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1、第四章第四章 平面平面( )和空间和空间( )中的向量中的向量 4.1 向量的类型向量的类型 4.2 平面和空间中的向量运算平面和空间中的向量运算 4.3 平面和空间的向量空间平面和空间的向量空间 4.4 欠定方程在欠定方程在 和和 中的解空间中的解空间 4.5 平面上的线性变换平面上的线性变换 4.6 应用实例应用实例 4.7 习题习题2R3R2R3R4.1 向量的类型向量的类型物理向量物理向量：向量这个术语起源于物理，用以表示既有大小又有方向的物理量，如力，位移和速度等。那些只需用一个实数来表示的物理量，如温度、压力和质量等就称为标量。广义地说，向量要用两个或两个以上的实数组成的数组来表示

2、其特征，比如它的大小和方向。几何向量几何向量：把平面上的物理向量的箭尾A的坐标值取为( , )，而把箭头所处的点B的坐标值取为( , )，联接A点到B点的箭头就称为几何向量几何向量。用下式表示： A称为向量的起点，而B称为向量的终点。这样的几何向量，要用 , , , 四个实数才能表示。把向量的箭尾A移到原点，这时的向量作用线通过了原点，称为位置向位置向量量。vAB 1a2a1b2b1a2a1b2b 图4.1 向量和位置向量代数向量代数向量：把平面中的几何向量v用它在x和y 两个方向的分量 和 来表示，写成表示式： 这就是平面中的向量代数表示方法。粗看起来，它与几何向量的表示法没有太大的差别，但

3、到了三维以上，几何向量将失去意义，而代数向量可以无限地扩展，从而满足工程和经济模型分析的需要。从几何到代数，也就是从三维向高维抽象的线性代数方法论。1122xyvbavbavxvyv例4.1 设要求画出这两个向量的图形。解解：u和v都是二维空间的列向量。可以用平面坐标系中的两个点，或从坐标原点引向这两点的箭头来表示。用手工画是很容易的，也可以用MATLAB程序来画，得到的图形见图4.2。 112223,41uvuv uv例4.1的MATLAB画图程序，可表示为程序ea401：u=2;4; v=3;-1;plot(2,3,4,1,x);hold on% 用x号画出两个点% 若装有ATLAST中的

4、子程序drawvec，可画向量如下drawvec(u);hold on% 画出向量udrawvec(v,g);hold off,grid on% 画出向量v图4.2 二维空间中的向量4.2 平面和空间平面和空间( )中的向量运算中的向量运算4.2.1 向量的加减向量的加减则 图4.3 向量的相加和相减 1122,uvuvuv1122uvuvu + v，1122uvuvuv23RR和4.2.2 向量的数乘向量的数乘 用代数方法表示，设乘数为标量，便有若 则 在直角坐标系中，向量的几何长度表示为 经过数乘后的向量几何长度也为原几何长度的数乘：123,aaaa123,aaaa222123aaaa22

5、2122()()()aaaaa4.2.3 向量与向量的数量积向量与向量的数量积 两向量u和v的数量积定义为 其中为两个向量之间的夹角，见图4.5。图4.5 向量数量积的三角关系cosu vuvv u 为了找到对应的代数关系，将BC两点联接起来，得到图4.5。运用余弦定理，可以列出： 移项后，得到 由此可见 。这个乘积的也称为内积，用表示。用列矩阵表示向量u和v，则可以写成 （4-1） 2222cosuvuvuv222222222121211221 12 21cos21()()2uuvvuvuvu vu vuvuvuv1 122u vu vu v11 12 2122vu vu vu uvTu v

6、u vu v 向量的数量积有如下特性，读者可自行证明： 1) 2) 3) 4) 利用向量的数量积的关系，可以得出以下的几个重要结果： 1)向量的几何长度（今后称范数）：u u0u vv u()()ccuvu v()uvwu vu wvvvvvvT,)(232221vvvnorm2)两向量u, v之间的夹角： （4-2） 3)由于-1cos1, 则 ， 这个式子称为Cauchy-Schwarz不等式。 4)两向量u, v垂直垂直的条件为： ，即 5)范数为1的向量称为单位向量，向量v的单位向量为 cosTTTuvu vuvu uv vu vuvcos0,0Tu vu v()n o r mvvuv

7、v4.2.4 向量与向量的向量积向量与向量的向量积 向量积的定义：的定义：两向量u, v的叉乘是一个新向量z，它的方向与u, v正交，按右手法则确定它的方向，即令右手食指沿u，弯曲的中指指v，则拇指指z的方向。其大小为： 它的几何意义非常明显，是两个向量构成的平行四边形的面积，图4.6中的h就是 sinzuvuvsinh v图4.6 向量积的三角关系 对于三维空间的向量u和v，叉乘如下： 向量积有如下的代数特性，读者可自行证明：112233,uvuvuvuv2 33 23 11 31 22 1u vu vu vu vu vu vuv1) 2)3)4) 称为向量的混合乘积，它是一个标量。 (4-

