中南大学《高等数学》期末试题及答案详解

1、一、填空题1设，则函数的图形关于对称。解：的定义域为 ，且有即是偶函数，故图形关于轴对称。2若，则.解： 。3 极限。解：注意：（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量），其中=1是第一个重要极限。4.已知，则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知5.已知时，与是等价无穷小，则常数= 解. 6.设，其中可微，则= 。解 7.设，其中由确定的隐函数，则 。解 ，时，8.设具有二阶连续导数，则 。解:9.函数的可能极值点为 和 。 解 ，不是，不是 不是 负定，极大值 （，）10.设则. 解：因为，故11. .解：原式.12. .解：13若，则。答案： 14.设： ,则由估值不等式得 解，又

2、 ，由， 15.设由围成（），则在直角坐标系下的两种积分次序为_和_.解D：（X型）=D1+D2， ， D：（Y型） 16.设为，则的极坐标形式的二次积分为_.解： D：，17.设级数收敛，则常数的最大取值范围是 .解：由级数的敛散性知，仅当即时，级数收敛，其他情形均发散.18. .解：因为，所以原积分19. 方程的通解为20微分方程的通解为.21.当n=_时，方程 为一阶线性微分方程。解 或1.22. 若阶矩阵的行列式为是的伴随矩阵,则_.答案： 23.设A与B均可逆，则C =也可逆，且. 答案： ; 24.设，且，则X = .答案： 25矩阵的秩为解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。26

3、. 向量,其内积为_.答案： 27. n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 .答案：r=n,或|A|0; 28. 给定向量组，若线性相关，则a，b满足关系式 .答案：a-2b=0 29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .答案：相等; 30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为 .答案：; 31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的 条件.答案：必要不充分; 32. 设A为mn矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= .答案： ; 33.已知

4、元线性方程组有解，且，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为解答：34.设是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组的 都是A的属于的特征向量.答案：非零解;35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则的特征值为 .答案： ; 36.设A是n阶方阵，|A|0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值,则必有特征值. 答案：.37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,则与 的内积（,）= . 答案： 0 38.二次型的秩为 .答案：4. 39. 矩阵为正定矩阵,则的取值范围是_.答案：40. 二次型是正定的,则的取值范围是_.答案： 41. A、B、C代表三事件，事件“A、B

5、、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC .42. 事件A、B相互独立，且知则. 解：A、B相互独立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.643.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为.解：P(A+B)=1P44. 在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概率为().解：设X表示击中目标的次数，则X服从二项分布，其分布律为：45. 设随机变量X服从泊松分布，且则= .解： X服从泊松分布，其分布律为PX=k=（k=0, 1, 2，0） 由已知得：，求得=

6、2 PX=3=46. 设随机变量X的分布密度为，则= .解：由性质 即 解得：a=247. 若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX1211/163/162b且X，Y相互独立，则常数 = ,b = . 解： X，Y相互独立 P(X=1，Y=1)=P(X=1) P(Y=1) 即： a= 又 b=48. 设X的分布密度为，则的分布密度为 .解： PYy=P(X3y)=P(X)=Fx() Y=X3的分布密度为(y)= ，y049. 二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX1210.220.3则与应满足的条件是，当X，Y相互独立时，.解 =1 =1 即有=0.5当X，Y相互独立 P(X=1, Y=1

7、)= P(X=1)P(Y=1) =(+0.2)(+) =0.250. 设随机变量X与Y相互独立，且令Z = -Y + 2X +3，则= .解 X与Y相互独立， D(Z)=D(Y+2X+3)=D(Y)+D(2X+3) =(1)2D(Y)+4D(X)=1+42=9。51. 已知随机变量X的数学期望.令Y2X3，则= .解D(Y)=D(2X3)=4D(X)=4E(X2)E(X)2=4(412)=12。二、单项选择题1设 ，则=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，得 将代入，得=正确答案：D2 下列函数中，（ ）不是基本初等函数A B C D 解 因为是由，复合组成的，所以

8、它不是基本初等函数正确答案：B 3. 下列各对函数中，（）中的两个函数相等.A. 与 B. 与C. 与 D. 与解： A 4. 设在处间断，则有（ ）(A) 在处一定没有意义；(B) ; (即)；(C) 不存在，或；(D) 若在处有定义，则时，不是无穷小答案：D5函数 在x = 0处连续，则k = () A-2 B-1 C1 D2 答案： B6.若，为无穷间断点，为可去间断点，则（ ）.（A）1 （B）0 （C）e （D）e-1解：由于为无穷间断点, 所以, 故. 若, 则也是无穷间断点. 由为可去间断点得.故选(C).7函数的定义域为（ ）A BC D解：z的定义域为： 选D8二重极限（ ）

9、（A）等于0 （B）等于1 (C) 等于 （D）不存在 D）解：与k相关，因此该极限不存在9.利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程（ ）(A) (B) (C) (D)解z是x，y的函数，从，可得，故z是u，v的函数，又，故z是x,y的复合函数，故，从而左边=因此方程变为： 选A10若，在内则在内（ ）.(A) (B) (C) (D) 解：选(C).11.设的某个邻域内连续，且，则在点处（ ）.（A）不可导 （B）可导，且 （C）取得极大值 （D）取得极小值解：因为, 则在的邻域内成立, 所以为的极小值.故选(D).12.设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有（ ）.（A） （B）（C）

