第四章刚体的定轴转动

1、第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、刚体的基本运动一、刚体的基本运动平动：平动：刚体：刚体：说明：说明：刚体的平动：用质点的运动处理。刚体的平动：用质点的运动处理。定轴定轴 转动：转动：转动：转动：一般刚体的运动：一般刚体的运动：二、刚体转动的角速度、角加速度二、刚体转动的角速度、角加速度线速度与角速度之间的关系：线速度与角速度之间的关系：由右手螺旋法则确定：由右手螺旋法则确定：右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度即为角速度 的方向。的方向。 注意：注意：在刚体作匀加速转动在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：

2、时，相应公式如下：2 212020200ttt刚体运动学中所用刚体运动学中所用的角量关系及角量的角量关系及角量和线量的关系如左和线量的关系如左222 rararvdtddtddtdnt角加速度矢量：角加速度矢量：图为以角速度图为以角速度 绕定轴绕定轴ozoz转转动的一根均匀细棒。动的一根均匀细棒。当细棒以当细棒以 转动时，第转动时，第i i个质点绕轴的半径为个质点绕轴的半径为ir它相对于它相对于o o点的位矢为点的位矢为iRziRLimiLizLOir一、一、 刚体的角动量刚体的角动量4-24-2刚体的角动量刚体的角动量 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量把细棒分成许多质点，其中把细棒分成许多

3、质点，其中第第i i个质点的质量为个质点的质量为 im把细棒分成许多质点，其中把细棒分成许多质点，其中第第i i个质点的质量为个质点的质量为 imiiiivmRL因因iiRv，所以，所以 的大小为的大小为iLiiiivRmL方向如图所示。方向如图所示。则则 对对o o点的角动量为：点的角动量为：imziRLimiLizLOir从图中可以看出：从图中可以看出：cosiizLL因此因此2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL 而这个分量而这个分量L Lz z实际上就是各质点的角动量沿实际上就是各质点的角动量沿OZOZ轴的分轴的分量量L Liz iz之和。之和。对于定轴转动，我们感兴趣

4、的只是对于定轴转动，我们感兴趣的只是L L对沿对沿OZOZ轴的分量轴的分量L LZ Z，叫，叫做刚体绕定轴转动的角动量。做刚体绕定轴转动的角动量。刚体对刚体对OO点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。ziRLimiLizLOir刚体转动惯量：刚体转动惯量：2iirmJ刚体绕定轴的角动量表达式：刚体绕定轴的角动量表达式：JLz 式中式中 叫做刚体对叫做刚体对 轴的转动惯量，用轴的转动惯量，用J J表示。表示。2iirmOz2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL221iikivmE 则该质点的动能为：则该质点的动能为： 刚体的转动动能应该是

5、组成刚体的各个质点的动能之和。刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第设刚体中第i i个质点的质量为个质点的质量为 , ,速度为速度为imiv 刚体做定轴转动时，各质点的角速度刚体做定轴转动时，各质点的角速度 相同。相同。设质点设质点 离轴的垂直距离为离轴的垂直距离为 ，则它的线速度，则它的线速度imir二、二、 刚体的转动动能刚体的转动动能iirv221 JEk 上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。转动动能。 式中式中 是刚体对转轴的转动惯量是刚体对转轴的转动惯量 ，所以上式写为，所以上式写为2ii

6、rmJ因此整个刚体的动能因此整个刚体的动能 2222121 iiiikikrmvmEEiirvmrJd2dm质元的质量质元的质量r质元到转轴的距离质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式写成积分形式按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有iimrJ2三、三、 转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量是转动中惯性大小的量度。转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。区别：区别：平动：平动： 平动动能平动动能 221mv线动量线动量mv转动：转动： 转动动能转动动能 221J角动量角动量J

7、例题例题 求质量为求质量为mm、长为、长为 l l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：惯量：（1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h h的一点并和棒垂直。的一点并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABhllOxdxlOxdxAlxdxAABh解解 如图所示，在棒上离轴如图所示，在棒上离轴x x 处，取一长度元处，取一长度元d dx x，如棒的质量，如棒的质量线密度为线密度为 ，这长度元的质量为，这长度元的质量

