正弦函数和余弦函数的图像与性质

1、第六章三角函数5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数和余弦函数的概念一、正弦函数和余弦函数的概念实数集与角的集合可以建立一一对应的关系，实数集与角的集合可以建立一一对应的关系，每一个确定的角都对应唯一的正弦每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦余弦)值值.因此，任意给定一个实数因此，任意给定一个实数 ，有唯一确定的值，有唯一确定的值xsin (cos )xx与之对应与之对应.函数函数sinyx叫做叫做正弦函数正弦函数函数函数cosyx叫做叫做余弦函数余弦函数正弦函数和余弦函数的正

2、弦函数和余弦函数的定义域定义域是是R正弦函数和余弦函数的正弦函数和余弦函数的值域值域是是 1,1二、正弦函数的图像二、正弦函数的图像正弦函数正弦函数 在区间在区间 上的图像上的图像.sinyx0,2 OPM00(,sin)S xx思考思考 如何利用正弦线确定点如何利用正弦线确定点 的坐标？的坐标？00(,sin)xxA Oyx知道作函数知道作函数 图像上一个点，图像上一个点，yxsinyx二、正弦函数的图像二、正弦函数的图像正弦函数正弦函数 在区间在区间 上的图像上的图像.sinyx0,2 就可作出一系列的点，例如就可作出一系列的点，例如11,6 3 26 O63223567643325321

3、16最后将函数最后将函数 在区间在区间 上的图像左右上的图像左右sinyx二、正弦函数的图像二、正弦函数的图像正弦函数正弦函数 在区间在区间 上的图像上的图像.sinyx0,2 平移平移(每次每次 个单位个单位)，就可以得到，就可以得到0,2 2sin ,yx xR的图像的图像.12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO11232正弦函数正弦函数 的图像叫做的图像叫做正弦曲线正弦曲线sin ,yx xR例例1.试画出正弦函数在区间试画出正弦函数在区间 上的图像上的图像.0,2 12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-5510

4、1520 xOy112232五个关键点：五个关键点：3(0,0),(,1),( ,0),(, 1),(2 ,0)22利用五个关键点作简图的方法称为利用五个关键点作简图的方法称为“五点法五点法”三、余弦函数的图像三、余弦函数的图像根据诱导公式根据诱导公式 可知余弦函数可知余弦函数cossin()2xxcosyx的图像可由的图像可由 的图像向左平移的图像向左平移sinyx2个单位得到个单位得到.12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO11232sinyxcosyx余弦函数余弦函数 的图像叫做的图像叫做余弦曲线余弦曲线cos ,yx xR例例2.试画出

5、余弦函数在区间试画出余弦函数在区间 上的图像上的图像.0,2 12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xOy112232五个关键点：五个关键点：3(0,1),(,0),( , 1),(,0),(2 ,1)22并注意曲线的并注意曲线的“凹凸凹凸”变化变化.课堂练习课堂练习1.作函数作函数 与与 在在2.指出指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系中各图像与正弦函数图像的位置关系.sinyx sin1yx0,2 上的大致图像上的大致图像.3.作函数作函数 的大致图像的大致图像.cos , yx x 4.利用利用3.解不等式：解不等式：cossin , xx

6、 x 课堂练习答案课堂练习答案1.xsin x0101023202sin ,0,2 yx x sin1,0,2 yxxxsin x2320200101sin1x0112112108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO212108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO22.课堂练习答案课堂练习答案sinyx 与与 的图像关于的图像关于 轴对称；轴对称；sinyxxsin1yx的图像为的图像为 的图像向上平移的图像向上平移1sinyx个单位个单位.3.xcosx20210101cos , yx x 12108642-

7、2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO2214.根据上图可知，解集为根据上图可知，解集为3,44 第六章三角函数6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.2 正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数的值域与最值一、正弦函数的值域与最值2,2Zkkx正弦函数的正弦函数的值域值域是是 1,1当且仅当当且仅当 时，时，正弦函数取得最大值正弦函数取得最大值1；当且仅当当且仅当 时，时，正弦函数取得最小值正弦函数取得最小值-1.2,2Zkkx12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10

8、-55101520 xyO11232OPMyx二、余弦函数的值域与最值二、余弦函数的值域与最值2,kZxk余弦函数的余弦函数的值域值域是是 1,1当且仅当当且仅当 时，时，余弦函数取得最大值余弦函数取得最大值1；当且仅当当且仅当 时，时，余弦函数取得最小值余弦函数取得最小值-1.,2kkZx12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xy0112325223252OPMyx例例1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量时的自变量 的值的值.x(1)23(sin)22yx(2)2cosyx 解解:(1)max2

9、y当当 时，时，2,xkkZmin2y 当当 时，时，2,xkkZ(2)视为视为23()2,sin2yuux当当 ，即，即 时，时，1u 2,2xkkZmax174y当当 ，即，即 时，时，1u 2,2xkkZmin74y 例例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量时的自变量 的值的值.x(1)sin(2)4yx(2)3sincosyxx 解解:(1)视为视为sin ,24yu ux当当 ，即，即 时，时，max1y,8xkkZ22uk当当 ，即，即 时，时，min1y 3,8xkkZ22uk例例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值求下

