布规律、保险人承当风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任预备金等保险详细问题的计算。.保险精算学来源于人寿保险中的保费计算，其开展与寿险有着深沉的渊源关系。英国著名天文学家爱德华哈雷根据德国布勒斯市居民的死亡资料，编制了世界上第一张完好的生命表。.20世纪以来，尤其是二次大战后，数理统计在实际上不断完善、在运用中逐渐成熟，而保险业本身也面临竞争日益猛烈、新险种不断涌现和费率计算渐渐合理的挑战。进而出现了一个结合数学、统计学、保险学和金融学等多种学科的崭新交叉学科精算学(Actuarial Science)。.保险精算最根本的原理可简单归纳为收支相等原那么和大数法那么。.

4、收支相等原那么也叫做平衡原理。所谓大数法那么，是用来阐明大量的随机景象由于偶尔性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。它主要包括切比雪夫大数法那么、贝努力大数法那么、普阿松大数法那么。.精算学最早源于人寿保险中的费率计算，而目前国际上普遍以为，精算学已不仅限于寿险。笼统地说，精算学是定量地研讨未来的随机事件对目前财政情况的影响，进而制定科学合理的运营战略，以减少不良的影响。 .非寿险精算定价过程非寿险的内涵 寿险与非寿险 人身保险与财富保险非寿险的特点是： 风险种类繁多、影响风险发生的要素多和索赔方式复杂。.正是由于以上缘由，非寿险精算就没有寿险那样系统和规范，往往是一类问题对应一类

5、方法，有时甚至在同一类问题中也要随时间和环境的变化而修正计算方法，这时保险业务知识和统计分析是交融在一同的，必需以实践效果来衡量方法的优良。但非寿险精算作为一个独立的研讨领域也有一些较为成熟的问题和方法。.非寿险精算定价过程风险分级和风险评价保险金额和免赔额确定损失分布估计保额损失率确定风险附加和费用附加后验费率.风险分级和风险评价风险分级风险同质性强 阅历 相关性分析风险评价风险异质性突出.保险金额和免赔额确定 关系到保险公司责任的承当保险金额和免赔额确定 阅历方法 最优保险程度成效实际.损失分布估计 非寿险的损失分布估计问题与普通的统计估计问题有类似之处，即包括分布拟合与参数估计两大类问题

6、但这里的估计问题也有本身的一些特点。对于非寿险，包括索赔频数的分布和损失程度的估计.要首先明确风险单位(例如：汽车险中的“年车、医疗险中的“人次)，然后经过对现有索赔记录的分析处置，估计频数分布，目前经常采用Possion分布和负二项分布等。.数据类型普通为分组频数数据，即只知道区间内的数据个数而没有详细值的记录；另外，由于免赔额和超额损失的存在，使得数据具有左截断和右删失的特征。 .常用的统计方法有：非参数的最优拟合方法，估计拟合精度，比较拟合效果；知分布的参数估计方法，常见的分布有：威布尔(Weibull)分布、伽玛(Gamma)分布、布尔(Burr)分布、对数正态(lognormal)分

7、布、帕累托(Pareto)分布和Beta分布等。估计方法有：最大似然法、最小间隔方法、估计方法和Bayes估计方法等。 .估计过程根据样本数据作图察看图形，找出能够符合的分布 常用的分布类型有.0-1两点分布 .二项分布.泊松分布 .几何分布 .均匀分布 那么x在区间a，b上服从均匀分布.正态分布 .指数分布. 卡方分布 .t分布 .F分布.参数估计和拟合优度检验 参数估计矩估计法极大似然估计最小法 拟合优度检验.确定保额损失率建立损失分布就可估计出未来的损失，确定保额损失率。根据保险精算原理，保额损失率经过不同风险个体和不同风险集合的损失分布求期望值而获得，计算公式如下： .保额损失率其中N

8、表示保险金额损失率，ES表示期望损失，A表示保险金额总额。 .附加费率包括风险附加和费用附加.风险附加风险附加费率又称第一附加费率，它是为防止各年度实践保险金额损失率偏离保险金额损失率期望值，在净费率根底上附加的费率。.费用附加费用附加是指保险公司为了进展正常的运营活动，还必需向投保人收取一定的运营管理费用、中介人佣金和税金等，它属于本钱核算问题。 在实践定价中，费用附加常以风险保费的一定比例计算。 .对附加费率的监管是保险监管的重要内容。.后验费率确实定 根据保险精算定价实际，保险定价过程可分为两个方面建立充分费率和设定实践价钱。.保险产品价钱是建立在充分费率根底上，却不一定等于充分费率，保

