重积分概念与计算学习教案

1、会计学1第一页，共38页。如果当各小闭区域的如果当各小闭区域的直径中的最大值直径中的最大值 趋近于零趋近于零时， 这时， 这和式的极限和式的极限存在， 则称此极限为函数存在， 则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分， 记为记为 Ddyxf ),(， 即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . (1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的. 注：注：第2页/共38页第1页/共38页第二页，共38页。(2)当当),(yxf在在闭区域上连续闭区域上连续时，或时，或分片连续且有界分片连续且有界，定，

2、定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. (3)几何意义几何意义(yy)：当被积函数大于零时，二重积分：当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积(tj)的负的负值值).(),(),()4(DRfDyxfdyxfD 记记上上可可积积，在在存存在在，称称若若xyo(5) 面积面积(min j)元素为元素为ddxdy二重积分可写为二重积分可写为( , )( , )DDf x y df x y dxdy Ddyxfv ),()6( Ddyxm ),(第3页/共38页第2页/共

3、38页第三页，共38页。性质性质(xngzh)当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质(xngzh) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似（二重积分与定积分有类似(li s)的性质）的性质）第4页/共38页第3页/共38页第四页，共38页。性质性质(xngzh)对区域对区域(qy)具有可具有可加性加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质(xngzh) 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdy

4、xf 推论推论(1).),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有第5页/共38页第4页/共38页第五页，共38页。 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则性质性质(xngzh) DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式） 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质(xngzh) ),(),(fdyxfD（二重积分中值定理（二重积分中值定理(dngl)）第6页/共38页第

5、5页/共38页第六页，共38页。性质性质(xngzh)8. 0),(),(),(1 DdyxfyxfyxfyD 则则轴对称，轴对称，关于关于、若、若. 0),(),(),(2 DdyxfyxfyxfxD 则则轴对称，轴对称，关于关于、若、若.),(2),(),(),(11 DDdyxfdyxfyxfyxfDDyD 则则在第一象限部分，在第一象限部分，为为轴对称，轴对称，关于关于若若.),(4),(),(),(),(),(,11 DDdyxfdyxfyxfyxfyxfyxfDDyxD则则在第一象限部分，在第一象限部分，为为轴对称，轴对称，关于关于若若.),(2),(),(),(11 DDdyxf

6、dyxfyxfyxfDDxD 则则在第一象限部分，在第一象限部分，为为轴对称，轴对称，关于关于若若第7页/共38页第6页/共38页第七页，共38页。 二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的. .下面我们根据二重积分的几何下面我们根据二重积分的几何(j h)(j h)意义意义曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法. .这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分这个方法就是把二重积分的计算转

7、化为接连计算两次定积分，即二次积分. .二、利用直角坐标二、利用直角坐标(zh jio zu bio)计算二重积分计算二重积分 第8页/共38页第7页/共38页第八页，共38页。12:,( )( )D axbxyx设函数设函数 在区域在区域 上连续上连续, ,且当且当 时，时， 如果区域如果区域 是由直线是由直线 ， 与曲线与曲线 所围成所围成( (称为称为 型区域型区域),),如下图如下图, ,即即( , )zf x y( , )x yD( , )0f x y Dxaxb12( ),( )yxyxDXxyoba1( )yx2( )yxxxyoba1( )yx2( )yxxxoba1( )yx

8、xy2( )yx 型区域的特点型区域的特点: :在在 内任取一点内任取一点 过过 作平行于作平行于 轴的直线轴的直线, ,则该直线与则该直线与 的边界曲线的交点不多的边界曲线的交点不多于两个于两个X( , )a b, xyDx第9页/共38页第8页/共38页第九页，共38页。为确定曲顶柱体的体积为确定曲顶柱体的体积, ,可在可在 处用垂直处用垂直 轴的平面去截曲顶柱体轴的平面去截曲顶柱体, ,设其截面面积为设其截面面积为 x( )A xxD( , )Df x y d( , )zf x y 是区域是区域 上以曲面上以曲面 为顶的为顶的曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. .由二重积分的几何意义知由二重

9、积分的几何意义知: :xzyoabx( )A x第10页/共38页第9页/共38页第十页，共38页。( ,)( )baDfx y dA x dx从而从而( )A x其中其中是垂直于是垂直于 轴的平面与曲顶柱体相交部分轴的平面与曲顶柱体相交部分的面积的面积. .即即 是一个是一个曲边梯形曲边梯形的面积的面积. .x( )A x()baVA x dx由由定积分的应用定积分的应用可知：已知可知：已知平行截面面积平行截面面积的立体的体积的立体的体积公式为公式为xzyoabx( )A x第11页/共38页第10页/共38页第十一页，共38页。从而从而21( )( )( , )( , )( , )bxax