8、为d dmm= d dx x。 （1 1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有1232/2/220lxxmrJlldd20121mlJ 因因 l=ml=m，代入得，代入得（2 2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A A并和棒垂直时，我们有并和棒垂直时，我们有332302mlldxxJlAlxdxA（3 3）当转轴通过棒上距中心为）当转轴通过棒上距中心为h h 的的B B点并和棒垂直时，有点并和棒垂直时，有222/2/212mhmldxxJhlhlB这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。

9、不相同。lOxdxABh例题例题 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为设圆盘的半径为R R，质量为，质量为mm，密度均匀。，密度均匀。rRdr解解 设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为 ，在圆盘上取一半径为，在圆盘上取一半径为r r、宽度为、宽度为drdr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 2 rdrrdr，环的质量，环的质量dm= dm= 2 2 rdr rdr 。可得：可得：240322122mRRdrrdmrJR 四、平行轴定理四、平行轴定理以质心以质心drrMNdOr rOdmCxyzmd

10、mrJ2mdmdr2)(mmmdmdrdmddmr222mCdmrdmdJ22mmdmj yi xmdmrm)(1102mdJJC-平行轴定理平行轴定理jydmmixdmmmm11MNdOr rOdmCxyz平行轴定理平行轴定理JmCJdC2mdJJC 例：例：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？如何计算？( (棒长为棒长为l l、圆半径为圆半径为R R）2lllm31J1 2ooRm21J 200ldmJJ2 2o2o2lR)(lmRm21lm31J 例：例：再以绕长为再以绕长为 l l、质量为、质量为 m m 的匀质细杆，绕

11、细杆一端轴转的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理计算转动惯量动为例，利用平行轴定理计算转动惯量 I I 。解：解：2121mlJC 222lmml121J 2ml31 一、力矩一、力矩1) 1) 力对固定点的矩力对固定点的矩FrM 这种情况相当于质点绕固定点这种情况相当于质点绕固定点OO转动的情形。转动的情形。2) 2) 力对固定轴的矩力对固定轴的矩（1 1）力垂直于转轴）力垂直于转轴OPdrrFM4-3 4-3 力矩力矩 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律（2 2）力与转轴不垂直）力与转轴不垂直FF转轴转轴o rzF转动平面转动平面 可以把力分解为平行于转轴可以把力分解为平行于转轴

12、的分量和垂直于转轴的分量。的分量和垂直于转轴的分量。 平行转轴的力不产生转动效果，平行转轴的力不产生转动效果，该力对转轴的力矩为零。该力对转轴的力矩为零。 FrM大小：大小：sinrFMa)a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为0 0；b)b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；同一个力对不同的转轴的矩不一样；c) c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交点当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交点OO的矩等值。但不能说完全相同的矩等值。但不能说完全相同。d)d)在定轴转动中在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上，它，如果有几

13、个外力同时作用在刚体上，它们的作用可以与某一个力矩相当们的作用可以与某一个力矩相当, ,这个力矩叫做这几个力的这个力矩叫做这几个力的合力矩合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。说明：说明：二、定轴转动的转动定律二、定轴转动的转动定律imiFiFirFififoz),(取刚体内任一质元取刚体内任一质元i i，它所受合外力为，它所受合外力为 ， 内力为内力为 。iFif 只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。ii

14、iiamfF 对对 mmi i用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：iniininamfF : :法向法向 法向力作用线通过转轴，力矩为零。法向力作用线通过转轴，力矩为零。 iiiiamfF : :切向切向两边乘以两边乘以r ri i , ,有：有：iiiiiiiramrfrF 2iiiiiiiiirmramrfrF对所有质元的同样的式子求和，有：对所有质元的同样的式子求和，有： iira 合外力矩 内力矩之和 J 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用

