考研数学二分类模拟251

考研数学二分类模拟251解答题根据导数定义，求下列函数的导数：1.

x3；正确答案：解：y=x3．由于

因此

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

2.

；正确答案：解：．由于

因此

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

3.

；正确答案：解：．注意到，故

于是

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

4.

tanx．正确答案：解：y=tanx．由于

因此

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

5.

求曲线的弧长s．正确答案：解：．[考点]定积分的应用

6.

设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，，且f(x)的最小值f(a)＜a．证明：函数g(x)=f[f(x)]至少在两个点处取得f(x)的最小值．正确答案：证明：因为，所以存在M＞max{|a|，|f(a)|}，对任何|x|＞M，有f(x)＞max{|a|，|f(a)|}．由此得到

-(M+1)＜a＜M+1

且

f(-(M+1))＞a＞f(a)，f(M+1)＞a＞f(a)

因为函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，所以f(x)在[-(M+1)，M+1]上连续．

根据连续函数的介值性定理，存在ξ1∈(-(M+1)，a)及ξ2∈(a，M+1)，使得

f(ξ1)=f(ξ2)=a

易见ξ1≠ξ2，而且

g(ξ1)=f[f(ξ1)]=f(a)，g(ξ2)=f[f(ξ2)]=f(a)

这说明g(x)在ξ1和ξ2处取得其最小值．[考点]极限、连续及其应用

7.

证明：若x≥0，则

其中，并且．正确答案：证明：当x≥0时，对函数使用有限增量公式，即得

解得

当x=0时，；当x＞0时，有

于是

且有

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

8.

设向量组β1，β2，…，βr可以由向量组α1，α2，…，αs线性表出，如果r＞s，那么β1，β2，…，βr线性相关．正确答案：证明：为了证明β1，β2，…，βr线性相关，即要找一组不全为0的数k1，k2，…，kr，使得

k1β1+k2β2+…+krβr=0

为此考虑β1，β2，…，βr的线性组合x1β1+x2β2+…+xrβr．

由条件β1，β2，…，βr可以由向量组α1，α2，…，αs线性表出，可设

则

x1β1+x2β2+…+xrβr=x1(a11α1+a21α2+…+as1αs)+

x2(a12α1+a22α2+…+as2αs)+…+

xr(a1rα1+a2rα2+…+asrαs)

=(a11x1+a12x2+…+a1rxr)α1+

(a21x1+a22x2+…+a2rxr)α2+…+

(as1x1+as2x2+…+asrxr)αs

①

考虑下列齐次线性方程组

又因为s＜r(即方程的个数小于未知量的个数)，因此方程组②必有非零解．取它的一个非零解(k1，k2，…，kr)，则从式①和方程组②可得

k1β1+k2β2+…+krβr=0α1+0α2+…0αs=0

因此β1，β2，…，βr线性相关．

由本例的命题立即可以得到如下结论：

结论1

设向量组β1，β2，…，βr可以由向量组α1，α2…，αs线性表出，如果β1，β2，…，βr线性无关，那么r≤s．

结论2

等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等．[考点]向量

9.

设f(x)的一阶导数在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，证明：，其中．正确答案：证1：由于

则

而

命题得证．

证2：对任意的x∈(0，1)，由于

f(x)=f(0)+f'(ξ1)x，f(x)=f(1)+f'(ξ2)(x-1)

其中ξ1∈(0，x)，ξ2∈(x，1)，则|f(x)|=|f'(ξ1)|x≤Mx，且

|f(x)|=|f'(ξ2)|(1-x)≤M(1-x)

则

[考点]一元函数微积分

10.

设f(x)为多项式，f(x)≥x且f(x)≥1-x，x∈(-∞，+∞)．试证：．正确答案：证明：已知．现证．事实上，若，则：当时，，所以；当时，，所以．故f(x)在处不可微，与f(x)为多项式矛盾．[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

11.

设f'(x)在[a，b]上满足f"(x)＞0，证明：对于[a，b]上任意两个不同的点x1，x2，有．正确答案：证明：不妨设x1＜x2，对f(x)分别在上用拉格朗日中值定理，得

又因为f"(x)＞0，故f'(x)单调递增，从而f'(ξ1)＜f'(ξ2)，即

亦即

所以

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

12.

