概率论课件33

1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计主要内容主要内容二、二维连续型随机变量及其密度函数二、二维连续型随机变量及其密度函数 四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性一、多维随机变量的联合分布函数一、多维随机变量的联合分布函数三、两种常用分布三、两种常用分布概率论与数理统计一、多维随机变量的联合分布函数一、多维随机变量的联合分布函数( , )(,).F x yPxy 设( , ) 为二维 r.v. 对任何一对实数( x , y ), 事件()()xy(记为 )(,)xy 定义了一个二元实函数F (x, y) ，称为二维 r.v.( , ) 的分布函数，即的概率(,)Px

2、y ( ,)(,)nnnF x xxPxxx121122,n 12是n维随机变量 的联合分布函数，称为联合分布联合分布或或分布分布。.,n 12( ,)n 12 推广 设 是定义在同一个样本空间 上的随机变量，则n维随机向量 是样本空间 上的n维随机变量或n维随机向量，并称n元函数1.定义定义概率论与数理统计2.分布函数的几何意义分布函数的几何意义(x, y)xy(,) 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. ( ， ) 的一组可能取值，则 F (x, y) 表示 ( , ) 的取值落入图所示角形区域的概率.概率论与数理统计3.联合分布函数的性质联合分布函数的性质(,) 0F ),(

3、xy(x, y)xy),(0( , ) 1F x y(,) 1F 概率论与数理统计( ,)0F x xyxy(, )0Fy概率论与数理统计固定 x , 对任意的 y1 y2 , 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x , y) = F (x+0 , y)，F (x , y) = F (x , y+0 ).对每个变量单调不减对每个变量单调不减对每个变量右连续对每个变量右连续F (x, y1) F (x, y2),F (x1, y) F (x2, y).xy （x , y1 ） （x , y2 ）xy （x1 , y ） （x2 , y ）概率论与数理统计F (b,d) F (b,c)

4、F (a,d) + F (a,c) 0.对于任意对于任意 a b , c 2)解解 (1)(,)1,22FA BC (, )arctan0,22yFyA BC( ,)arctan0,22 xF xA BC21,.22BCA故概率论与数理统计(2)( )( ,)F xF x11arctan,.22xx( )(, )FyFy11arctan,.22yy(3)(2)1(2)PP 1121arctan22 1.4 注：可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函数与边缘分布函数.概率论与数理统计二、二、 二维连续型随机变量分布及其密度函数二维连续型随机变量分布及其密

5、度函数 定义定义 设二维设二维 r.v 的分布函数为的分布函数为F(x ,y ),若存在若存在非负可积函数非负可积函数 p (x,y) , 使得对于任意实数使得对于任意实数 x , y 有有( , )( , )xyF x yp u v dvdu 则称则称 为为二维连续型二维连续型 r.v. ，p(x,y) 为为 的的联合概率联合概率密度函数，密度函数，简称简称概率密度函数（概率密度函数（p.d.f. ）.( , ) ( , ) ( , ) 1.定义定义概率论与数理统计2.联合密度函数的性质除 d.f. 的一般性质外还有下述性质( , ),p x yx y (,)P xxx yyy ( , )0

6、,p x y (1)( , )1,p x y dydx (2)2( , ),Fp x yx y 从而有对每个变元连续, 在 的连续点处( , )p x y(3)若G 是平面上的区域，则(4)P( = a , = b ) = 0,P( = a ,- + ) = 0,P(- 2 );(3) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.求：( , ) ( , ) 解解 (1)2, 0,01,( , )0,yxxp x y 其他.(2)210d2dxxxy1.32()Py=x10 xy1Gy = x2概率论与数理统计(3)(| 0.3)( 0.30.3)PP210.320.09.12y = x10

7、xy10.3概率论与数理统计(,)xy 2211222221 212()()() ()122(1)2121( , )21xxyyp x ye 2.二维正态分布若r.v. 的联合密度函数为( , ) 则称 服从参数为1,12,2,22, 的正态分布, 记作 N(1,12;2,22; )，其中1 ,20, -1 1 .( , ) ( , ) 概率论与数理统计二维正态分布图二维正态分布图概率论与数理统计概率论与数理统计二维正态分布剖面图二维正态分布剖面图概率论与数理统计122112222211221()2 ()() () 2(1)1( , )21yyxxp x y e e22122122()()()