8、3) uvv uu u0()()()cccuvuvuv()uvwuvuw()wuvw z2 33 21231233 11 31231 22 112312 33 223 11 331 22 1()()()()u vu vw w ww w wu vuvu u uuvu vv v vw u vu vw u vuvw uvu vTw u vwz图4.8 空间向量组成平行六面体 由图4.8不难看出它的几何意义。 两向量x, y点乘的MATLAB命令为f=dot(x,y)，两向量x, y叉乘的MATLAB命令为z=cross(x,y)。这两个命令在线性代数中不太用，不作深入介绍 4.3 平面和空间（平面和

9、空间（ ）的向量空间）的向量空间 4.3.1 平面和空间向量的线性相关性平面和空间向量的线性相关性 例4.2 取例4.1中的u和v，设平面上的向量w1.5u2v，则可求得 可见，u和v经过数乘和加法运算的合成向量w仍然在原来的二维空间之内。向量经过加法和数乘仍在原 空间内的特性称为对加法和数乘的封闭性，u和v所有线性组合构成的向量w的集合W也称为u和v张成张成(Span)的线性空间。 2391.52414 w23RR和2R图4.9 向量u,v线性组合成向量w 可以提出一个反问题，平面上的任何一点 ; 是不是一定能用u和v的线性组合来实现？即是否一定能找到一组常数 , ，使得11222341wc

10、cw 1w2w1c2c 要回答这个问题，只要解这个二元方程组就行了。把它写成矩阵形式，有： 其中，系数矩阵A=u, v，由于det (u, v)不为零， 和 是肯定可以求出的。但并非任何u和v都能达到这个要求。 11222341cwcwAc = w2c1c 比如我们将v改为 此时u和v向量的各元素成比例关系， 几何上看这两个向量是共线的，不管如何把它们乘以什么实系数并相加，合成的向量只能在一直线上，不可能覆盖整个二维平面。这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关线性相关的。12v2 1det()det04 2u,v 例例4.34.3 设三维空间 中的三个列向量 , 和 ，试判断它们是否线性相关

11、？ 解：如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果它们线性相关，那么它们的线性组合将只能构成一个平面，甚至一根直线。判断三个向量的线性相关性的方法是利用向量组 , , 的行列式。 1331 ,1 ,1 ,230123vvv3R1v2v3v1v2v3v图4.10 向量 , , 线性相关（共面） 如果这三个向量线性相关，则det(A)就等于零，说明这三个向量是线性相关的，它们必定处于同一平面上。它们的线性组合仍在这个平面上，不可能张成三维空间。在空间画出这些向量和这个平面，得到图4.10 。 -202012024xyzv1v2v31 3 -3 1 1 1 2

12、 3 0D123v ,v ,v3v1v2v4.3.2 平面和空间向量张成的空间平面和空间向量张成的空间 由向量组张成的空间称为向量空间向量空间。所谓张成，是把这些向量组中的向量进行线性组合，这样得到的集合，就是向量空向量空间间，也称为线性空间线性空间。下面举例子来说明。 （1）例4.1中所示的u和v，它们的线性组合为 ，当和取所有可能的实数时，得到的w可以是该x-y平面上的任何位置，因而w的集合W，就是整个x-y平面，是一个向量空间，可以表为W=Span(u,v) wuv （2）在例4.2中，若将v改为 则 在和取所有可能的实数时，得 到的w是该xy平面上的一根无限直 线，这根直线就是一个向量

13、空间。 这根无限直线是原来向量平面的一 部分，所以称为二维向量空间的一 个子空间子空间。因为u和v两个向量是共 线的，也就是线性相关的，它们图4.11 二维向量 张成的平面就退化为直线，成了一空间的子空间 维的空间，如图4.11。 12vwuv4.3.3 中的子空间中的子空间图4.12 向量u,v,w张成的子空间，秩为2（左），秩为1（右） 作为向量空间的平面，是三维空间的一部分，所以也称为三维空间的一个子空间子空间。图4.12左边的子图表述了u, v, w共面时张成的子空间。 当三个基本向量共线时，它们的线性组合都在一条通过原点的空间直线上，如图4.12右图。该直线上的向量仍然满足对加法和数

