概率课件：第三章多维随机变量及其分布2

1、3.4 二维随机变量的函数的分布Z=X+Y 的分布三、最大值、最小值的分布一、 离散型随机变量的函数的分布二、 连续型随机变量的函数的分布例1 设(X,Y)的分布律为XY 0 1 2-1 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2解 (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) -1 0 1 2 3 4(X,Y)Z=X+YZ=XY 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 0 -1 -2 0 2 4Z=XY 0.1 0.3 0.3 0.1 0.2 -2 -1 0 2 4一、 离散型随机变量的函数的分布求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY (3)

2、 Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律.Z= max(X,Y) 0 1 2 2 2 2X与Y独立，X,Y取0,1,2，则Z=X+Y Z=max(X,Y)的分布律2022/7/1142022/7/115二、 连续型随机变量的函数的分布设(X,Y)的概率密度为f (x, y), 求Z=g(X,Y)的分布.一般方法：分布函数法 例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。设(X,Y)的概率密度为f (x, y), Z=X+Y的分布函数为 1. Z=X+Y 的分布x+y =zyxo Z=X+Y 的概率密度: 卷积公式当X,Y 相互独

3、立时,例1 设 XN(0, 1), YN(0, 1)且X与Y相互独立，求 Z=X+Y的概率密度。Z=X+YN(0,2).解(2) 若 一般结论：(1) 若 且相互独立， 则 X+Y 仍服从正态分布，且且相互独立，则 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设 R1, R2相互独立，它们的概率密度均为求总电阻R=R1+R2的概率密度.解xzz=xz=x+10例3 设X1, X2相互独立分别服从参数为1, ; 2, 的分布, 即X1, X2的概率密度分别为试证：X1 + X2服从参数为 1+2, 的分布.注 函数: 分布：若随机变量X

4、的概率密度为分布的性质：若X1 (1, )， X2 (2, )，且相互独立，则 X1 + X2 (1+2, ). 注 函数:则称X服从参数为, 的分布.记为 X(, ). 若X1,X2,Xn相互独立，且Xi 服从参数为i , (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参数为1+2+.+n, 的分布.一般结论：当 z 0 时,证：A亦即Z=X1+X2服从参数为1+2, 的分布A的计算：注 函数: 若X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从参数为i, (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参数为1+2+.+n, 的分布.一般结论：2. Z=Y/X 的分布、 Z=XY的分布 设X,Y

5、是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),则Z=Y/X 、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度分别为当X,Y 相互独立时, 证: y=xzyxoG1G2y=xzyxo (z0)G1G2 (z0,0,. 试求联接方式为： (1) 串联，(2) 并联（3）备用时 系统L的寿命Z的概率密度解(1)串联系统：此时有 Z=minX,YL2XYL1并联系统：L2XYL1此时有 Z=maxX, Y2022/7/1126112022/7/11272022/7/11282022/7/1129例 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为若各周的需求量相互独立, 求两周需求量的概率密度.若X是离散

6、型随机变量，Y是连续型随机变量，且X和Y相互独立，如何求Z=X+Y的概率密度？2022/7/11322022/7/11332022/7/1134 (1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,.Xn是定义 在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,.Xn )为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量 (2)对n个任意实数，令 称为n维随机变量(X1,X2,.Xn )的分布函数 (3)类似可以定义离散型及连续型n维随机变量的分布律及概率密度，它们都具有类似于二维时的性质3.5 n维随机变量若对任意实数 ，均有则称 X1, X2 , , Xn相互独立. 设(X1, X2 , , Xn)的分布函数为F(X1, X2 , , Xn). 定理 设(X1, X2, , Xm)与(Y1, Y2, , Yn) 相互独立, 则Xi(i=1,2, m)与Yj (j=1,2, n)相互独立.又若 h, g为连续函数, 则h(X1,X2 ,Xm)与g(Y1,Y2 ,Yn)相互独立. 若对任意实数 x1, x2 , , xm ; y