9、险公司可根据其本身的营销目的设定出比充分费率更低或更高或与充分费率相等的价钱。.由纯保费与费用附加得到先验费率既充分费率，但是由于所保风险具有一定的异质性，为了表达公平性，让不同风险的交纳不同的保费，我们需求在实践的定价中对先验费率进展调整，这就是奖惩系统的设计。.基于曾经发生的损失金额和损失次数，将被保险人分成不同的等级，对不同等级的被保险人收取不同的保费，对未发生损失的被保险人收取较低的保费，对与发生损失的被保险人收取惩罚性的保费。后验费率确实定，即BMS的设计。.后验费率 称为无赔款折扣系统(NCD： no-claims discount)，又称为奖惩系统(BMS：bonus-malus

10、 system) .BMS最早产生于20世纪50年代中期的欧洲，后来逐渐为各国接受，并在各国构成了符合本身国情的奖惩系统。BMS被广泛运用于各种险种，在我国对于BMS的研讨也大多集中在汽车保险的领域。.风险成效实际2022/7/12.风险期望成效实际圣彼得堡悖论Von Neumann-Morgenstern期望成效实际行为主体的风险偏好风险成效实际的质疑与开展基于风险成效实际的保险定价思想.圣彼得堡悖论 对风险按照数学期望值的方法度量，这种方法客观、直观和简便，然而在保险经济中却不适用。.案例：该企业的风险决策矩阵可表示为1=0.9992=0.0011（不发生保险事故）2（发生保险事故）a12

11、00万元0a2199.75万元199.75万元a3199.78万元189.78万元.三个方案的期望值分别为：.按照数学期望值决策，投保人不会采取保险公司提供的一切契约，然而在现实中，投保人往往情愿支付比损失风险数学期望值其绝对值为0.2万元大的保险费(比如0.25万元) 在保险公司投保.这阐明，按照数学期望值的大小进展比较，并没反响投保人心目中对随机变量的偏好。 .1728年，贝努里提出著名的“圣彼得堡赌博悖论.“彼得堡悖论或“圣彼得堡悖论 1728年，Necholas Bemoulli 设计了如下实验：假设一人反复向上抛一枚质地均匀的硬币知道它正面朝上，参与扔一次就正面朝上获得2美圆报酬，假

12、设扔第二次时正面朝上就获得 美圆，扔第三次时就获得 美圆，依此类推。问：人们情愿出多少钱去玩这个游戏？答案：23美圆。参与者能够赢钱的数学期望：.圣彼得堡悖论阐明，在人们心目中，不是用数学期望值来度量一个随机变量的。.西方经济学成效实际 成效：商品满足人的愿望的才干和消费者在消费商品时所感遭到的满足程度。 基数(cardinal number)成效：边沿成效分析方法总成效TOTAL UTILITY，TU ：消费者在一定时间内从一定数量商品的消费中所得到的成效量的总和。边沿成效MARGINAL UTILITY，MU：消费者在一定时间内添加一单位商品的消费所得到的成效量的增量 序数(ordinal

13、 number)成效：无差别曲线分析方法.无差别曲线Indifference curve含义：无差别曲线表示对消费者没有区别的商品组合的点的轨迹。即无差别曲线是用来表示两种商品或两组商品的不同数量的组合对消费者所提供的成效是一样的。 .无差别曲线的特征无差别曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜的曲线，其斜率为负值，它阐明在收入与价钱既定的条件下，为了获得同样的满足程度，添加一种商品消费时就必需放弃或减少另一种商品的消费。两种商品在消费者偏好不变的条件下，不能同时减少或增多。 在同一平面图上有无数条无差别曲线，同一条无差别曲线代表同样的满足程度，不同的无差别曲线代表不同的满足程度，离原点越远，满

