高一数学教案：第20课对数的概念

1、第20课对数的概念江苏省海门中学陈达教学目标理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意识；明确指数式与对数式的关系，熟练掌握指数式与对数式的互化.学习指导理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意识；熟练掌握指数式与对数式的关系，能够进行指数式与对数式的互化，学会利用转化思想处理问题；掌握对数的运算性质和运算法则，理解推导法则的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言的转换能力，能处理数据、理解算理及根据问题的情景，寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力.例题精析例1.将下列指数式改写成对数式（1）；（2）；（3）；（4）.分析指数式与对数式中的关系：式子名称abN指数

2、式底数指数幂的值对数式底数对数真数通过以上的直观图示可以看出，对数式与指数式虽然反映的是两种不同的运算，但都表示三个数之间的同一数量关系，这两种运算互为逆运算，在的条件下，它们可以相互转化.解法（1）；（2）；（3）；（4）.例2.把下列对数式改写成指数式（1）；（2）；（3）.分析同例1.解法（1）；（2）；（3）.评注对对数中的作一些归纳说明：“N”：指数式中的幂，对数式中的真数，在的前提下，它的值恒为正数；“b”：指数式中的指数，对数式中的对数，在的前提下，b可正、可负、可为零，即为一切实数.例3.求下列各式的值（1）；（2）.分析利用对数式与指数式的互化来解决.解法设，则.设，则.评注

3、通过例3可归纳出两个一般性的结论：（1）；（2）.例4.求下列各式的值（1）；（2）.分析直接由指数等式得到对数值，或通过互化来解决；将对数式化成指数式再来求出对数值.解法（1）法一：由.法二：设，则.（2）设，则.评注解法一当真数可用底数直接写成指数式时较方便；解法二当真数不可用已知底数直接写成指数式，利用对数式先化成指数式，再利用方程解出，更具有一般性.本课练习1.将下列指数式改写成对数式（1）；（2）.2.把下列对数式改写成指数式（1）；（2）.3.求下列各式中的x并指出计算x时是求幂、求对数、或是求方根（1）；（2）；（3）；（4）.4.利用计算器计算下列对数的值（结果保留4为小数）（

4、1）；（2）；（3）；（4）.5.已知（1）计算归纳出，请加以证明.（2）证明.背景材料可参考人民教育出版社、湖南教育出版社的数学教材中的相关内容.教学建议通过实例分析，使学生感受到引入“对数”概念的必要性；对数概念中，字母a的条件“”可视学生实际情况作介绍；对数的性质通过例题教学让学生加以概括和总结，并引起重视；对数的两个恒等式在习题中让学生分析证明，如何掌握对解决其它问题带来更多的方便；常用对数和自然对数的概念也应想学生作适当的介绍；让学生利用计算器求出对数值的近似值.第21课对数的运算性质（1）教学目标正确理解和掌握对数的运算性质，理解推导运算性质的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数

5、学语言转换能力，能处理数据，理解算理及根据问题的情景，寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力.学习指导教学重点是对数运算性质的证明及其应用；教学难点是对数运算性质的证明方法；既然指数式可以改写成对数式，那么指数的运算性质也就可以改写成对数的运算性质，由对数的定义可以推导出三个运算性质；理解三个运算性质的推导过程，实际上是从对数式到指数式，再从指数式到对数式的多个互化过程，教师通过其中一个性质的推导示范，就可以让学生尝试模仿其余两个性质的推导；如何用数学语言叙述积、商、幂的对数运算性质.例题精析例1.已知表示下列各式（1）；（2）；（3）.分析直接利用对数运算性质，注意4设条件中字母的要求.解法

6、；.评注由于补充介绍了对数的运算性质，所以直接使用它们会使得运算较为方便；避免常见错误：；.例2.计算下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.分析在求幂的对数或正数的算术根的对数时，可先将真数化成与对数同底的幂的形式，然后再求；对于常用的对数等式，如及其变式等应熟练掌握.解法；.评注熟练掌握运算性质和常用的对数等式是解决问题的关键.例3.已知，求的值.分析从已知条件中寻求之间的关系，以确定的值；在去掉对数符号时，特别要注意“真数必须大于零”这个条件；利用对数的运算法则进行计算.解法由已知得，从而有，所以或，由可得，所以应舍去，故，即，所以.评注由对数式中的的关系化为代数式时，要注意的取值条