8、2yxy 解解例例7 7( )( , )pxp x y dy求二维正态分布的边缘密度求二维正态分布的边缘密度.2222112211()()yxx 1222211221()() yxx 212211()1yxt ，221,1dtdy 2222()221( ),2yypy e e(,),()NN211222二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 2121()211( ),2xxpx e e均与均与 无关无关 逆命题成立吗逆命题成立吗 ？ 222xdx e e由边缘分布一般由边缘分布一般不能确定联合分布不能确定联合分布22121()2211( )2xtpxdt

9、e ee e22211221211)(-()2 12yxxdy e ee e22121 1请看下例请看下例 概率论与数理统计例8 设 的联合密度函数为 yxyxeyxpyx,),sinsin1 (21),(222求边际密度函数。( , ) 22221( )( , )(1 sin sin )2xypxp x y dyeexy dy221( ).2ypye解同理222222221sin sin2xyxyeedyeexydy221,2xe即即 都是标准正态分布的随机变量，但都是标准正态分布的随机变量，但 却不是二却不是二维正态分布。维正态分布。, ( , ) ( , )N0 1( , )N0 1概率

10、论与数理统计但反之不真但反之不真二维正态分布性质二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真但反之不真联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分布的关系: 我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段,介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.在什么情况下在什么情况下, ,由边缘

11、分布可以唯一确定联合分布呢？由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？概率论与数理统计四、随机变量独立性四、随机变量独立性注: 1、 2、随机变量的独立性可以推广到多个连续型随机变量的场合。 ,( , )p x ypxpy 是相互立的型机量独连续随变设 是二维随机变量，其密度函数为F(x,y),( , ) 又随机变量 的分布函数为 ，随机变量 的分布函数为 有 Fx .,Fyx y ,F x yFxFy则称 是相互独立的随机变量, 概率论与数理统计 定义 设 是n维连续型随机变量，且联合分布函数及的边缘分布为成立，则称 是相互独立的。12( ,)n 12,n ( ,),( ),(),()nnnF x

12、xxFxFxFx121212,1,2,ixR in有1121( ,)( )(),nnnF x xxFxFx112121,( ,)()()nnnnp x xxpxpx 是相互立的型机量独连续随变 注: 概率论与数理统计, )()(),(yFxFyxFYX 以以 分别表示两个部分别表示两个部件的寿命件的寿命( (单位单位: :小时小时),),( (1) )问问 是否相互独立？是否相互独立？解解 ( (1) ) ( )( ,)lim( , )yF xF xF x y ( , )( )( ) ,F x yF x Fy 例例9 9 一电子产品由两个部件构成一电子产品由两个部件构成 , ,0.50.5()

13、0.5,00,1(, ),.0yxyxxyx yF 其其他他e ee ee e+ +已知已知 的联合分布为的联合分布为 ( (2) )求两部件的寿命超过求两部件的寿命超过 0.1 小时的概率小时的概率. .(,).P0 10 1( (2) ) 0.5,1,0( )(,),0.yyFyFy 其其他他e e故故 相互独立相互独立. 0 1. e e(,).P0 10 1)1 . 0, 1 . 0(),1. 0()1. 0,(),(FFFF.0.050.050.10 050 051(1) (1) (1) e ee ee ee ee e0.5,1,0,0.xx 其其他他e e( , ) , , , 概率论与数理统计例 10设二维随机变量，的密度函数为21,01 02,30,xxyxyp xy，其它.试判断随机变量 与 是否相互独立？时，当10 x pxp xy dy，22013xxy dy222.3xx所以，随机变量 的密度函数为 222,01,30,xxxpx其它. 解解 概率论与数理统计时，当20 y dpyp xyx，1201d3xxyx11,36y所以，随机变量 的密度函数为 11,02,360,yypy其它. p xypx py，所以，随机变量 与 不独立时，由于当2010yx2