高中数学函数与方程知识点总结、经典例题与解析、高考真题与答案

1、PAGE1 / NUMPAGES28函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数yf(x)，我们把方程f(x)0的实数根叫做函数yf(x)的零点。（2）方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点（3）变号零点与不变号零点若函数f(x)在零点x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。0若函数f(x)在零点x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。0若函数f(x)在区间

2、a,b上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在x0(a,b)，使得f()0，这个x0也就是方程f(x)0的x0根。（2）函数yf(x)零点个数（或方程f(x)0实数根的个数）确定方法代数法：函数yf(x)的零点f(x)0的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定0yf(x)有2个零点f(x)

3、0有两个不等实根；0yf(x)有1个零点f(x)0有两个相等实根；0yf(x)无零点f(x)0无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度;求区间(a,b)的中点c;1计算f(c);()若f(c)0,则c就是函数的零点;()若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(a,c)

4、;()若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b);判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复至步.【经典例题】1函数x3f(x)=2+x2在区间(0,1)内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、3x3x的零点所在的一个区间是()2函数f(x)2A、(2，1)B、(1,0)C、(0,1)D、(1,2)3若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值X围是.34设函数f(x)(xR)满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当x0,1时，f(x)=x.又函数g(x)=|xcos(x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在1,322上的零点

5、个数为（）A、5B、6C、7D、85函数2f(x)xcosx在区间0,4上的零点个数为（）A、4B、5C、6D、76函数f(x)xcosx在0,)内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7对实数a和b，定义运算“?”：a?ba，ab1，b，ab1.设函数f(x)(x22)?(xx2)，xR，若函数yf(x)22)?(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值X围是()3A、(，21，2B、(，21，34C、1，1414，D、1，3414，8已知函数f（x）=logaxxb(a0，且a1).当2a3b4时，函数f（x）的零点*

6、x0(n,n1),nN,则n=.9求下列函数的零点：（1）32f(x)x2xx2；（2）f(x)x4x.23x1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)10判断函数yx【课堂练习】x1、在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、11(,)42D、13(,)242、若x0是方程lgxx2的解，则x0属于区间（）A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)D、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是()x4、函数fx=2+3x的零点所在的一个区间是（）A（-2,-1）B、（-1，0）C、（0，1

7、）D、（1，2）5、设函数fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（）A、-4,-2B、-2,0C、0,2D、2,46、函数fx=x-cosx在0，内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点x7、若函数f(x)的零点与g(x)42x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A、f(x)4x1B、2xf(x)(x1)C、f(x)e1D、1f(x)ln(x)28、下列函数零点不宜用二分法的是()A、3f(x)x8B、f(x)lnx3C、2f(x)x22x2D、2f(x)x4x19、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必

8、落在区间（）3A、1B、1,841C、,111D、(1,2),422110、lgx0有解的区域是（）xA、(0,1B、(1,10C、(10,100D、(100,)x11、在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、11(,)42D、13(,)2412、函数f(x)xlog2x的零点所在区间为（）A、10,8B、11,84C、11,42D、1,12x13、设fx33x8x在内近似解的过程中得,用二分法求方程33x80 x1,2f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不

9、能确定14、设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（）A、4,2B、2,0C、0,2D、2,415、函数f(x)223,0 xxx，零点个数为（）A、3B、2C、1D、02lnx,x016、若函数32f(x)xx2x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=2f(1.5)=0.625f(1.25)=0.984f(1.375)=0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=0.054那么方程32220 xxx的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、方程xx的实数解的个数为.22

10、318、已知函数22f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，XX数a的取值X围。19、判断函数223f(x)4xxx在区间1,1上零点的个数，并说明理由。320、求函数32f(x)x2x3x6的一个正数零点(精确度0.1)4【课后作业】1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2、设x2f(x)3x，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A、0,1B、1,2C、2，1D、1,03、已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A、函数f(x)在(1,2)或2,3内有零点B、函数f(x)在(3,5)内无