当0＜x时，证明：．正确答案：证明：因为arctanx，ln(1+x)在[0，x]上连续，在(0，x)上可导，由柯西中值定理得，必存在点ξ∈(0，x)，使得

令，t∈(0，x)，则，故唯一的驻点为，且当时，f'(t)＞0，当时，f'(t)＜0，故为函数f(x)的极大值，且是最大值，所以．

13.

设函数f(x)在[a，+∞]连续，而且当x＞a时，f'(x)＞k＞0，其中k为常数．证明：若f(a)＜0，则在区间内方程f(x)=0有且仅有一个实根．正确答案：证明：由有限增量公式，有

于是，．又f(a)＜0，故由连续函数的介值性定理知，方程f(x)=0在内至少有一实根．又因为当x＞a时，f'(x)＞0，故f(x)在(a，+∞)内递增，由此可知，方程f(x)=0在内有且仅有一个实根．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

设n阶矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为ξ．14.

证明ξ也是A2的对应于的特征向量；正确答案：证明：由题设Aξ=λ0ξ，两端左边乘A，得，故ξ是A2的对应于的特征向量．[考点]特征值与特征向量

15.

反之，若A2有特征向量ξ，A是否有特征向量ξ?正确答案：解：反之不成立．例如，，A2有特征值λ=0，对应的特征向量为，但ξ2不是A的特征向量，因为对于任何λ，有

[考点]特征值与特征向量

16.

已知ξ是A对应于特征值λ的特征向量，求PAP-1对应于λ的一个特征向量．正确答案：解：设PAP-1的特征向量为η，则(PAP-1)η=λη，两端左边乘P-1得，A(P-1η)=λ(P-1η)，由于Aξ=λξ，取η=Pξ即为所求．[考点]特征值与特征向量

17.

设(1)；

(2)．

求．正确答案：解：(1)

(2)注意到，现将左端乘以并除以，再对分子反复应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2，则

[考点]函数、极限

18.

用配方法化二次型为标准形．正确答案：解：

令

即

亦即x=Py，其中，则

[考点]二次型

19.

设，其中a≠b，求与A可交换的矩阵．正确答案：解：设与A可交换的矩阵是，则

即

对应元素相等，得ax2=bx2，bx3=ax3．因a≠b，故x2=x3=0．

因此，与二阶主对角元素互不相同的对角矩阵，可交换的矩阵也是对角矩阵，即

其中x1，x4是任意常数．[考点]矩阵

20.

求极限．正确答案：解1：因为，所以

因此通项．故

解2：记，则，显然a2＞a1．

假设ak＞ak-1成立，则，则{an}单调递增．

又，设ak＜3，则，所以{an}有上界，故{an}的极限存在，记为a．对两边同时取极限得，显然a=3．[考点]函数、极限

21.

计算积分．正确答案：解：

所以

所以．[考点]不定积分、定积分、反常积分

22.

设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，若Aα1=α1≠0，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：向量组α1，α2，α3线性无关．正确答案：证明：如果k1α1+k2α2+k3α3=0，那么(A-E)(k1α1+k2α2+k3α3)=0．再由已知条件得(A-E)α1=0，(A-E)α2=α1，(A-E)α3=α2，于是k2α1+k3α2=0．进而(A-E)(k2α1+k3α2)=0，即k3α1=0．注意到α1≠0，故k3=0，进一步可得k1=k2=0．从而向量组α1，α2，α3线性无关．[考点]向量

23.

设f(x)=(x-x0)nφ(x)(n为正整数)，其中函数φ(x)在x=x0处连续，且φ(x0)≠0，讨论f(x)在点x=x0的极值．正确答案：解：由于φ(x)在点x=x0处连续且φ(x0)≠0，所以由极限存在的保号性知，φ(x0)在点x0的充分小邻域(x0-δ，x0+δ)内与φ(x0)同号，于是，f(x)的符号与n的奇偶性及φ(x0)的符号有关．

若n为奇数，则在x0的充分小邻域内，函数f(x)