15、下所获得的角加速度的乘积。速度的乘积。用用MM表示表示F Fit it r ri i （合外力矩）合外力矩），有：，有： JM注意几点注意几点: :1. 1. 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。2. M2. M、J J、 是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。4. 4. 转动惯量转动惯量J J是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯性大小的量度。5.5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。3. 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。例例 一个质量为、半径为的定滑轮（当一个质量为、半径

16、为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。度。mg解解：R Ra a m ma aT Tm mg g : :对对m m2 2M MR R2 21 1J J T TR RJ JM M对对M M：g g2 2M Mm mm m解解方方程程得得：a aM M2 2m m4 4m mg gh hR R1 1R Rv v M M2 2m m4 4m mg

17、gh h2 2a ah hv v 例例 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为小圆盘的半径为r r，质量为，质量为mm；大圆盘的半径；大圆盘的半径r r =2r=2r，质量，质量mm = 2m= 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴平固定轴o o转动，对转动，对o o轴的转动惯量轴的转动惯量J=9mrJ=9mr2 2/2 /2 。两圆盘边。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为mm的物体的物体A A和和B

18、B，这一系统从静止开始运动，这一系统从静止开始运动, ,绳与盘无相对滑动且长绳与盘无相对滑动且长度不变。已知度不变。已知r =10cm r =10cm 。 求：求：（1 1）组合轮的角加速度；）组合轮的角加速度； （2 2）当物体上升）当物体上升h=0.4mh=0.4m时，组合轮的角速度。时，组合轮的角速度。 ra 23 .10)19(2 sradrg : :解得解得rh : :则则为为组组合合轮轮转转过过的的角角度度, ,设设( (2 2) )121208. 9)2(2 sradrh 解解: : (1)(1)aTTTTa mgmgrm,rm,ABo29)2(2 mrTrrT )2( ra a

19、mTmgmamgT例例 如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为水平轴转动。已知棒长为l l，质量为，质量为mm，开始时棒处于水平位，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，置。令棒由静止下摆，求：求：（1 1）棒在任意位置时的角加速度；）棒在任意位置时的角加速度； （2 2） 角为角为30300 0，90900 0时的角速度。时的角速度。doccmgN矩矩棒在任意位置时的重力棒在任意位置时的重力(1)(1): :解解 cos23312lgmlJM dtdmlmg231cos21)2( 003cos2dldg分离变量积

20、分分离变量积分lg)sin3(lglg3,9023,3000cos2lmgM ddmldtdddml223131一、力矩的功一、力矩的功根据功的定义根据功的定义对一有限过程对一有限过程21dMArFAdcosdd rFdrFdMOrFrdd.P r说明说明1) 1) 合力矩的功合力矩的功 iiiiiiAMMMA212121d)d(d4-4 4-4 转动中的功和能转动中的功和能二、转动动能定理二、转动动能定理kEJd)21d(2ddMA d)ddd(JtJ2121)21d(d2JAA21222121JJkE刚体上所有外力矩作功之和等于绕定轴转动刚体在此过刚体上所有外力矩作功之和等于绕定轴转动刚体

21、在此过程中动能的增量，这就是程中动能的增量，这就是绕定轴转动刚体动能定理绕定轴转动刚体动能定理2) 2) 力矩的功本质上就是力的功力矩的功本质上就是力的功3) 3) 内力矩作功之和为零内力矩作功之和为零例例 一根长为一根长为 l , l ,质量为质量为 m m 的均匀细直棒的均匀细直棒, ,可绕轴可绕轴 O O 在竖直平在竖直平面内转动面内转动, ,初始时它在水平位置，求它由此下摆初始时它在水平位置，求它由此下摆 角时的角时的 解解00dcos2dmglMA0212JEksin21mglOM,lCxgmlgsin322/1)sin3(lgkEA 三、刚体的重力势能三、刚体的重力势能hhihcx

22、OmCm一个质元：一个质元：整个刚体：整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。量都集中在质心时所具有的势能。 对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程中只有保守如果在运动过程中只有保守内力作功内力作功, ,则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。常量 cmghJE221 iiiPhgmE重ciiimghhmg)(iiPighmE一一、刚体的角动量定理、刚体的角动量定理冲量矩（角冲量）：冲量矩（角冲量）： 表示合外力矩在表示合外力矩在t t0 0t t 时间内的累积作用。时间内的累积作用。作

