选修《函数的最大(小)值与导数》(上课)

1、首页上一页下一页末页结束结束数学数学第十一节第十一节 导数的应用导数的应用增函数增函数 减函数减函数二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值. 使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点一、复习旧知求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的

2、一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 求定义域求定义域求导求导求极值点求极值点列表列表求极值求极值 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大

3、等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函概念，极值只是某个点的函数值与它数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小, ,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。着它在函数的整个的定义域内最大或最小。观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x

4、4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定有最不一定有最大值与最小大值与最小值值. 在闭区间在闭区间上的连续函上的连续函数必有最大数必有最大值与最小值值与最小值xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6一般的如果在一般的如果在闭区间闭区间a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲线，那么它的曲线，那么它必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。闭区间图像两连续不断个要素开区间？不连续？ 观察右边一个定义在观察右边一个定义在区间区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象：的图象

5、：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6一般的如果在一般的如果在闭区间闭区间a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲线，那么它的曲线，那么它必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。最值在极值点或区间端点处取到导数的应用导数的应用-求函数最值求函数最值. . (2) (2)将将y=f(x)y=f

6、(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(bf(b)()(端点处端点处) ) 比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. . 求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b(a,b) )内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )所有极值连同端点函数值进行比较，所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值最大的为最大值，最小的为最小值3( )6121 3f xxx求函数在， 上的最值.动手试试动手试试求下列函数的最大值与最小值

7、：求下列函数的最大值与最小值：(2)f(x)x33x26x2，x1,1(1)f(x)2x36x23，x2,4； (3)f(x)2x36x23，x2,+)； 4( )nf xxlx（ ） 求函数求函数y=f(x)在在a，b的的最大（小）值最大（小）值步骤如下：步骤如下： （1）求函数）求函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内所有内所有使使f (x)=0的点；的点； （2）计算函数）计算函数f(x)在区间内使在区间内使f (x)=0的的所有点和端点的函数值，其中最大的一个所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。为最大值，最小的一个为最小值。典型例题典型例题 322( )

8、262 2371a2( )2 2f xxxaf x例题 ：已知函数在， 上有最小值求实数 的值；求在， 上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2, 2fx由知在的 最 大 值 为 3.(0),fa(2)8fa 题型二含参数的最值问题【例2】 已知a是实数，函数f(x)x2

9、(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间0,2上的最大值 由于参数的取值范围不同，会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定x(a,1a) 1a(1a，)f(x)0f(x)极小值例例1、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？子容积最大？最大容积是多少？60 xx60 xx解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则