高一数学竞赛课讲义练习 多项式的整除（含答案）

1、A3.多项式的整除一、基础知识一元多项式：设形式表达式其中全属于数域称为系数在数域中的一个一元多项式或简称为数域上的一元多项式.若则为首项系数,的次数若全为0,则称为零多项式,零多项式不定义次数.显然数域上的两个多项式经过加、减、乘运算后所得结果仍然是数域上的多项式.例如一元多项式环：所有系数在数域中的一元多项式的全体称为数域上的一元多项式环,记为称为的系数域.带余除法：对于中任意两个多项式与,其中一定有中的多项式存在,使得成立,其中或者并且这样的是唯一的.称为除的商式,称为除的余式.多项式的整除：对于中任意两个多项式与,若存在中的多项式使得则称整除记作；否则称不能整除记作当时,就称为的因式,

2、称为的倍式.二、典型例题与基本方法1.一元多项式环上的多项式的整除性的常用性质：(1)如果则其中为非零常数.(2)如果则(3)如果那么其中2.已知且能被整除,求的值.3.设是正整数,求一切多项式其中均为实数,满足4.(余数定理)对于中的任意多项式,一次多项式除所得的余数为即于是我们知道5.证明：能整除其中6.已知,被除时余数分别为求被除时的余式.7.设满足又设满足证明：8.设是两个实系数非零多项式,且存在实数使得记证明：B3.练习 姓名： 1.设是一个次多项式,且证明：其中2.求出所有满足的实系数非零多项式.3.试问：是否存在一个整数使得A3.多项式的整除一、基础知识一元多项式：设形式表达式其

3、中全属于数域称为系数在数域中的一个一元多项式或简称为数域上的一元多项式.若则为首项系数,的次数若全为0,则称为零多项式,零多项式不定义次数.显然数域上的两个多项式经过加、减、乘运算后所得结果仍然是数域上的多项式.例如一元多项式环：所有系数在数域中的一元多项式的全体称为数域上的一元多项式环,记为称为的系数域.带余除法：对于中任意两个多项式与,其中一定有中的多项式存在,使得成立,其中或者并且这样的是唯一的.称为除的商式,称为除的余式.证明：存在性是显然的,这是因为多项式的除法可以用类似于数字的竖式来做.下面证明唯一性.若存在另外一组使得成立,其中或者于是从而如果又所以此时于是注意到于是矛盾.所以于

4、是这就证明了唯一性.多项式的整除：对于中任意两个多项式与,若存在中的多项式使得则称整除记作；否则称不能整除记作当时,就称为的因式,称为的倍式.二、典型例题与基本方法1.一元多项式环上的多项式的整除性的常用性质：(1)如果则其中为非零常数.证明：由有由有于是若为零多项式,则也必为零多项式,结论显然成立.若为不是零多项式,则于是于是所以是非零常数.得证.(2)如果则证明：由有由有于是即(3)如果那么其中证明：由有所以2.已知且能被整除,求的值.解：令则存在整系数多项式使得即于是当取整数时,为整数.令,则所以令,则所以于是于是只能取令,则所以所以只能取令,则所以所以只能取令,则所以所以只能取令,则所

5、以所以只能取若 所以合题意.3.设是正整数,求一切多项式其中均为实数,满足解：若则则满足题设. 若则比较最高次项得于是于是若,则不存在这样的若,则且此时即为于是从而所以此时的4.(余数定理)对于中的任意多项式,一次多项式除所得的余数为即于是我们知道证明：由带余除法得其中或所以为常数.令则所以即得证.若则若又所以于是5.证明：能整除其中证明：设由带余除法知道其中其中或者注意到而于是于是从而于是所以所以于是6.已知,被除时余数分别为求被除时的余式.解：因为所以可设所求的余式于是所以同理于是解得所以7.设满足又设满足证明：证明：于是因为所以得证.8.设是两个实系数非零多项式,且存在实数使得记证明：证明：因为即所以于是若则所以于是若则由得于是于是所以所以于是综上我们证得了B3.练习 姓名： 1.设是一个次多项式,且证明：其中证明：因为所以于是2.求出所有满足的实系数非零多项式.解：设则比较的系数得所以比较的系数得于是我们断言若不然,则存在最大的使得于是从而为即比较的系数,于是矛盾.于是3.试问：是否存