14、乘的封闭性，是三维空间的子空间 23RR和4.4 欠定方程在欠定方程在 中的解空中的解空间间 例4.4 解下列方程组，说明其解的特性。 解：将此方程的系数增广矩阵化为行阶梯形,得到： 它等价于下列方程组： 123123123 8 +8 +24 =16 -9 +9 +9 = 0 -19 +23 +27 =4 xxxxxxxxx 1 0 1 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0U132311 2xxxx 23RR和 其中 可任意取值，令 ，上述方程可写成： 这个解称为x的通解。可以把看成两部分，其中 为原方程组的一个特解， 则为此欠定方程的一个基础解。在上面所得的行最简形U0中，把最后一列全取为

15、零，就得到 ，由此可知，基础解是令原方程中的常数项为零所得的齐次方程的解。 3x3xc 121112xccx x 可以画出此方程的通解 和基础解集合 的图形。如图4.13所示， 是通过原点的无限长直线，所以它是向量空间。通解 也是一条无限长直线，但因没有包括原点在内，所以它不构成向量空间。图4.13 例4.4的特解和通解cx = cbxcbxcx = 4.5 平面平面( 空间空间)上的线性变换上的线性变换4.5.1 平面上线性变换的几何意义平面上线性变换的几何意义 例4.5 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点为（0，0），（1，0），（1，1），（0，1）。写成 把不同的A矩

16、阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果。假定A是22矩阵： 01100011x2R1）设 2）设 3）设 4）设 5）设t/6， 10 0 1 1 0,01 0 0 1 1A1y1则 2 0 0 2.0 2.0 0, 00.5 0 0 0.5 0.5A2y2则 1 2 0 1.0 1.0 0, 2 2 0 0 0.2 0.2A3y3则 1.0 0.5 0 1 3 2, 0 1.0 0 2 4 2A4y4则 cos t sin t 0 0.8660 0.3660 0.5000, sin t cos t 0 0.5000 1.3660 0.8660A 5y5则 这些矩阵的每一列代表平面上一点的横

17、纵坐标，四列就代表四个点。把第一数据增补到第五列作为第五点，把这些点顺序连以直线，就得到相应的四边形。用六个图分别绘制出数据矩阵 , , , , 和 的图形，就可以得到图4.14的图形。 图4.14 对单元方格进行几种线性变换后生成的图形1y2y3y4y5yx 可以看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵A2使原图在横轴方向膨胀并在纵轴方向压缩；矩阵A3使原图在左下至右上伸长而在其垂直方向压缩；矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵A5使原图沿反时针方向旋转tpi/6。总之，线性变换把原来空间的图形在各个方向以不同的比例放大或缩小。要注意，在x平面中的直线，变换到y平面中后，仍然是一根直线，但是其

18、范数和方向都可能发生变化。 例4.5所用的MATLAB程序ea405的部分语句x=0,1,1,0;0,0,1,1;subplot(2,3,1),fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)axis equal,axis(-1.5,1.5,-1,2),grid onA1=-1,0;0,1,y1A1*xsubplot(2,3,2),fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g). MATLAB还提供了一个平面线性变换的演示函数eigshow。分别键入eigshow(A2)eigshow(A3)，它显示不同x的经线性变换Ax后生成的y。x取单位向量，用鼠标可以拖动它转动，形成的轨迹是单

19、位园。同时画出Ax的向量，形成的轨迹如图4.15。 图4.15 矩阵A的特征向量和特征值演示（左图A A2，右图AA3）4.5.2 二维矩阵特征值的计算方法二维矩阵特征值的计算方法 在特征点处，有 ，即 （4-1） 要使这个矩阵方程有非零解，它的系数行列式必须为零，即 。 若 则有 （4-2） 解这个二次方程求出两个解 ，即有两个特征值。将算出的特征值代回到(4-1)求x，这是一个系数行列式为零的齐次方程，所以就归结为求欠定方程基础解系。Ax= xAxxAI x = 0AI = 011122122,aaaaA11121122122121220aaaaa aaaAI= 以A2为例，其 ，代入（4

20、-2）得 其解为 。然后代入(4-1)，得 和 111221222,0,0,0.5aaaa22112211 2212 212.51 0aaa aa a 120.5,21121.5 0000 xx AIx112001xx 解为取任意12200001.5xx AIx122100 xx 任意解为取 由此得到特征值和特征向量的矩阵形式： 特征值和特征向量的计算步骤：展开行列式；求多项式的根；将根代入原矩阵方程，求此方程的归一化解。 0.5 0 0 1 ,02.0 1 02p24.5.3 特征值和特征向量的几何意义特征值和特征向量的几何意义 一个变换作用于某图形所造成的新图形的面积变化，取决于该变换的行