10、列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量时的自变量 的值的值.x(1)sin(2)4yx(2)3sincosyxx 解解:(2)3sin22yx 当当 ，即，即 时，时，max32y,4xkkZ22uk当当 ，即，即 时，时，min32y ,4xkkZ22uk，视为，视为3sin ,22yu ux 解毕解毕例例3.动点动点 绕原点绕原点 作逆时针匀速圆周运动，作逆时针匀速圆周运动，( , )P x yO初始位置如图所示，角速度为初始位置如图所示，角速度为 .2/rad st(1)建立建立 与运动时间与运动时间 (秒秒)的函数关系式的函数关系式.yt(2)求求 运动到最高点时的运动到最高点时

11、的 的值的值.POPyx303解解: (1)3sin(2),06ytt(2) ，max3y2262tk此时此时解得解得6tk,0,1,2,k 解毕解毕课堂练习课堂练习2cos2sin1yxx1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时x的自变量的自变量 的值的值.(1)(2)cos3xy 22cossin2yxx(1)(2)cos(2)4yx2.要求同第要求同第1题题.3.如图，当如图，当 为何值时，为何值时，A B C D矩形矩形 周长最大？周长最大？ABCDABCDab课堂练习答案课堂练习答案1.(1)cos3xy min1y 当当 时，时，6,xk

12、kZmax1y当当 时，时，63 ,xkkZ(2)2(sin1)3yx max3y当当 时，时，2,2xkkZmin1y 当当 时，时，2,2xkkZ课堂练习答案课堂练习答案2.(1)cos(2)4yxmin1y 当当 时，时，5,8xkkZmax1y当当 时，时，,8xkkZ(2)sin2cos21yxx2sin(2)14xmax12y 当当 时，时，,8xkkZmin12y 当当 时，时，3,8xkkZABCDABCDab3.如图，当如图，当 为何值时，为何值时，A B C D矩形矩形 周长最大？周长最大？课堂练习答案课堂练习答案解：设矩形解：设矩形 周长为周长为A B C Dy2()yB

13、 CC D2( sincossincos)bbaa2 2()sin()4ab当当 时，时，4,02max2 2()yab解毕解毕第六章三角函数6.1.2 正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.3 正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质OPM12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO11232匀速圆周运动中匀速圆周运动中用函数变量之间的关系用函数变量之间的关系如何描述？如何描述？“周而复始周而复始”的现象的现象一、函数周期性的定义一、函数周期性的定义一般地，对于函数一般地，对于函数 ，如果存在，如果

14、存在非零常数非零常数( )f xT使得对于定义域内的使得对于定义域内的每一个每一个自变量自变量 值，都有值，都有x( + )( )f x Tf x那么函数那么函数 叫做叫做周期函数周期函数，( )f x非零常数非零常数 叫做叫做T这个函数的这个函数的周期周期.思考思考也是周期吗？也是周期吗？2 ,3 ,4 ,TTT 周期函数有多少个周期？周期函数有多少个周期？一、函数周期性的定义一、函数周期性的定义一般地，对于函数一般地，对于函数 ，如果存在，如果存在非零常数非零常数( )f xT使得对于定义域内的使得对于定义域内的每一个每一个自变量自变量 值，都有值，都有x最小正周期最小正周期 一个周期函数

15、的全部周期中一个周期函数的全部周期中若存在一个最小正数，那么这个最小的正数若存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做这个周期函数的最小正周期就叫做这个周期函数的最小正周期.( + )( )f x Tf x那么函数那么函数 叫做叫做周期函数周期函数，( )f x非零常数非零常数 叫做叫做T这个函数的这个函数的周期周期.二、正弦函数与余弦函数的周期二、正弦函数与余弦函数的周期正弦函数是周期函数正弦函数是周期函数，2,0kkZ k都是它的都是它的周期，周期，最小正周期是最小正周期是2余弦函数是周期函数余弦函数是周期函数，2,0kkZ k都是它的都是它的周期，周期，最小正周期是最小正周期是2对于任意

16、对于任意xR都有都有sin(2)sin ,xkx kZcos(2)cos ,xkx kZ注：一般三角函数的周期都是指最小正周期注：一般三角函数的周期都是指最小正周期例例1.求下列函数的周期：求下列函数的周期：(1)( )cos2f xx(2)1( )sin()26f xx解解: (1)设设 的周期为的周期为cos2()cos2xTx( )f xT()( )f xTf x即即cos(22 )cos2xTx即即即即cos(2 )cosuTu对任意对任意 都成立：都成立：u因此因此22T，从而，从而 T解毕解毕解解: (2)1( )sin(2 )26f xx1sin(4 )26x(4 )f x因此周