23、用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。角动量定理：角动量定理：单位：单位： 牛顿牛顿米米秒秒LddtM 转动定律转动定律dtdJJM dtLddtJdM )( 00 JJLddtMLL tt0 4-5 4-5 对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律J J改变时改变时00JJL二二、角动量守恒定律、角动量守恒定律)(0, 0CJLLMdtLdM .即常量常量则则中，若中，若在在 当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。M=0M=0的原因的原因： 可能可能F F0 0；r=0; r=0; Fr

24、.Fr.应用角动量守恒定律的两种情况：应用角动量守恒定律的两种情况：1 1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。000 则时，当,JJM2 2、转动惯量可变的物体。、转动惯量可变的物体。保持不变就增大，从而减小时，当就减小；增大时，当 JJJ例例 如图所示如图所示, ,一质量为一质量为mm的子弹以水平速度射入一静止悬于的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端顶端长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿出后棒的角速求子弹穿出后棒的角速度度 。已知棒长为。已知棒长为l, l,质量为质量为M.M.解解: :以以f f代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹

25、的阻力, ,对子弹有对子弹有0043mvvvmfdt )(子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为矩为 Jdtflldtfv0vmM0043)(mvvvmfdt Jdtflldtf因因, , 由两式得由两式得ffv0vmM200314943MlJMlmvJlmv 这里 请问请问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ? 为为什么什么? ? 总角动量守恒吗总角动量守恒吗? ? 若守恒若守恒, ,其方程应如何写其方程应如何写? ?200314943MlJMlmvJlmv这里例例 一长为一长为 l =0.40m 的均匀木棒，质量的均匀木棒，质量 M =1.00kg，

26、可绕水平轴可绕水平轴 0在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量垂。现有质量m = 8g 的子弹以的子弹以 v =200ms的速率从的速率从A点点射入棒中假定射入棒中假定A点与点与0点的距离为点的距离为 3l/4，如图。，如图。求：求： （1 1）棒开始运动时的角速度；）棒开始运动时的角速度； （2 2）棒的最大偏转角。）棒的最大偏转角。AOmvl4 3l0.054MJml231+=()43l2vJm=()43lvJm=()43l=0.008200()430.40.054=8.87 rad/s解：解：子弹射入后系统的转动惯量为：子弹射入后系统的转

27、动惯量为：(1)系统角动量守恒系统角动量守恒AOmvl4 3l(2)系统机械能守恒，设最大偏角为系统机械能守恒，设最大偏角为AOmvl4 3lPkEE 由)cos1(43)cos1(2212 lmglMgJ078. 02323cos2 lmgMglJlmgMgl 006.94 求：求：棒从碰撞开始到停止转动所用的时间。棒从碰撞开始到停止转动所用的时间。Amvl1v21m2O 例例 质量为质量为m1 1, ,长度为长度为 l l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕端点系数为的水平桌面上，它可绕端点O转动。另有一水平运动转动。另有一水平运动的质量

28、为的质量为m2 2的小滑块，它与棒的的小滑块，它与棒的A端相碰撞，碰撞前后的速端相碰撞，碰撞前后的速度分别为度分别为 及及 。m m1v2v13=Jm1l2+=Jm vl2 1m vl22=+m v21mvl123()AOmvl1v21m2解：解：由角动量守恒得由角动量守恒得Jm vl21=m vl22棒上棒上dx段与桌面间的摩擦力为：段与桌面间的摩擦力为：gxfmdm1=ld=dMfdx=gxmdm1lxd dx x段所产生摩擦力力矩为：段所产生摩擦力力矩为：M0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvg122()mt摩擦力力矩为：摩擦力力矩为：dM=gxmdm1lx由角动量原理：由角动量原理：M0=ttdMt013m1l2=)=13m1l2+m v21mvl123(.所用的时间为：所用的时间为：例例 质量分别为质量分别为M1、M2,半径分别为半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。二轴平行。R