弹性力学平面问题的有限单元法02

1、讲讲 授：陈得良授：陈得良 TelTel：1332731100813327311008QQQQ：416501065416501065EmailEmail：deliang_deliang_12本章主要内容24.1 弹性力学平面问题4.2弹性力学平面问题基本方程4.3 弹性力学平面问题的三角形单元4.4 弹性力学平面问题的整体分析4.5收敛准则和单元位移函数的选择4.6分析实例 严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为

2、两类： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变，因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。Pxy34.1 弹性力学平面问题(1) 平面应变问题xy 等厚或不等厚平板，具有如下特点：a 长宽尺寸远大于厚度，b载荷只沿板面，且沿厚度均匀分布，因此可以认为沿厚度方向的应力分量等于零。上述两类问题有许多共同特点，合成为弹性力学平面问题。(2) 平面应力问题40,0YyxXyxyxyyxxxvyuyvxuxyyx,xyxyxyyxyyxxEEEE211)1 (2, )(1, )(1222 1.平衡方程2.几何方程对于平面应力问题3.

3、物理方程54.2 弹性力学平面问题基本方程 TxyyxTxyyx, D 2100010112ED DE21E1若令则而称为弹性矩阵，它是一个对称矩阵，它的元素只与弹性常数与有关。换成，把换成对于平面应变问题，须把。 6vvuu,uSYlmXmlxyyyxx,S 在边界上 在边界上应力边界条件4.边界条件7位移边界条件YX ,SYX ,xyyx,*,vuuS*u*vxvyuyvxuxyyx*,UUW 设变形体处于平衡受力状态：体积力为，在自由边界上的表面力为应力为设变形体产生虚位移，在固定边界上的位移及为零，相应的虚应变为 则体积力和表面力在虚位移上作的外力虚功W 恒等于应力在虚应变上作的虚变形

4、功即，。85 弹性体的虚功方程AxyxyyyxxSAdydxtUdstvYuXdydxtYvXuW)(,)()(*WSUdydxtdUxyxyyyxx)(*其中上面三个积分的意义为：中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示中的积分为它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。上的表面力作的虚功。自由边界9mji,分析一个典型三角形单元的力学特性。首先建立以单元结点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元的结点号码 ，其结点的坐标分别 每个结点在其单元内的位移可以有两个，三个结点位移为一 单元的位移模式和形函数104.3 弹性力学平面问题三角形常应变单元(xm, ym)uivi(x

5、i, yi)(xj, yj)ijmxyOujumvjvm),(iiyx),(jjyx),(mmyxijm( ,),(,),(,),ijmu vu vuv记单元的结点位移向量 和结点力向量FTiijjmmuvuvuvTxiyix jy jxmymFFFFFFF (4-1a) (4-1b)yx ,yaxaavyaxaau654321621,aaa 由于单元体也是一个二维的弹性体，单元内各点的位移分量是坐标按此位移模式，单元内各点的位移可以由单元结点位移通过插值来获得。可假定单元内任一点位移是其坐标的线性函数，即式中，是待定常数，它可以确定于下：的函数，在进行有限元分析时，需要假定一个位移模式： (

6、b),mjivuTiii（iivu ,ixy 其中子矩阵 式中，是结点在轴和 (a)轴方向的位移。11mji,),(iiyx),(jjyx),(mmyxmmmmmmjjjjjjiiiiiiyaxaavyaxaauyaxaavyaxaauyaxaavyaxaau654321654321654321ummjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxayuyuyuayxuyxuyxua11121,11121,21321设结点的坐标分别为、将它们代入(b)式得联立解(c)式关于的三个方程，可以求得(c)(d)，12mmjjiiyxyxyx1112其中(4-2)mji,mji,从解析几何知，(4-

7、2)式中的等于三角形为使求得面积的值不致成负值，结点转向，如图所示。的面积，的次序必须是逆时针13mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbau)()()(21)(11,11,mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa),(mjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbav)()()(21将(d)式代入(b)式中的第一式，并稍加整理得其中 (4-3)同理得到(e)(f)14式(e)和式（f）可以看出单元内部位移是由节点位移表示的),(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu ij