17、期为因此周期为4思考思考 试说明周期与此类函数的什么相关？试说明周期与此类函数的什么相关？具体关系是什么？具体关系是什么？例例1.求下列函数的周期：求下列函数的周期：(1)( )cos2f xx(2)1( )sin()26f xx解毕解毕二、正弦函数与余弦函数的周期二、正弦函数与余弦函数的周期正弦函数是周期函数正弦函数是周期函数，2,0kkZ k都是它的都是它的周期，周期，最小正周期是最小正周期是2余弦函数是周期函数余弦函数是周期函数，2,0kkZ k都是它的都是它的周期，周期，最小正周期是最小正周期是2函数函数 及函数及函数sin()yAxcos()yAx(其中其中 是常数，是常数， ),A

18、 0,0A最小正周期是最小正周期是2T50403020100/h mm123/ t s例例2.若钟摆的高度若钟摆的高度 与时间与时间 之间的函数之间的函数()h mm( )t s关系如图所示关系如图所示.(1)求该函数的周期；求该函数的周期；(2)求求 时钟摆时钟摆的高度的高度.10ts解解: (1)3 1.5T 1.5( ) s(2)(10)h(1)h(1 1.5 6)h20因此因此10秒时，钟摆高度为秒时，钟摆高度为20mm解毕解毕课堂练习课堂练习1.求周期：求周期： (1)cos2xy (2)12sin()34yx2.若函数若函数 的最小正周期是的最小正周期是( )sin()5f xkx

19、23求正数求正数 的值的值.k3.求周期：求周期： (1)sincosyxx(2)2sin22sinyxx4.已知已知 的定义域为的定义域为 ，且满足，且满足( )f xR(3)( )f xf x 证明证明 是周期函数并求出它的周期是周期函数并求出它的周期.( )f x课堂练习答案课堂练习答案1. (1)240.5T(2)261|3T2.3. (1)1sin2 ,2yx T(2)2sin(2)1,4yxT223Tk，解得，解得3k 课堂练习答案课堂练习答案4.已知已知 的定义域为的定义域为 ，且满足，且满足( )f xR(3)( )f xf x 证明证明 是周期函数并求出它的周期是周期函数并求

20、出它的周期.( )f x证：证：(3)( )f xf x (3)3(3)fxf x 对于任意对于任意 都成立都成立.xR(6)(3)f xf x ( )( )f xf x 上式对于任意上式对于任意 都成立都成立.xR因此因此 是周期为是周期为6的周期函数的周期函数.( )f x证毕证毕课外阅读材料课外阅读材料正弦函数的最小正周期正弦函数的最小正周期求证：正弦函数求证：正弦函数 的最小正周期的最小正周期( )sin ,f xx xR为为2证：反证法证：反证法 假设存在假设存在 满足：满足：02Tsin()sin ,xTx xR则则sin()sin122T与与sin()cos12TT矛盾矛盾因此假

21、设不成立，又因此假设不成立，又 显然是周期，显然是周期，2所以正弦函数的最小正周期是所以正弦函数的最小正周期是2证毕证毕第六章三角函数6.1.3 正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质6.1.4 正弦函数和余弦函数的图像与性质正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数与余弦函数的奇偶性一、正弦函数与余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数，图像关于原点对称；，图像关于原点对称；余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数，图像关于图像关于 轴对称轴对称.对于任意对于任意xR都有都有sin()sinxx cos()cosxxy12108642-2-4-6-8-10-12-20-

22、15-10-55101520 xyO1123212108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xy0112325223252二、正弦函数与余弦函数的单调性二、正弦函数与余弦函数的单调性12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO11232在一个周期在一个周期 中，中，3,22OPMxy2023210101二、正弦函数与余弦函数的单调性二、正弦函数与余弦函数的单调性12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xyO11232正弦函数正弦函数sin ,yx xR在在每一个每一个闭区间

23、闭区间2,2,22kkkZ上，从上，从 增大到增大到 ，是，是增函数增函数.11在每一个闭区间在每一个闭区间32,2,22kkkZ上，从上，从 减小到减小到 ，是，是减函数减函数.11二、正弦函数与余弦函数的单调性二、正弦函数与余弦函数的单调性余弦函数余弦函数cos ,yx xR在在每一个每一个闭区间闭区间2,2,kkkZ上，从上，从 增大到增大到 ，是，是增函数增函数.11在每一个闭区间在每一个闭区间2,2,kkkZ上，从上，从 减小到减小到 ，是，是减函数减函数.1112108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520 xy0112325223252例例1.不求值，利用正、余弦函数的单调性比大小：不求值，利用正、余弦函数的单调性比大小：(1)sin(),sin()75(2)45cos,cos78解解: (1)sinyx在区间在区间,2 2 75 上是增函数，且上是增函数，且因此因此sin()sin()75(2)cosyx在区间在区间0, 4578上是减函数，且上是减函数，且因此因此45coscos78解毕解毕例例2.已知函数已知函数(1)求单调增区间；求单调增区间；( )2sin(2),6f xxxR(2)求求 在在 上的单调减区间