21、列式。可以看出，A1，A2，A4和A5的行列式绝对值都是1，所以它们不会使变换后图形的面积发生改变。而A3的行列式为 -2，变换后图形面积的增加倍数恰好与其绝对值相对应。特征值则表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。 例例4.6 数据矩阵 表示英文大写字母N图形的各个节点，要 求： （1）画出其形状； （2）取 作为变换矩阵求出 的数据，并画出其图形； （3）对结果进行讨论。 0 0.50 0.50 6.00 6.00 5.50 5.50 0 0 0 6.42 0 8.00 8.00 1.58 8.00 x10.2501Ay = Ax 解：（1）本题画图的要点是要在给定的数据右方，补上

22、第一点的坐标，使画出的图形封闭。 （2）作矩阵乘法，得 （3）画出数据矩阵y代表的图形其方法同画x，也要补上第一点坐标。 0 0.5 2.1 6 8 7.5 5.9 2 0 0 6 0 8 8 1.6 8 y = Ax 程序运行后生成的图形见图4.16。 图4.16 例4.6生成的N字符图形 实现这个运算和绘图的MATLAB程序ea406如下： x0=0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,， 6.4,0,8,8,1.6,8; x=x0,x0(:,1); % 把首顶点坐标补到末顶点后 A=1,0.25;0,1; y=A*x; subplot(1,2,1),plot(x(1,:)

23、,x(2,:) subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)4.5.4 用三维向量表示刚体平面运动齐次坐标系 把二维向量变换为三维向量，即把平面上的向量变换成为空间向量，这在某些情况下是很有用的。比如刚体在平面上的运动要用两个平移和一个转动来描述，转动可以从上面的线性变换A5得到，但平移y xc 却不是一个线性变换。因为： 1）设 , ;则它们的和为 可见，它对加法不封闭； aay =x +cbby =x +caabby = y +y = x +x2cx+c2）设 ,将它乘以常数k， 可见，它对乘法也不封闭；就是说，这不符合线性变换的规则，x和y不属于同一个向量空间，无法

24、用矩阵乘法来实现平移变换y x c。 为了把刚体的运动完全用线性变换来描述，人们用增加空间维数的方法，把平面问题放到三维的空间来建立方程，这就可能把x和y由扩展了的向量空间来涵盖。 aay =x +ckkkkkaaay = y = x + cx +c = x+c 这样的坐标系称为齐次坐标系。在这个坐标系中，可以把平移矩阵写成：于是 121xxx121001001ccM11221xcxc y = M x = 对象若同时有旋转和平移，则可以分别列出旋转矩阵和平移矩阵。不过此时的旋转矩阵也要改为33维，这可以把上述A5中增加第三行和第三列，置A(3,3)1，其余新增元素为零。 这就是既包括平移，又包

25、括转动的平面齐次坐标系内的变换矩阵。 12 cos t sin tc sin t cos tc,001A54.6 应用实例应用实例4.6.1 化学方程的配平化学方程的配平 138223242( )()( )()x C Hx Ox COx H O382223010: 8 ,: 0 ,: 0 ,: 20221C HOCOH O 要使方程配平， , , , 必须满足： 将所有项移到左端，并写成矩阵相乘的形式，就有： 1234301080020221xxxx 12343010080020002210 xxxx Ax1x2x3x4x对矩阵A进行行阶梯变换，键入程序ea471：A3,0,1,0;8,0,0

26、,2;0,2,2,1U0rref(A)得到注意四个列对应于四个变量的系数，有 1.0000 0 0 0.25000 0 1.0000 0 1.2500 0 0 1.0000 0.7500U142434 0.2500 x0 1.2500 x0 0.7500 x0 x xx 此处可取 ，则 , , ,均有整数解， ， ， 。因而配平后的化学方程为： 对于比较复杂的反应过程，为了便于得到最小整数的解，在解化学配平的线性方程组时，应该在MATLAB中先规定取有理分式格式。即先键入format rat，然后键入ea471，结果为： 38222C H5O3CO4H O44x 1x2x3x11x 25x 3

27、3x 把最简行阶梯形矩阵恢复为方程，就很容易看出应令 ，其余变量的整数取值就一目了然了。 142434/4 1 0 0 1/4 0 0 1 0 5/4 5/4 0 0 1 3/4 3/4xxUxxxx44x 4.6.2 减肥配方的实现减肥配方的实现营养每100g食物所含营养 （g） 减肥所要求的每日营养量 脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白质 36511333碳水化合物 52347445脂肪 071.13 设脱脂牛奶的用量为 个单位（100g），大豆面粉的用量为 个单位，乳清的用量为 个单位，表中的三个营养成分列向量为： 则它们的组合所具有的营养为 36511352 ,34 ,74,071.1121aaa123123365113523474071.1xxxxxx123aaa1x2x3x 使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程： 用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序ea472如下： A36,51,13;52,34,74;0,7