函数的求导法则复习课件

1、一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v x定理定理1( ),( ),(),u xv xxx如果函数在点 处可导 则它们的和、差、积、商 分母不为零 在点 处也可导 并且2( )( ) ( )( ) ( )(3)( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf 1211211(3)( )( )( )( )( )( )( )

2、( )( );nininnnikikk if xfx fxfxf x fxfxf x fx 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则( )yxf yI如果函数在某区间 内单调、1( )0,( )fyyfx可导且那末它的反函数|( ),xyIx xf yyI在区间=内也可导 且有即即 ： 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.定理定理2111( ).( )dyfxdxfydxdy或三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则( ),( )ug xxyf u如果函数在点 可导而( ), ( )ug xyf g x在点可导 则复合函数在点,x可导 且其导数为即即 因变

3、量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )定理3( )( )dydydy duf ug xdxdxdu dx或证证,)(可导在点由uufy )(lim0ufuyu0( )(0, lim0)uyf uuu 故( )(1)yf uuu 则xyx 0lim)(lim0 xuxuufx0,0,()( )0,(1),(1)0.uyf uuf uu 当时 规定这时而式右端也为零所以式对也成立xuxuufxxx000limlimlim)().( )(xguf xyx 0lim000

4、,0,limlim0 xuxu 根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道,当时从而可以推出推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例103.xye求函数的导数3,.uyeux解解dxdududydxdy 23uex例例1122sin.1xyx求函数的导数22sin ,.1xyu ux解解dxdududydxdy 2222(1)cos(1)xux22222(1

5、)2cos(1)1xxxx323xx e例例123212.yx求函数的导数解解123(1 2)dyxdx22231(1 2)(1 2)3xx22343 (1 2)xx例例13)ecos(lnyx，求，求.dxdy解：解：所给函数可分解为所给函数可分解为.,cos,lnxevvuuy因因,sin,1xedxdvvdvduududy故故xevudxdy)sin(1xxxeee)cos()sin().tan(xxee写法二写法二 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy).tan()()cos()sin(xxxxxeeeee例例14当当x0时，证明幂函数的导数公式时，证明幂函数的导

6、数公式.)(1xx证明：证明：,)(lnlnxxeex)()(lnxex)ln(lnxex11xxx例例1515.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1616.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四四.基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式1.常数和基本初等函数的导数公式；常数和基本初等函数的导数公式；xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin

7、0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.反函数的求导法则反函数的求导法则11( )( )0,( ),11( ).(

8、 )yxxf yIf yyfxIdyfxdxf ydxdy设在某区间内单调、可导且那末它的反函数在对应区间内也可导且有或4.复合函数的求导法则复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.( ),( )ug xxyf u如果函数在点 可导而( ), ( )ug xyf g x在点可导 则复合函数在点,x可导 且其导数为( )( )dydydy duf ug xdxdxdu dx或例例17： .),(sinsinynxnxyn求为常数解：解：首先应用积的求导法则得首先

9、应用积的求导法则得. )(sinsinsin)(sinxnxxnxynn在计算在计算 与与 时，都要应用复合时，都要应用复合函数求导法则，由此得函数求导法则，由此得)cossinsin(cossin1xnxxnxxnnxnxnn) 1sin(sin1)(sinnx)(sinxnxxnnxxnxnynncossinsinsincos1五、小结五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合

10、函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.作业：作业：P96-97P96-97 2: 偶数题偶数题 7:(3)(7)(10) 思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的

11、切线方程的切线方程.32xxy x1. 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，且可导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处处（ ）（1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；2.幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；3.思考题思考题1解答解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和思考题思考题2解答解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)( 在在 处可