考研数学二模拟398

考研数学二模拟398一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设函数f(x)连续，在x0可导，且f'(x0)＞2x0，则存在δ＞0，使得______A.函数f(x)-x2在(x0，x0+δ)内单调增加．B.函数f(x)-x2在(x0-δ，x0)内单调减少．C.对任意的x∈(x0，x0+δ)有f(x)＞x2．D.对任意的x∈(x0-δ，x0)有f(x)＞x2．正确答案：C[解析]令g(x)=f(x)-x2，由已知得g(x0)=0，g'(x0)＞0，则

由极限的保号性，知存在δ＞0，对任意的x∈(x0，x0+δ)有g(x)-g(x0)=g(x)＞A(x-x0)＞0，即f(x)＞x2．

2.

假设区域D由曲线y=px3(x＞0，p＞0)及其过点(1，p)的切线与x轴围成，设此区域的形心为则的值为______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]y'|x=1=3px2|x=1=3p，切线为y=p+3p(x-1)．

切线与x轴交点为切线与y轴交点为(0，-2p)；

切线与曲线交点为(1，p)，如图．

区域D的面积

则

3.

方程e-x-x2+2x-1=0______A.恰有一个根．B.恰有两个根．C.恰有三个根．D.多于三个根．正确答案：C[解析]令y(x)=e-x-x2+2x-1．

因为y'''(x)=-e-x≠0，因此最多有三个根．由于y(0)=1-1=0，所以x=0是其一根．

由于y'(x)=-e-x-2x2+2，y'(0)=-1+2=1＞0，且y(0)=0，所以存在δ＞0，使得y(-δ)＜0，y(δ)＞0．

又由所以y(x)在区间(-∞，-δ)内至少有一根．

由所以y(x)在区间(δ，+∞)内至少有一根．

至此，y(x)在区间(-∞，+∞)已有三个根．而它至多有三个根，所以它恰有三个根．

4.

设f(x)定义(-∞，+∞)上，在点x=0连续，且满足条件f(x)=f(sinx)，则f(x)在(-∞，+∞)上

______A.不一定是连续函数．B.不恒为常数且连续．C.不恒为常数且可导．D.无穷阶可导．正确答案：D[解析]记u1=sinu0，uk+1=sinuk，k=1，2，…．

对u0∈(-∞，+∞)，k=1，2，…．

f(u0)=f(sinu0)=f(u1)=f(sinu1)=f(sinu2)=…=f(sinuk)=f(uk+1)，即对u0∈(-∞，+∞)都有f(u0)=f(un)，n=1，2，…，成立．

由于数列uk，k=1，2，…单调减且有极限又f(x)在点x=0连续，所以

对u0∈(-∞，+∞)，

可见f(x)在(-∞，+∞)上恒为常数，即f(x)≡f(0)．当然是无穷阶可导．

5.

若则______A.I1＞I2＞I3．B.I1＞I3＞I2．C.I2＞I1＞I3．D.I2＞I3＞I1．正确答案：B[解析]

6.

微分方程y"-y'=sinx+3的一个特解应具有的形式为______A.Asinx+Bcosx+C．B.Asinx+Bcosx+Cx．C.Axsinx+Bxcosx+C．D.Axsinx+Bxcosx+Cx．正确答案：B[解析]因为与原方程相应的齐次方程的特征方程为λ2-λ=0，特征根为0，1．

所以方程y"-y'=sinx的一个特解形式为y=Asinx+Bcosx；

方程y"-y'=3的一个特解形式为y=Cx．

根据叠加原理，原方程的一个特解形式为Y=Asinx+Bcosx+Cx．

7.

已知B是3阶非零矩阵，满足AB=0，则______A.a=-1时，必有r(B)=1．B.a=-1时，必有r(B)=2．C.a=1时，必有r(B)=1．D.a=1时，必有r(B)=2．正确答案：C[解析]当a=-1时，r(A)=1，再由AB=0，得r(A)+r(B)≤3．可见当a=-1时，秩r(B)有可能为1也可能为2，故A、B不正确．

当a=1时，r(A)=2，由AB=0，得r(A)+r(B)≤3r(B)≤1，又B是非零矩阵，故r(B)=1．

8.