10、DDf x y df x y dxdyf x y dy dx (1)(1)x( , )zf x yyy1( )x2( )x( )A x21( )( )( )( , )xxA xf x y dy对固定的对固定的 , ,此曲边梯形此曲边梯形的的曲边曲边是由方程是由方程确定的关于确定的关于 的一元函数的一元函数的曲线的曲线, ,而底边沿着而底边沿着 方方向从向从 变到变到 . .故故其面其面 积为积为xzyoabx( )A x2( )yx1( )yx第12页/共38页第11页/共38页第十二页，共38页。通常写成通常写成21()()( ,)( ,)bxaxDfx y dxdydxfx y dy(2)

11、(2)这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。第一次计算定积分定积分的问题。第一次计算定积分21( )( )( )( , )xxA xf x y dy时，时， 看作是常量，看作是常量， 是积分变量；第二次积分时，是积分变量；第二次积分时， 是积分变量是积分变量. . xyx这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分( (适合于适合于 型区域型区域). ). yxX第13页/共38页第12页/共38页第十三页，共38页。12:( )( )D cydyxy类似地类似地，如果，如果D D是是Y Y型区域型区域, ,可用垂直于可用

12、垂直于 轴的平面去截曲顶柱体轴的平面去截曲顶柱体, ,此时此时D D为为y21()()( ,)( ,)dycyDfx y dxdydyfx y dx这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分. .xycdyyox2( )xy1( )xycdyyox2( )xy1( )xy第14页/共38页第13页/共38页第十四页，共38页。如果去掉以上结论中关于如果去掉以上结论中关于 的限制，则上述结论仍是成立的的限制，则上述结论仍是成立的. .( , )0,( , )zf x yx yD几点说明：几点说明：:,D axb cyd( , )( , )( , )bddbaccaDf x y dxdy

13、dxf x y dydyf x y dx则则（）若区域）若区域D D是一个矩形，即是一个矩形，即D D为为:,D axb cyd （）若函数可积，且）若函数可积，且D D为为第15页/共38页第14页/共38页第十五页，共38页。（）上面所讨论的积分区域）上面所讨论的积分区域 是是 型或型或 型区域，即平行于型区域，即平行于 轴或轴或 轴轴的直线与区域的直线与区域 边界曲线的交点不多边界曲线的交点不多于两点于两点. .若若 不满足这个条件不满足这个条件, ,可将可将分块分块. .再应用积分的分域性质来计算再应用积分的分域性质来计算. .yxXYDDDD1D2D3Dx0y12( , )( )(

14、)f x yf xfy且且则则12( ,)()()bdacDfx y dxdyfx dxfy dy第16页/共38页第15页/共38页第十六页，共38页。由于二重积分归结于计算两个定积分由于二重积分归结于计算两个定积分, ,因此计算重因此计算重积分本身没有新困难积分本身没有新困难, ,对于初学者来说对于初学者来说, ,感到困难的感到困难的是如何根据区域是如何根据区域 去确定两次积分的上、下限去确定两次积分的上、下限. .建建议读者先将区域议读者先将区域 的图形画出，再写出区域的图形画出，再写出区域 上的上的点的点的坐标所要满足的不等式坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限以确定积分的上、下限

15、. .DDDxyoba1( )yx2( )yxx定限法则定限法则: :就就 型区域而言型区域而言X后积先定限后积先定限, ,域内穿射线域内穿射线, ,先交为下限先交为下限, ,后交为上限后交为上限. .如右图如右图第17页/共38页第16页/共38页第十七页，共38页。:22,11.Dxy 143DxydxdyD例例1 1 计算二重积分计算二重积分 , ,其中其中 为矩形：为矩形：21212221122222114343()(2)462(2)84Dxyxydxdydxdyxyyxydxdxxx解解1 1 先积先积 再积再积yx解解2 2 先积先积 再积再积yx2121221212111111(