11、零点C、函数f(x)在(2,5)内有零点D、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4、若函数3f(x)x3xa有3个不同的零点,则实数a的取值X围是（）A、2,2B、2,2C、,1D、1,5、函数f(x)xlnx的零点所在的区间为（）A、（1，0）B、（0，1）C、（1，2）D、（1，e）3x6、求函数f(x)2x31零点的个数为（）A、1B、2C、3D、47、如果二次函数23yxxm有两个不同的零点，则m的取值X围是（）A、11(,)4B、11(,)2C、11(,)4D、11(,)28、方程lgxx0根的个数为（）A、无穷多B、3C、1D、09、用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的

12、过程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)0，则方程的根在区间()A、(1.25,1.5)B、(1,1.25)C、(1.5,2)D、不能确定110、设函数f(x)3xlnx(x0)，则yf(x)()A、在区间1e，1，(1，e)内均有零点B、在区间1，1，(1，e)内均无零点eC、在区间1，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D、在区间1，1内无零点，在区间(1，e)内有零点ee511、设函数12f(x)lnxx1(x0)，则函数yf(x)()2A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1)，(1,2)内均

13、无零点D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点3x12、用二分法研究函数f(x)x31的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x，第二次应计算.以上横线上应填的内容为()0A、（0，0.5），f(0.25)B、（0，1），f(0.25)C、（0.5，1），f(0.75)D、（0，0.5），f(0.125)x3在区间(0,1)内的零点个数是（） 13、函数f(x)2x2A、0B、1C、2D、314、（已知函数f(x)logaxxb(a0,且a1).当2a34是，函数f(x)的零点*x0(n,n1),nN则n,=.15、用二分法求函数yf(x)在区间(2,4

14、)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)24的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，x22x，x0，若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的16、已知函数f(x)2取值X围是_2x17、函数f(x)x56的零点组成的集合是.3x18、用“二分法”求方程x250在区间2,3内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是19、函数f(x)lnxx2的零点个数为.x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)20、证明方程63x2函数与方程【考纲说明】2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。3、

15、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数yf(x)，我们把方程f(x)0的实数根叫做函数yf(x)的零点。6（2）方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点（3）变号零点与不变号零点若函数f(x)在零点x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。0若函数f(x)在零点x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。0若函数f(

16、x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在x0(a,b)，使得f()0，这个x0也就是方程f(x)0的x0根。（2）函数yf(x)零点个数（或方程f(x)0实数根的个数）确定方法代数法：函数yf(x)的零点f(x)0的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定0yf(x)有2个零

17、点f(x)0有两个不等实根；0yf(x)有1个零点f(x)0有两个相等实根；0yf(x)无零点f(x)0无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.4、二分法（1）二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度;求区间(a,b)的中点c;计算f(c);()若f(c)0,则c就是函数的零点;()若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(

18、a,c);()若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b);7判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复至步.【经典例题】【例1】函数x3f(x)=2+x2在区间(0,1)内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、3【答案】B【解析】解法1：因为f(0)=1+02=1，3f(1)=2+22=8，即f(0)f(1)0，f(0)2520，f(1)f(0)1.设函数f(x)(x22)?(xx2)，xR，若函数y22)?(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值X围是()32A、(，21，B、(，21，349C、1，1414，D、1，

19、3414，【答案】B【解析】f(x)22，x22(xx)21，x2，x22(xx2)1xx22，1x3x，22，x3xx，2则f(x)的图象如图yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c34.【例8】已知函数f（x）=log(0a1).axxba，且当2a3b4时，函数f（x）的零点*x0(n,n1),nN则,n=.【答案】5【解析】方程log(0a1)x,即函数ylogax(2a3)的图象与函数axxba，且=0的根为0yxb(3b4)的交点横坐标为x,且0*x0(n,n1),nN,结合图象,因为当xa(2a3)时,y1,此时对应直线上

20、y1的点的横坐标x1b(4,5);当y2时,对数函数log(23)yxaa的图象上点的横坐标x(4,9),直线yxb(3b4)的图象上点的横坐标x(5,6),故所求的n5.【例9】求下列函数的零点：（1）32f(x)x2xx2；（2）f(x)x4x.【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.【解析】（1）由32220,xxxxxx2(2)(2)0,(x2)(x1)(x1)0,x2或x1或x1. 故函数的零点是2，1，-1.（2）24x4由x0,得0,xx(x2)(x2)xx2x=-2.或0,(x2)(x2)0,10故函数的零点是2，-2.【例10】判断函数yx3x1在区间1,1.5内有无零点