设A=(α1，α2，α3，α4)，其中αi是n维列向量(i=1，2，3，4)．已知齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1=(-2，0，1，0)T，ξ2=(1，0，0，1)T，则______A.α1，α2线性无关．B.α1，α3线性无关．C.α1，α4线性无关．D.α3，α4线性无关．正确答案：A[解析]因为Ax=0的基础解系为ξ1=(-2，0，1，0)T，ξ2=(1，0，0，1)T，可知r(A)=2，则A有两个线性无关的列向量，将ξ1，ξ2代入得

-2α1+α3=0，α1+α4=0．

则可知α1，α3；α1，α4；α3，α4线性相关，又r(A)=2，则α2与α1，α3，α4均线性无关．

二、填空题1.

已知函数y=y(x)由方程y-xey=1-ex确定，则正确答案：0[解析]将方程y-xey=1-ex两边对x求导，得

则

当x=0时，y(0)=1，

2.

设z=z(x，y)由方程xf(z)+yg(z)=xy所确定，且xf'(z)+yg'(z)≠0，则正确答案：0[解析]设F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy，则

故

3.

设区域Dt={(x，y)∈R2|x2+y2≤t2，t＞0}，函数f(x)在x=0的某邻域内连续且f(0)=A≠0，若当n→+∞，是比高阶的无穷小量，则参数λ的取值范围是______．正确答案：λ＞1[解析]因为函数ρf(ρ2)在0的某邻域内连续，所以根据变限定积分函数的性质，可知F(t)在t=0的某邻域内可导．

F'(t)=2πtf(t2)，所以

因为所以又从而

由上式成立可推出，λ＞1．

4.

以y=e2x(C1cosx+C2sinx)+5(C1，C2为任意常数)为通解的二阶线性常系数微分方程的形式为______．正确答案：y"-4y'+5y=25[解析]该方程是二阶线性常系数非齐次微分方程：y"+py'+qy=f(x)．对应齐次方程的两个特征根为2±i，所以其方程为y"-4y'+5y=0．

非齐次方程的特解为Y=5，代入方程，得非齐次项f(x)=25．

因此所求方程为y"-4y'+5y=25．

5.

正确答案：[解析]思路一：

思路二：

6.

若二次型是正定的，则t的可能取值范围是______．正确答案：-1＜t＜1[解析]二次型f的矩阵

因为f正定，所以A的顺序主子式全大于零．

又

故1-t2＞0-1＜t＜1．

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

正确答案：

2.

设函数求高阶导函数f(n)(x)，n=1，2，…．正确答案：显然有f(0)=0．

当x≠0时，

综上，得f(x)=xsinx，x∈(-∞，+∞)，则

3.

计算二重积分区域D由曲线和x轴围成．正确答案：区域D的图形如下图所示，单位圆x2+y2=1将区域D分成两部分，单位圆x2+y2=1内的部分记作D1，单位圆外的部分记作D2．则

其中

故

4.

设证明：当x∈[0，1]时，正确答案：因f(0)=f(1)=0，f(x)在[0，1]上可导，所以在[0，1]上存在最大值和最小值．又

当f'(x)=0时，得(0，1)内唯一驻点

且当x∈(0，x0)时，f'(x)＞0；当x∈(x0，1)时，f'(x)＜0．所以是极大值点，也是[0，1]上的最大值点．最大值为

综上可得，

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在ξ∈(a，b)，得f"(ξ)＞0．证明：5.

若f'(ξ)=0，则存在x1，x2∈(a，b)且x1＜ξ＜x2，使得f(x1)=f(x2)；正确答案：[证明]因为f"(ξ)＞0，f'(ξ)=0，故ξ是f的极小值点．

f在[a，ξ]上有最大值f(t1)．同样f在[ξ，b]上也存在最大值f(t2)．

不妨设f(t1)≤f(t2)，由连续函数的介值定理可得，存在x0∈[ξ，b]，使得f(x0)=f(t1)．即有x1=t1，x2=x0使得f(x1)=f(x2)．

6.