14、足程度越大，反之那么越小。 .偏好关系 关于消费者偏好的根本假定偏好的完全性；偏好的可传送性；偏好的非饱和性 .偏好关系定义：消费集X上的二元关系，用“ 表示，假设 ，我们称对于消费者“ 与 只是一样地好。假设该二元关系满足如下公理：完备性：对于恣意属于X集的两个选择 与 ，要么 ，要么传送性：对于恣意属于X集的任何三元素 、 与 ， 假设 且 ，那么 。那么它被称为一种偏好关系。.贝努利的建议：贝努利建议，可以对原有的期望值“度量 进展修正，其方法是对结果值进展变换，即构造定义在实数集合上的函数u(x)，满足 .对于延续性随机变量X,可以用其对应的概率密度函数f(x)计算成效期望值 .对于离

15、散型随机变量X，可以用其对应的概率分布列计算成效期望值 .然而，贝努利的建议有何根据？它和行为主体如投保人对于随机变量之间的偏好有什么关系？如何建立行为主体如投保人的成效函数？这些问题直到Von Neumann-Morgenstern 证明了如下定理后才得以从实际上处理。.Von Neumann-Morgenstern期望成效实际设D为一个行为主体一切能够选择组合结果的集合，当行为主体对不同的选择组合因此对与其对应的概率分布的偏好满足如下公理：. 保序性公理：.中值性公理：.等价关系的独立性公理：.那么存在一个成效函数u(x)对应该行为主体对选择组合的偏好，并且该行为主体对选择组合的评价是按成

16、效期望值做出的，即对随机变量X的评价值为 .注：证明过程略。.成效期望值风险成效确实定 对于延续型随机变量X，可以用其对应的概率密度函数f(x)计算成效期望值 .对于离散型随机变量X，可以用其对应的概率分布列计算成效期望值 .例2-1 假设某企业拥有价值200万元的厂房，厂房发生火灾的概率为0.001，不发生火灾的概率为0.999。假设保险公司甲情愿接受该企业的风险转移，即保险事故发生时，保险公司赔付200万元，但该企业需交纳保费P1=0.25万元；保险公司乙提出绝对免赔额10万元，而要求的保费是P2=0.22万元。那么该企业有三种方案：a)自留风险；b)投保保险公司甲；c)投保保险公司乙。

17、.假设计算三个方案的成效期望值。.风险成效函数与西方经济学中的成效函数比较微观经济学中的成效函数： .经济学意义： 多多益善假设，即消费品数量越多成效越大假设 边沿成效递减假设，或者叫消费有够假设.风险成效函数：. 对风险的态度与成效函数之间的关系： .风险确定等价值定义3.1：假设u(x)是行为主体的成效函数，那么对于一个随机变量风险称 为X确实定值等价。 .含义是：在行为主体的心目中，得到确定的结果与采取行动得到的随机变量X是等价的。 可看作行为主体对X的客观评价 .显然， 与EX之间的关系是三者之一 .确定等价值确实定 在前例中：.确定等价值确实定.确定等价值确实定.风险态度定义3.2：

18、假设u(x)是行为主体的成效函数，那么对于恣意的随机变量风险1均有 EX，那么称该行为主体是风险喜好型的； 3均有 =EX，那么称该行为主体是风险中性型的； .詹森定理 定理3.1Jensen不等式：假设函数u(x) 具有 对 均成立，那么对恣意的随机变量风险，均有.该定理阐明，假设行为主体的风险成效函数是： 1凹函数，即 那么该行为主体是风险厌恶者；2凸函数，即 那么该行为主体是风险喜好者；3具有线性风险成效函，即 那么该行为主体是风险中性者； .注：詹森定理的证明见word。 .风险厌恶的度量 Markowitz 风险酬金1 Markowitz risk premiumk(X)=EX- 1

19、 也被称为“风险升水。.可看作行为主体为了防止随机变量呵斥的不确定性，而情愿放弃的收益的最大值。Markowitz 风险酬金越大，阐明行为主体为防止风险情愿放弃的收益越多。因此可以用Markowitz 风险酬金来描写行为主体对风险的厌恶程度。 .Markowitz risk premium 非常直观地表达了行为主体对风险的厌恶程度，然而Markowitz risk premium 的大小与随机变量有关。因此，必需寻觅只反映行为主体主管的风险态度与客观的随机变量无关的量，来度量行为主体对风险的厌恶程度绝对风险厌恶度的提出。 .绝对风险厌恶度的提出Arrow, Pratt：根据Markowitz