16、)43438342(4)(4)833Dxyxyxxydxdydydxxdyyydyy第18页/共38页第17页/共38页第十八页，共38页。例例2 2 计算二重积分计算二重积分 , ,其中区域其中区域 为矩形：为矩形：x yDedxdyD:01, 12Dxyxyxyeee1212010122()()(1)()(1)xyxyxyDedxdye dxe dyeeeeee e解解 因为因为 , ,所以所以或或先积先积 再积再积12121010121211003222()()()()(1)x yx yx yDxxxxedxdydxedyedxeedxeeeeeee eyx第19页/共38页第18页/共

17、38页第十九页，共38页。 例例3 3 计算二重积分计算二重积分 . .其中积分区域其中积分区域 分分 别如下图所示：别如下图所示： 三角形；三角形； 四分之一椭圆四分之一椭圆。 DxydxdyD2(1)(1)0000()2xxbabaaaDxyxydxdydxxydydx:0,0(1)xDxayba解解 因为下图所示的三角形因为下图所示的三角形区域的斜边方程是区域的斜边方程是所以所以 可表示为可表示为1xyabDayoxb23422202121()223424axxxba baa2232220012(1)()22aabxxxxdxbxdxaaa第20页/共38页第19页/共38页第二十页，共

18、38页。 前图所示的四分之一椭圆区域可表示为前图所示的四分之一椭圆区域可表示为22:0, 01xDxaybaayoxb因此因此(ync)(ync)22100 xabaDxydxdydxxydy24222211()2248aaba ba22201(1)2axbxdxa242021()224axxba第21页/共38页第20页/共38页第二十一页，共38页。例例4 4 计算二重积分计算二重积分 , ,其中其中 是由三条线是由三条线 所围成的区域所围成的区域. .(6 )Dxy dxdyD,5 ,1yx yx x5yxyx1x 解解 易知积分易知积分(jfn)(jfn)区域可表为区域可表为:01,5

19、Dxxyx1207676.3x dx于是于是(ysh)(ysh)(6 )Dxy dxdy1250(3)xxxyydx150(6 )xxdxxy dy第22页/共38页第21页/共38页第二十二页，共38页。,dDyx其中(qzhng)D 是抛物线xy 2所围成的闭区域(qy). 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共38页第22页/共38页第

20、二十三页，共38页。,ddsinDyxxx其中(qzhng)D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域(qy).oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共38页第23页/共38页第二十四页，共38页。22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分积分域由两部分(b fen)组组成成:,200:2211xxyD822 yx2

21、D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域(qy) , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共38页第24页/共38页第二十五页，共38页。,dd )1ln(2yxyyxID其中(qzhng)D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然(xinrn),1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd )1ln(120yxyyxDdd )1

22、ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共38页第25页/共38页第二十六页，共38页。积分的变量代换是计算积分的变量代换是计算(j sun)(j sun)积分的一个有效方法积分的一个有效方法, ,对二对二重积分也有类似的方法重积分也有类似的方法. .在这类方法中极坐标变换在这类方法中极坐标变换cos ,sinxryr最为常用最为常用. .下面介绍怎样利用极坐标变换下面介绍怎样利用极坐标变换(binhun)(binhun)来计算二来计算二重积分重积分. .在二重积分的计算中在二重积分的计算中, ,如果积分域是圆域或部分圆如果积分域是圆域或部分圆 域域, ,被积函数为被积函数为

23、 形式形式, ,利用极坐利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便标变换来计算二重积分会十分方便. .22(),( ),( )yxf xyffxy二、利用二、利用(lyng)极坐标计算二重积极坐标计算二重积分分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共38页第26页/共38页第二十七页，共38页。xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应(duyng)有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数(chngsh)则除包含(bohn)边界点的小区域外,小区kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrr kkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划

24、区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 域的面积第28页/共38页第27页/共38页第二十八页，共38页。kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 下面(xi mian)考虑如何把极坐标系下的二重积分(jfn)化为二次积分(jfn).分三种情况来讨论:第29页/共38页第28页/共38页第二十九页，共38页。Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD则Drrrr

25、fdd)sin,cos(d1) 极点极点(jdin)在在D之之外外2) 极点极点(jdin)在在D的边的边界上界上0( ):,rD Drrrrfdd)sin,cos( )0( cos , sin) df rrrr d第30页/共38页第29页/共38页第三十页，共38页。20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第31页/共38页第30页/共38页第三十一页，共38页。若 f 1 则可求得D 的面积(min j)d)(21202Dd思考思考(sko): 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于轴相切于原点原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化(binhu)范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共38页第31页/共38页第三十二页，共38页。1yx122yx解解 sincosryrx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第33页/共38页