8、mufN IN IN INvImjiNNN,N如令位移模式(e)、(f)就可以写成上两式可合并写成矩阵形式如下式中是二阶单位阵；形函数矩阵(4-4)(4-5)(4-6)位移状态，因而称为 ，矩阵 则称为 。是坐标的函数，它们反映单元形函数1516例 1 求图示的三角形单元的形函数三角形单元 xvyuyvxuxyyx有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程(g)二 单元的应变17 00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvcbcbcbuv B求得应变分量，将(e)、(d)两式代入上式即得 或简写成(4-7)(g)18 B mjiBBBB ),(,0021mj

9、ibccbBiiiii Bmjimjicccbbb, B,xyxy其中可写成分块形式而子矩阵公式(4-7)是用结点位移表示单元应变的矩阵方程，矩阵是单元 。由于和所以中的元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，故通常称这种单元为 。(4-9)等都是常量，常应变单元应变矩阵(4-8)19 D DB BDS S S 便可导出以结点位移表示应力的关系式。把(2-7)式代入上式，得到令 则(4-10)式写成这就是应力与结点位移的关系式，其中称为 。(4-10) (h)(4-11)三 单元的应力应力矩阵20在得到应变之后，再利用物理方程称为弹性矩阵S iiiiiiiibccbcbEBDS212

10、1)1 (22对于平面应力问题，的子矩阵可写成(4-13)矩阵 S可写成分块形式 mjimjiSSSBBBDS(4-12),(mji21iiiiiiibccbcbES)1 (221)1 (22111)21)(1 (2)1 (对于平面应变问题(4-14),(mji22 mmjjiiSSS S如果注意到(4-1)式，则(4-11)式可写成从(4-13)、(4-14)式可以看出，个单元中的应力分量也是常量。因而，相邻单元将具有不同的应力和应变。这样，越过公共边界，从一个单元到另一个与它相邻的单元，应力和应变的值都将有突变，但是位移是连续的（参阅下节），常应变单元的这些性质实际上都是由于选取线性的位移

11、模式所造成的。(4-15)中的元素都是常量，所以每23),(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiiyxyxyx1112mjimjixxcyyb11,11上节讨论常应变三角形单元时，曾提出形函数其中mmjjiyxyxa ,坐标轮换ijm24四 形函数的性质jjjiiicbacba,mmmcba,21)(21),(iiiiiiiiycxbayxNmj ,0)(21),(0)(21),(mimiimmijijiijjiycxbayxNycxbayxN由(4-3)式可知，常数和依次式行列式 的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其它行（或

12、列）的元素的代数余子式乘积之和则等于零，从而可以推出形函数的许多性质如下：而在其余两结点上的值25 1 形函数 在在本结点 上的值等于1，在除 以外的其他节点处都等于零iNii(,)0,(,)1,(,)0jiijjjjmmNxyNxyNxy(,)0,(,)0,(,)1miimjjmmmNxyNxyNxy类似地有（参见结构及弹性力学有限元，刘怀恒主编26ycccxbbbaaaycxbaycxbaycxbayxNyxNyxNmjimjimjimmmjjjiiimji)()()(21)(21),(),(),(1),(),(),(yxNyxNyxNmji2 在单元任一点上三个形函数之和等于1根据前述行

13、列式的性质，第一圆括号等于2，而第二、第三圆由此可见，三个形函数中只有二个是独立的。括号都等于零。故有27证明：0),(,),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijiiijijiimmyxxcby)(3 在三角形单元的一边上，例如边上有也就是说，在边上的形函数与第三个顶点的坐标无关。事实上，边的方程到(4-4)式，即可得到上面结果（学生自己证明）代28ijijm将ij边坐标代入形函数即可得到ij0),(),(yxNyxNnm 利用这一性质，很容易证明相邻两个单元的位移，分别进行线性插值之后 ，在公共边是连续的，例如图中单元 和 具有公共边由(f)式在边上29ijmijnij

14、jiNN ,vu ,ji ,式中如(f)式所示，可见在公共边上的位移公共边的两个结点的位移所确定，所示相邻单元的位移是连续完全由jjiijjiivNvNvuNuNu, 不论按照哪个单元来计算，根据(4-5)式公共边上的位移均由下式表示30yyNyNyNxxNxNxNNNNmmjjiimmjjiimji11试证：在三结点三角形单元内的任意一点都有2试证：在三结点三角形单元mji的一边上，例如ji边上有0),(),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijii313求所示三角形的二次插值位移模式。该单元有三个主结点，两个副结点。3233五 单元刚度矩阵（1）单元的应变能 （4-16