若f(ξ)≠0，则存在η1＜ξ＜η2，其中η1，η2∈(a，b)，使得

正确答案：[证明]由f'(ξ)≠0，令g(x)=f(x)-f'(ξ)x，则g'(ξ)=f'(ξ)-f'(ξ)=0．

于是g(x)符合上一小题的条件，即存在η1，η2∈(a，b)满足η1＜ξ＜η2，使得g(η1)=g(η2)，即

将g(x)=f(x)-f'(ξ)x代入上式后得到

即

7.

求微分方程xy"+y'=xlnx的通解．正确答案：思路一：这是一个不显含未知函数y的二阶可降阶方程，令u(x)=y'(x)，则原方程变为这是一阶线性微分方程，由通解公式得

由于

所以原微分方程的通解为

其中C1，C2是任意常数．

思路二：由于(xy')'=xy"+y'，令u=xy'，则原方程化为u'=xlnx，则

即

积分得其中C1，C2是任意常数．

设函数z=f(x，y)定义在整个二维平面域R2，满足下列条件：

①(x，y)∈R2，f(x，y)≥0，当且仅当(x，y)=(0，0)时，f(x，y)=0；

②(x，y)∈R2，λ∈R，f(λx，λy)=|λ|f(x，y)；

③(x，y)，(u，v)∈R2，f(x+u，y+v)≤f(x，y)+f(u，v)．

证明下列命题成立：8.

(x，y)，(u，v)∈R2，f(x-u，y-v)≥|f(x，y)-f(u，v)|；正确答案：[证明]由条件③，则

f(x，y)=f[(x-u)+u，(y-v)+v]≤f(x-u，y-v)+f(u，v)，

可得f(x-u，y-v)≥f(x，y)-f(u，v)．

又

f(x-u，y-v)=|-1|·f[-(u-x)，-(v-y)]

=f(u-x，v-y)

≥f(u，v)-f(x，y)=-[f(x，y)-f(u，v)]，

综上得f(x-u，y-v)≥|f(x，y)-f(u，v)|．

9.

函数f在原点(0，0)连续，同时在R2上连续；正确答案：[证明]由条件①，②，知f(0，0)=0，再由条件③和②得

即函数f在原点(0，0)连续．

再由上一小题结果得

因此f(x，y)在R上连续．

10.

存在正常数α，β，使得对正确答案：[证明]由条件②，对有

因为z=f(u，v)在闭区域u2+v2=1上是连续函数，由闭区域连续函数性质及条件①有

即对有

已知A是2×4阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系是

η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，-1，3)T，

又知齐次线性方程组Bx=0的基础解系是

β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T，11.

求矩阵A；正确答案：记C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，那么矩阵AT的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次方程组CTx=0的解，对CT作初等变换，有

得到CTx=0的基础解系为α1=(3，-1，1，0)T，α2=(-5，1，0，1)T．

所以矩阵

12.

如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．正确答案：设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ，则γ既可由η1，η2线性表出，也可由β1，β2线性表出，故可设

γ=x1η1+x2η2=-x3β1-x4β2，

于是

x1η1+x2η2+x3β1+x4β2=0，

对(η1，η2，β1，β2)作初等行变换，有

γ≠0x1，x2，x3，x4不全为0r(η1，η2，β1，β2)＜4a=0．

当a=0时，解出x4=t，x3=-t，x2=-t，x1=2t，因此Ax=0与Bx=0的公共解为

γ=2tη1-tη2=t(1，4，1，1)T，

其中，t为任意常数．

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组(A-E)X=0的两个解．13.

求A的特征值与特征向量；正确答案：[解]依题

(A-E)X=0AX=X，

因为

Aα1=α1，Aα2=α2，

所以α1，α2是矩阵A属于λ=1的特征向量．

因为r(A)=2，知|A|=0，所以λ=0是A的特征值．

设α3=(x1，x2，x3)T是A属于特征值λ=0的特征向量，因为实对称矩