数理方程与特殊函数钟尔杰例题与习题学习教案

1、会计学1数理方程与特殊函数钟尔杰例题数理方程与特殊函数钟尔杰例题(lt)与习与习题题第一页，共16页。 0),3sin(0, 00,0,0002tttxxxxttuxuuutxuau 例例1.分离变量法求解分离变量法求解 波动波动(bdng)方程定解方程定解问题问题 1)sin()sin()cos(),(nnnnxantDantCtxu 3, 13, 0)sin()3sin(20nndnCn 0)sin(0210 dnanDn解解:利用利用(lyng)公式公式)3sin()3cos(),(xattxu 第1页/共16页第二页，共16页。 1)12sin(1214)(kxkkxf 1,0,01,

2、01xx，第2页/共16页第三页，共16页。例例6P.51解解:设设 u(x, t) = v (x, t) + W (x) 代入方程代入方程(fngchng), 可可得得09894 W20, 0 xxWW W = x2利用利用(lyng)叠加原理叠加原理, 得得0,3sin0, 0000 tttxxvxvvv )0,0(94 txvvxxtt 0,3sin, 002020 tttxxuxxuuu )0,0(9894 txuuxxtt 第3页/共16页第四页，共16页。xttxv3sin2cos),( 1)sin()32sin()32cos(),(nnnnxntDntCtxvxnxCnn3sin

3、)sin(1 3, 13, 0nnCn0)sin(321 nnnxnD Dn = 023sin2cos),(xxtWvtxu 第4页/共16页第五页，共16页。热传导方程热传导方程(fngchng)第一类边界第一类边界方程方程(fngchng)的的Fourier解解 1)(sin),(2ntnannxeBtxuxxnxBnn3sin2sinsin1 B1 = 1, B3 = 2, Bn = 0 )3, 1( nxexetxutata3sin2sin),(22)3( 0, 03sin2sin)0,0(002 xxtxxtuuxxutxuau初始条件初始条件 第5页/共16页第六页，共16页。习题

4、习题(xt)3.1第第1题题(1)(, 00, 0000 xLxuuuutttLxx )0,0(2 tLxuauxxtt解解: 固有固有(gyu)值问题值问题 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有值固有值2)(Lnn 固有函数固有函数xLnXn sin n = 1,2, 1)sin()sin()cos(),(nnnxLnatLnDatLnCtxu 利用利用(lyng)初初值条件值条件0)sin(1 nnxLnC 第6页/共16页第七页，共16页。)()sin(1xLxxLnDLannn Cn = 0 LnxdxLnxLxLDLan0sin)(2 LLxdxLnxLnLxdxLnxLx

5、00cos)2(sin)( 1cos)(2sin)(2302 nnLxdxLnnLL)1(1 )(443nnnaLD 所以所以(suy) 1443sinsin)1(1 4),(nnxLntLannaLtxu 第7页/共16页第八页，共16页。习题习题(xt)3.2第第1题题)(0, 000 xLxuuutLxx )0,0(2 tLxuauxxt解解: 固有固有(gyu)值问值问题题 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有值固有值2)(Lnn 固有函数固有函数xLnXn sin n = 1,2, 1)sin()exp(),(nnxLnatLnAtxu 利用利用(lyng)初初值条件值条件

6、)()sin(1xLxxLnAnn 第8页/共16页第九页，共16页。 LnnnLxdxLnxLxLA0332)1(1 4sin)(2 1332)sin()exp()1(1 4),(nnxLnatLnnLtxu 第9页/共16页第十页，共16页。固有值问题固有值问题I 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX xLnBxXnn sin)( 222Lnn 第10页/共16页第十一页，共16页。 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有固有(gyu)值问题值问题II2224)12(Lnn xLnBxXnn2)12(sin)( 第11页/共16页第十二页，共16页。 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有固有(gyu)值值问题问题III2224)12(Lnn xLnAxXnn2)12(cos)( 第12页/共16页第十三页，共16页。 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 固有固有(gyu)值值问题问题IVxLnAxXnn cos)( 222Lnn 第13页/共16页第十四页，共16页。 0 , 0)0(0, 0LxhXXXLxXX 固有固有(gyu)值值问题问题V通解通解:xBxAxX sincos)( X(0)=0A=00 LxhXXxBX sin 0sincos LhL hL tanLhvv tan令令Lv vy2 Lvkk kvkk )21(k =