7、件.本课练习一、选择题1.若，下列等式中：；.不正确的是（B）（A）（B）（C）（D）2.计算（A）（A）1（B）3（C）2（D）03.若，则的值为（B）（A）（B）（C）（D）4.已知，那么的大小顺序为（A）（A）（B）（C）（D）二、填空题5.若，则，若，则.6.三、解答题7.设，是否存在实数，使得？解答：要使集合N中有元素1，若，这与集合中元素互异性矛盾，所以；若，与上相同；若，无意义，所以；若此时，这与条件矛盾.因此不存在的值，使得.8.某农药厂生产农药8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨.问平均每年需增长百分之几？（）解答：设平均每年增长的百分率为，则.所以，所以，所以，所

8、以，所以.背景材料可参见人民教育出版社、湖南教育出版社相应内容.教学建议类比指数的运算性质学习对数的运算性质；通过推导对数的运算性质，让学生感受到对数等式的证明方法；通过实际应用题的教学，增强学生数学的应用意识；在推导出三个对数运算性质后，可介绍一些推论，便于对数式的计算、化简或证明：（1）；（2）.第22课对数的运算性质（2）教学目标熟练掌握对数的运算性质及其应用，理解并运用对数的换底公式来解决有关问题.学习指导理解并掌握对数的换底公式的证明及其应用；了解常用对数、自然对数的概念及其相互关系；理解并掌握由对数运算性质和换底公式可推导出的几个常用的对数恒等式：（1）；（2）；（3）.例题精析

9、例1.计算分析由于底数不同，可使用换底公式化为同底后再运算. 解法一原式 解法二原式 评注不同底数的对数计算、化简或恒等式证明的常用方法是利用换底公式.上述解法一是先分括号换底，化简后再将底数统一进行计算；解法二是在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数，再进行化简的.例2.已知.求.分析一先将指数式化成对数式，然后将所求式化为以18为底的对数式，利用已知代入即可.分析二将所有已知、未知的式子都化为常用对数来计算.分析三将已知的对数式化成指数式，然后将所求式也化成指数式，逐步寻求转化关系.解法一解法二 解法三令，即，. 评注本题的解题方法是将指数式化成对数式，再把所求对数的底通过换底

10、公式换成和它们相同的底的对数，以便利用已知条件及对数的性质来求值，也可将对数式改写成指数式，以便利用已知条件及指数运算法则来求解.例3.设是直角三角形的三边，其中为斜边，且.求证：.分析一用分析法证明证法一欲证结论成立，只需证，即证，即证.这正是已知条件，且以上各步可逆，故结论正确.分析二用综合法证明.证法二由题设得 评注两种证法都需要用换底公式来完成证明.法一选用的是以10为底的常用对数，法二选用的底数与真数互换，也是常用方法.本课练习一、选择题1.的值属于区间（）（A）（-3，-2）（B）（-2，-1）（C）（1，2）（D）（2，3）2.（）（A）1（B）-1（C）2（D）-23.如果的两

11、根为，则（D）（A）（B）（C）15（D）二、填空题4.已知.5.设.三、解答题6.已知，求之间的关系.7.设，若有最大值，求.8.背景材料参见湖南教育出版社P96相应内容.教学建议对数的换底公式是对数计算中一个重要公式必须牢固掌握；通过对数的运算性质和换底公式的学习，培养学生论证能力、计算能力和综合运用知识的能力.第23课对数函数（1）教学目标理解并掌握对数函数的定义、图象和性质.学习指导掌握对数函数的概念，通过对数函数定义的引入，培养学生运用数学的意识及数学源于实践又反作用于实践的观点；抓住对数函数是指数函数的反函数这一要须研究对数函数，渗透数学中相互联系、相互转化的观点；利用对数函数的图

12、象研究其性质，渗透数形结合思想；学会从数学的角度发现和提出问题，并进行探索和研究，培养创新意识.例题精析 例1.已知.求函数的最大值和最小值.分析先利用函数的单调性及定义域求的范围，然后将表示成二次函数的形式求最值.解法依题设有，所以，又，而.评注本题的常见错误上忽视定义域.例2.已知函数.求:求的定义域；判断的奇偶性并予以证明；求使的的取值范围.分析根据对数的定义求定义域，利用奇偶性的定义判断的奇偶性，利用对数函数的单调性求的的取值范围.解法由.为奇函数.当；当.评注判断奇偶性时，首先要注意函数的定义域；解形如的不等式时，忽视；含字母的问题应注意分类讨论.例3.已知均为正数，且.求的取值范围

