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文档简介

1、1微积分2回忆:一、内积 3定义内积，推广到n维向量空间记作若 为行向量，42. 内积运算规律定义了内积的向量空间称为欧氏空间.5对称性线性性非负性推广63. 长度 （或称为模(长)，或范数)(2) 单位向量 若则对任一非零向量可将其单位化:7为了引入夹角的概念4. 定理 Cauchy-Schwarz(柯西施瓦兹)不等式证8910则称向量与向量正交.勾股定理（2）零向量与任何向量都正交.5. 夹角注（1）零向量与一个向量的夹角可以取 的任意值11解例12二 、标准正交基 1. 正交向量组若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组注意 :正交向量组的每个向量均要求非零.13例 设

2、A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量，且 Ax=y , 证明：x 与 y 正交 . 证反对称矩阵即证内积为零14正交向量组的性质证明定理:15反之不对：线性无关向量组未必是正交向量组。定理:16解例解之得17 2. 标准正交向量组 18线性无关向量组不一定是标准正交向量组但是任一线性无关向量组都可标准正交化 .19 将一组线性无关的向量化为与之等价的标准正交向量组的方法三、施密特正交化方法利用施密特正交化方法，20设向量 是线性无关的.第一步:取第二步:取第三步:取（1）正交化21第三步:取22得非零正交向量组:此方法称为施密特正交化方法（2）单位化，取23（1）正交化，取 ，一般地

3、24（2）单位化，取25例 用施密特正交化方法，将下列向量组标准正交化解 先正交化，取26再单位化，得标准正交向量组如下27解练一练28单位化29解取两个线性无关的解：例30把其正交化：31定义性质(2)正交矩阵是可逆矩阵，且四、正交矩阵32证明定理 A为正交矩阵的充要条件是A的行(列)向量组都是标准正交向量组当且仅当A的行(列)向量组都是标准正交向量组设A按行分块一般的：33解 （1）所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，由于例 判别下列矩阵是否为正交阵34所以它是正交矩阵或35解练一练36求与都正交的全部向量解问题化为解方程组例37问题化为解方程组解为求与都正交的全部向量38求与都正交的单位向量例39练一练分析40 证41 例 设 A 是奇数阶正交矩阵, 且 detA=1 .证明 ： 1 是 A 的特征值 .证或分析所以1 是 A 的特征值 .42小 结1. 内积2. 长度 3. 夹角434将一组基标准正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化

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