21、，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)【答案】1.3125【解析】因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.31250.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于|1.3751.3125|0.06250.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.【课堂练习】x1、在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、11(,)42D、13(,)242

22、、若x0是方程lgxx2的解，则x0属于区间（）A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)D、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是()4、函数fx=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A（-2,-1）B、（-1，0）C、（0，1）D、（1，2）5、设函数fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（）A、-4,-2B、-2,0C、0,2D、2,46、函数fx=x-cosx在0，内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点x7、若函数f(x)的零点与g(x)42x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)

23、可以是（）A、f(x)4x1B、2xf(x)(x1)C、f(x)e1D、1f(x)ln(x)28、下列函数零点不宜用二分法的是()A、3f(x)x8B、f(x)lnx3C、2f(x)x22x2D、2f(x)x4x19、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间（）11A、11B、,8411C、1,1D、(1,2),422110、lgx0有解的区域是（）xA、(0,1B、(1,10C、(10,100D、(100,)x11、在下列区间中，函数f(x)e4x3的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、11(,)42D、13(,)2412、函数f(x)xlog2x的零点所在区间

24、为（）A、10,8B、11,84C、11,42D、1,12x13、设fx33x8x在内近似解的过程中得,用二分法求方程33x80 x1,2f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能确定14、设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（）A、4,2B、2,0C、0,2D、2,415、函数f(x)223,0 xxx，零点个数为（）A、3B、2C、1D、02lnx,x016、若函数32f(x)xx2x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=2f(1.5)=

25、0.625f(1.25)=0.984f(1.375)=0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=0.054那么方程32220 xxx的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、方程xx的实数解的个数为.22318、已知函数22f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，XX数a的取值X围。19、判断函数223f(x)4xxx在区间1,1上零点的个数，并说明理由。320、求函数32f(x)x2x3x6的一个正数零点(精确度0.1)【课后作业】1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()122、设x2f(x

26、)3x，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A、0,1B、1,2C、2，1D、1,03、已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A、函数f(x)在(1,2)或2,3内有零点B、函数f(x)在(3,5)内无零点C、函数f(x)在(2,5)内有零点D、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4、若函数3f(x)x3xa有3个不同的零点,则实数a的取值X围是（）A、2,2B、2,2C、,1D、1,5、函数f(x)xlnx的零点所在的区间为（）A、（1，0）B、（0，1）C、（1，2）D、（1，e）3x6、求函数f(x)2x31零点的个数为（）

27、A、1B、2C、3D、47、如果二次函数23yxxm有两个不同的零点，则m的取值X围是（）A、11(,)4B、11(,)2C、11(,)4D、11(,)28、方程lgxx0根的个数为（）A、无穷多B、3C、1D、09、用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)0，则方程的根在区间()A、(1.25,1.5)B、(1,1.25)C、(1.5,2)D、不能确定110、设函数f(x)xlnx(x0)，则yf(x)()3A、在区间1e，1，(1，e)内均有零点B、在区间1，1，(1，e)内均无零点eC、在区间1，1内有零点，在区间(1，e

28、)内无零点D、在区间e1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点11、设函数12f(x)lnxx1(x0)，则函数yf(x)()2A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点13C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点3x12、用二分法研究函数f(x)x31的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x，第二次应计算.以上横线上应填的内容为()0A、（0，0.5），f(0.25)B、（0，1），f(0.25)C、（0.5，1），f(0.75)D、（0，0.5），f(0.125)x在区间(0,1)内的零点个数是（）313、函数f(x)2x2A、0B、1C、2D、314、（已知函数f(x)logaxxb(a0,且a1).当2a34是，函数f(x)的零点*x0(n,n1),nN则n,=.15、用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)24的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，x22x，x0，若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的16、已知函数f(x)2取值X围是_2x