13、.分析解答本题的思维步骤是：若要求的范围，联想到把已知方程变形为关于的二次方程；利用方程有实根得判别式大于或等于零构造不等关系；利用对数函数的单调性确定的范围.解法由变形得，整理得.由于，解之得.评注本题综合了函数、方程、不等式的内容，要善于联想迁移，寻求知识间的相互联系.本课练习一、选择题1.，则满足这一条件的的大小关系是（C）（A）（B）（C）（D）2.已知（B）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）3.若方程（C）（A）（B）（C）（D）以上都不对二、填空题4.已知.5.方程.三、解答题6.已知.若的定义域是R，求实数的取值范围；若的值域是R，求实数的取值范围.解：设若的

14、定义域是R，即对任意，则.若的值域是R，则.7.设.证明：由已知得.因为.若，故.教学建议由于是互为反函数，虽然教材并非从这个角度编写，但是除了对数函数的概念引入之外，它的图象和性质的研究可类比指数函数的图象和性质来进行；对数函数的单调性是它的一个重要性质，教学时应牢牢把握好.另外对数函数中底数与真数的不同范围影响着函数值的取值，应渗透数形结合和分类讨论的思想.第24课对数函数（2）教学目标进一步复习巩固对数函数的图象和性质，增强分析问题和解决问题的能力.学习指导善于利用对数函数的图象和性质等基础知识灵活处理函数、方程、不等式等有关的综合问题.例题精析 例1.设.分析一作差比较，分类讨论.解法

15、一当.当.综上.分析二把问题转化为比较的大小.解法二 对于任意，所以分析三作商比较.解法三则,.评注比较两个值的大小，通常的方法是作差法或作商法.而比较的途径可以千变万化、各具特色，巧妙之处常在某些“灵活”的处理上.例2.已知.试求使方程有实数解的实数的取值范围.分析本题的思维步骤如下：列出满足题设条件的混合组，并化简约束条件；对于的不同取值作分类讨论，然后回代到混合组加以检验.解法原方程组等价于由（4）得.评注解含参数的对数方程时，首先要作等价变换，化成代数方程，然后进行分类讨论.例3.在有害射线的防护工作中，常常将射线通过屏蔽物的传输系数换算为屏蔽效能分贝数S，其计算公式定义为（单位叫作“

16、分贝”，记作db）.推出根据a和h计算屏蔽效能分贝数S的公式；已知铱射线对于1cm厚的一般混泥土板的传输系数k(1)=a=0.872.要把这种射线的强度屏蔽掉一半，混泥土板的厚度应为多少厘米？对应的屏蔽效能是多少分贝？分析解决应用问题的一般步骤是：审题弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；建模将文字语言转换成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；求模求解数学模型，得到数学结论；还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.本题的数学模型已经建立，只要解出结论即可.解法将代入S的计算公式得到.设所求厚度为h，对公式两端取对数得，解出代入求得混泥土板的厚度为：.对应的屏蔽效能为：.评注对于

17、射线衰减问题，在实际工作中，人们引进了一些标准度量方法，化成常用对数或自然对数来描述射线衰减问题中的数量关系，增强学生应用数学的意识.本课练习一、选择题1.若的大小关系是（C）（A）（B）（C）（D）2.函数在同一坐标系中的图象可能是（A）（A） （B）（C）（D）二、填空题3.已知.4.方程.三、解答题5.已知.证明在R上是奇函数；判断的单调性.解：证明：故在R上是奇函数.6.已知常数.若；若当.解：（1）原方程可化为即；（2）令.教学建议对数函数的底数和真数应满足的条件是求解有关问题时必须予以特别重视的；几个数值大小比较是常见题型，应根据函数性质和字母的范围进行分类讨论；解含有字母参数的对

18、数方程时，必须等价变形，并注意对字母讨论.第25课指数函数与对数函数（第二、三节）小结与复习教学目标复习巩固指数、对数的定义、运算性质，指数函数、对数函数的定义、图象和性质；分析指数函数、对数函数的联系和区别，培养学生良好的数学思维品质.学习指导指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质直接受底数的影响，所以分类讨论思想显得尤为突出，同时两类函数的函数值变化情况充分反映了函数的代数特征与几何特征；两类函数的最值是函数在整个定义域上所取得的最大值或最小值，初等函数在闭区间上必定存在最大值与最小值，求含有这两类函数的复合函数的最值时，一般要注意有意义的条件来决定中间量的取值范围，并综合运用求最值的各类方法求解；对于含参数的指、对数函数问题，如方程、不等式、图象等问题，要重视函数性质的综合运用.例题精析 例1