20、risk premium的定义：k(X)=EX-.为此，Arrow1970和Pratt1964分别把反映客观风险的要素去掉，仅留下反映行为主体客观上对风险的态度部分，提出绝对风险厌恶度的概念。 .定义3.4： 假设行为主体的成效函数为u(x),称 为行为主体的Pratt-Arrow绝对风险厌恶度。 .定义3.5: 设 分别是风险厌恶型行为主体A与B的风险成效函数。假设对恣意x都有：那么称行为主体A比行为主体B更厌恶风险。 .定理3.4(Pratt) 假设那么对恣意随机变量X,必有 .例: 两个行为主体的风险成效函数分别为试比较它们对风险厌恶的程度 。解： .相对风险厌恶度定义3.6：假设行为主

21、体的成效函数为u(x),称 为行为主体的相对风险厌恶度。.例：两个行为主体的成效函数分别为 试比较他们对风险厌恶的程度。.初始资产对风险厌恶的影响 设风险厌恶型的行为主体拥有初始资产普通来说，他会把面临的风险与初始资产“捆绑在一同进展度量。 .定义3.7 假设行为主体的成效函数为.具有性质那么称行为主体是递减绝对风险厌恶的；.假设那么称该行为主体是常绝对风险厌恶的；假设那么称行为主体是递增风险厌恶的。.普通说来，假设那么对于恣意风险X， 成立，即随着初始资产的添加，对风险感受的厌恶程度会下降； .假设那么对于恣意风险X， 有 即随着初始资产的添加，对风险感受的厌恶程度会上升； .假设那么对于恣

22、意风险X， 即对风险的厌恶程度与初始资产无关。 .Pratt(1964)1、Keeny和Raiffa2(1976)指出：1 Pratt，J.W., Risk Aversion in the small and in the large ,Econometrica(32),1964,pp.122-2 Keeny, R.L., Raiffa, H., Decisions with Multiple Objectives-Preferences and Value Tradeoffs; New York et.al.1976.具有常绝对风险厌恶的成效函数的方式只需.具有递增绝对风险厌恶的成效函数，其

23、方式为 是这种方式的成效函数中的一种特例。.具有递减绝对风险厌恶的成效函数的方式有以下多种.可以看出，是这种成效函数的一种特例。.风险成效实际的质疑与开展阿莱悖论；马齐纳概率三角形；偏好逆转；框架效应；前景实际.基于风险成效实际的保险定价对存在风险和不确定条件下，以期望货币最大化作为决策规范提出质疑，并初次提出“成效概念，同时提出了边沿成效递减原理和最大期望成效原理。.冯诺一曼和摩津斯坦证明了对一个“行为合理 的决策者，存在一个成效函数，其根据随机事件期望成效值的大小决议。成效值的大小衡量了决策者对于风险的态度、偏好等客观要素的强弱程度。成效实际属于个体心思及行为的决策实际。.投保条件 .承保

24、条件.122达成协议的条件保险产品的价钱只需介于P和H之间时，才是合理，而且能为投保人和承保人接受的。 .零成效原那么承保人角度在确定保费时，零成效保费定价方法是较为常见的。对于承保人来说，承当风险X的期望成效应与不承保时的成效相等，这是成效实际在保险定价实务方面的详细运用方式。 Eu(P(X)-X)=u(0)=0.根据成效函数的不同可以分成不同的原那么。主要有以下的原那么：.指数原那么.与初始资产有关的零成效原那么.中值原那么Eu(X)=u(P(X).损失函数原那么Esscher原那么 Min EL(X-P(X)，其中L()为损失函数。.金融定价实际 产生背景早在20世纪20年代，火灾保险委

25、员会的少数报告就建议将投资收入也思索到决议合理利润条款中，但是这项建议被国际保险委员会否决。.当时保险监管协会的立场是只需承保行为是决议保险公司合理利润程度的决议要素，与投资无关。而且，引荐运用5%作为一定的边沿利润程度，该程度在制定时很明显没有统计数据的支持。.在20世纪60年代和70年代，由于利率的动摇性提高，使得讨论更加猛烈。1970年国际保险委员会提出，“确定利润时，一切的收入都要思索进去。2.1 Stephen P. DArcy And Richard W. Gorvett， “A Comparison of Property/Casualty Insurance Financial Pricing Models， Proceedings May 17， 18， 19， 20， 19982 Stephe