第五次、三重积分概念和计算1

1、三重积分概念与计算11、三重积分定义；2、三重积分计算；3、小结、思考题 。一、三重积分的定义一、三重积分的定义:即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果三重积记为三重积记为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中dxdydz.iiiivxyz 则x0z yabcdz=gz=eNMPzyxzyxfIddd ),( =a ,b ; c ,d ; e ,gI =

2、 gezzyxfd),(积分区域是长方体积分区域是长方体. D同理，也有其同理，也有其它它 积分顺序积分顺序. Dyxdd gedcbazzyxfyxd),(dd1.1. x0z yz2(x,y) 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体I = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf DyxddPNM.积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 Dz1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( x0z yz2(x,y)I =D积分区域是曲顶柱体积分区域是曲顶柱体 为图示曲顶柱体为图示曲顶柱体z1(x,y)2.2.zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yxzyxzzzyxf Dyxdd这种

3、计算方法叫投影法这种计算方法叫投影法（先一后二法）（先一后二法） 注意注意1:zS这种累次积分是平行于轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面相交不多于两点情形注意注意2： P161 三重积分的累次积分的积分次序除了先对z、后对y、再对x外，还有其他次序。累次积分次序的选择要考虑几何体的形状和被积函数的特性（主要是几何体的形状，即往哪个坐标面投影利于解题）。一般的，若给定积分次序时： 1、积分次序为 zyx； 投影到xoy面； 2、积分次序为 yzx； 投影到xoz面； 3、积分次序为 xy z； 投影到yoz面。z =0y = 0 x =00y x ：平面平面 x= 0, y = 0 ,

4、z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域所围成的区域 . 先画图先画图x0z y1121Dxy 是是曲曲顶顶柱柱体体 Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 围成围成：上顶上顶yxz21 ：下底下底z = 0121 yxxzyxx21021 010ddd481 .3.3.计算三重积分计算三重积分x + 2y + z =1DxyzyxxIddd yxDzxyxxy210dddI =x+2y =1 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.0y x6241 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域

5、 .2 画出投影区域图画出投影区域图.Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 围成围成.yxz 6z = 0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd. 是是曲曲顶顶柱柱体体 ：上顶上顶：下底下底4.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算666x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.6

6、66x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.666x+y+z=63x+y=62.4.x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+

7、2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.4.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.z = 0y = 042x+y+z=6.4.x0z y666zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.42.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x

8、+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域.4.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.0y x 2 xy 1 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图画出投影区域图不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy:xz 2 z = 0 xDzz , y,xfyxIxy2 0)d(dd xxzzyxfyx2 002 0d),(dd围围成成 2 , 0 , xyxy。Dxy当当 f (x,y,z)= ycos(

9、z+ x), I = ?21162 。是曲顶柱体是曲顶柱体 ：上顶上顶：下底下底 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : 5.I =试计算：试计算：？zyxz , y,xfIddd )( 计计算算y2=xxyzo.5. 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 zx2 2 2 y2=xxyzo.5. 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算z = 0y=0 2

10、2 xyzo zzyxfyxIxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x.5. 所所围围成成的的区区域域。与与平平面面抛抛物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算D 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzDxy:xyz 围围成成 yx,y,xz =00y x11 xyDzz , y,xfyxIxy 0)d(dd xyxzzyxfyx 01 01 0d),(dd。Dxy：上顶上顶：下底下底是曲顶柱体是曲顶柱体 6.6.双曲抛物面双曲抛物面zyxz , y,xfIdd

11、d )( 计计算算1x+ y=1yozx1z=xy.6.6. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算z =01x+ y=1ozx1yz=xy.6.6. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy.6.6. 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算解解: 由由 22222xzyxz, 得得交交

12、线线投投影影区区域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,22222112112( , , ).xxxxyIdxdyf x y z dz x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2z Dz8. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）截面法截面法 zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 .8. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz截面法截面法x0z

13、y zyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(8. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz截面法截面法x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c28. 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）. I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(截面法截面法x0z yz21( , , )( , , )ccDf x y z dxdydz

14、dzf x y z dxdy12( , , )|( , ),zx y zx yD czc zD设空间有界闭区域设空间有界闭区域 ，其中，其中 是竖标为是竖标为 Z的平面截闭区域的平面截闭区域 得到的得到的平面闭区域。平面闭区域。则有则有“先二后一公先二后一公式式”解解（一一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111zyxzIddd2

15、 所所围围成成的的闭闭区区域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyaxx0yzbc10. 例例 计算计算aD0 2222221)(czbyax,czc|z ,y,x cczz d2 zDyxddzyxzIddd2 Dz 所所围围成成的的闭闭区区域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd)1(222.3154abc =.10. 例例 计算计算x0yzD0a1)1()1(22222222 czbyczax. 2222221)(czbyax,czc|z ,y,xz三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分的两种形式）（计算时将三重积分化为三次积分的两种形式）三、小结思考题思考题选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;)