10、（D）解：考虑辅助函数13.( ).（A）（B）（C）（D）解：由积分上限函数的导数可得，故选（A）.14.设上具有连续导数，且，则（ ）.（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2解：因为，故应选（A）15.设上二阶可导，且记 ， ，则有（ ）.（A） （B） （C） （D）解：依题意, 函数在上严格单调减少, 且其图形是向上凸的曲线. 依据几何图形可得, 故选(B).16.设幂级数在处收敛. 则此级数在处( ).（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散 （D）收敛性不能确定解：选（A）.17.下列命题中,正确的是（ ）.（A）若级数的一般项有则有（B）若正项级数满足发散（C）若正项级数收敛

11、，则（D）若幂级数的收敛半径为，则.解：由有，因此，从而发散.故选（B）.18.设级数收敛，则级数（ ）.（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定解：因为收敛，即幂级数在处收敛，由Able定理知，幂级数在处绝对收敛，亦即绝对收敛.故选（A）.19. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）解：D20. 设满足微分方程，若，则函数 在点（ ）（A）取极大值； （B）取极小值；（C）附近单调增加； （D）附近单调减少.解：B21. 函数在点处的增量满足 且，则（D）（A） （B） （C） （D）解 令，得 ，故选（D）。22. 若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组

12、的秩为r，则必有( ).(A) r=s (B) rs (C) r=s+1 (D) r0， 所以=A，因而P(|A)=P(A|A)=1，故选（A）35. 离散型随机变量X的分布列为P X = k =, k = 1,2,3,4.则( )（A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.25解：由概率分布性质可知，常数a应满足， a+2a+3a+4a=1，即有a=0.1，故应选（B）。36. 设随机变量X的分布函数为则（）（A）（B）（C）（D）解： ，故应选（C）。37. 设随机变量X服从，的值（）（A）随增大而减小； （B）随增大而增大；（C）随增大而不变； （D）随减少而增大.解： XN(

13、, 4) PX2+=P，而值不随的变化而变化， PX2+值随增大而不变，故应选（C）。38 .设随机变量，则服从( )（A）（B）（C）（D）解 选（D）， E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 YN(a+b，a2)。39. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（）（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4解 选（D）；由题意知：XB(3, p)，而D(X)=3 p (1p)=0.72 p=0.4。40. 设随机变量X的概率密度为，则=( ).（

14、A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确解 选（B）；E(X)=，而被积函数为对称区间上的奇函数， E(X)=0。三、解答题1.设 ，已知在处连续可导，试确立并求解 ，在处连续，即。当时，当时，当时，故。2.设, 其中具有二阶连续偏导数, 求.解: ,.3设讨论f(x,y)在（0，0）（1）偏导数是否存在。 （2）.是否可微。解：（1）同理可得，偏导数存在。（2）若函数f在原点可微，则应是较高阶的无穷小量，为此，考察极限，由前面所知，此极限不存在，因而函数f在原点不可微。4.在过点的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.解: 设平面方程为, 其中均为正,

15、 则它与三坐标平面围成四面体的体积为, 且, 令, 则由, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为, 且.5.解：=6，其中为圆域。解：将区域分为，其中。于是7设在上连续，求证：。证明 由重积分中值定理，使得，当时，由f的连续性，知，从而有：8.求幂级数收敛区间及和函数：解：，所以，.当时，级数成为，由调和级数知发散；当时，级数成为，由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间为.设，则，所以，.9求解 解 原方程可化为，两边积分得，即。由得，故即为所求。10求解.解 原式可化为，令，得，即, 两边积分得 ，即，由得，故所求特解为。11求解满足解 特征方程为，故

16、通解为，由得，故为所求特解。12求解满足解 对应的齐次方程的通解为，设特解为代入原方程得，故原方程通解为，由得，。13设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定，并求该方程的通解.解 将，代入原方程得，故，方程为，故通解为。14计算下列行列式，解：15计算下列行列式解：16证明： 证：17设AX+E=A2+X，且A=，求X.解：由AX+E=A2+X，得(AE)X=A2E，而AE可逆，故X=A+E=.18已知矩阵，求常数a，b 解 因为 所以 ，得b = 2 19 将向量表示成的线性组合：（1）解：设，按分量展开得到 求解得到，即20问，取何值时，齐次方程组 有非零解？解：齐次方程组有非零解的

17、必要条件是系数行列式等于零，故即或齐次方程组有非零解。21设线性方程组 试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。解 可见，当c = 0时，方程组有解。且 原方程组的一般解为 （x3是自由未知量） 22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：（1）解：对应的矩阵为，特征值为正交矩阵为，标准型为23某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内(1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率.解：(1) 设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3，则有机床

18、需要工人照管的事件为，因而=0.568(2) 以B表示“机床因无人照看而停工” =0.20.10.6+0.20.90.4+0.80.10.4+0.20.10.4 =0.12424设随机变量X的分布密度为求(1) 常数A； (2) X的分布函数； .解：(1) 由性质 即： A=(2) 由(1)知f(x)= F(x)= (x+)25设二维随机变量（X，Y）在区域内服从均匀分布.求(1)（X，Y）的联合分布密度；(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？解：(1)区域0 x1，y2x的面积A由图如示： 则：依题意有： (2) 又 X, Y不相互独立.26设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求随机变量ZXY的概率密度函数.解：设Z的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得a) 当z0时，f(t)=0，f(z)