15、） （2）单元上外力的势能 12TUd TTTvsAVddA cf pf pF（4-17）式中、分别表示单位体积的体积力、单元上的表面力、单元结点上的结点荷载。vpspcF34将应力矩阵、应变矩阵、单元位移矩阵（4-16）、（4-17）后相加，得到单元的总势能为：12TTTTTvscAdp dp dAB DBNNF利用最小势能原理，取结点位移的变分，得到： 0由的任意性，有：0iijjmmuvuvuv（4-18）35考虑到的对称性，对式（4-18）求偏导得到：TB DB0TTTvscAdddAB DBN pN pF记Td B DBkTTvscAp dp dANNFF则式（4-19）可写为：k

16、F（4-19）（4-20）上式即为描述单元结点力和结点位移向量之间关系的平衡方程。其中称为单元刚度矩阵。k（4-22）（4-21） D Bdydx tBDBkT在3结点等厚三角形单元中，如果单元的材料是均质的，矩阵 中的元素是常量，而且在三角形常应变单元情况下，矩阵 中的元素也是常量，当单元的厚度 t 也是常量时，则有 ，(4-23)36TTdtdxdy kB DBB DB于是(4-21)式可以简化为注意到 k iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk 物理意义：单元刚度矩阵 中的任一列 的元素分别等于该单元的某个结点 沿坐标 j方向发生单位位移时，在各结点上所引起的结点力，它

17、决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关。即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。 将表达式(4-8)代入(4-22)式，即该平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵，写成分块形式如下(4-24)37ijk srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbEttBDBk21212121)1 (42E21E1其中对于平面应变问题，上式中的 应换成， 换成 至此单元的力学特性分析已告完成，下面就可以转入结构的整体分析。(4-25)38 用有限元解题，需把弹性体离散化后的每个单元所受的体力、面力、集中力都移置到有关的受载结点上，形成单元等效结点载荷列阵 ，这种移置

18、时按静力等效原理进行的。 eF。u所谓静力等效原理，对弹性体来说，是指弹性体上的原载荷与移置后的结点载荷，在弹性体的任意微小虚位移上所做的虚功相等；u 对于刚体，是指刚体上的原载荷与移置后的结点载荷向任一点简化时，具有相同的主矢和主矩，即对任意坐标轴的载荷投影之和相等，对任意轴的力矩和也相等；u根据圣维南原理，这种载荷移置所引起的应力误差是局部的，不至于影响到整个结构，而且随着单元的细分，这种影响将逐渐减少。但载荷的移置，确实是有限元法的误差来源之一39六 等效结点力和荷载列阵40基于单元结点平衡方程（4-19）0TTTvscAdddAB DBN pN pF(4-19)外力功的前两个量分别表示

19、体积力、表面力移置到结点的等效结点力，依次定义为TvTsAFdFdAN pN p(4-26)(4-27)则很显然式（4-21）中的荷载列阵 就等于体积力、表面力和单元结点荷载的叠加，因此作用在弹性体上的外力，需要移置到相应的结点上成为结点荷载。 Fj i),(yxM TyxPPP P1 集中力 的移置： 设单元 的边界上 点受有集中力 ，且有利用静力等效（虚功原理）原则将其移置到三个结点上，并组成单元结点载荷列阵）41PM Tvuf* eTiijjmmuvuvuv eMNf* MNM设单元的 点上发生任意微小虚位移 ，则单元三结点 上的虚位移组成的列阵式中 为形函数矩阵在 点处的取值。由于单元

20、任意点位移可以写成 PNPfRTMTeTeTe)()(* PNRTMe),(mjiPNPNRyiMxiMei 根据弹性体的虚功原理，可写出单元的虚功故有则(4-28)42上式 即为结点等效荷载 eiR虚位移乘以力等于虚功ijm( , )P x yTvxypppPdydxtt p t dx dy2 体积力 的移置。 (4-29)如果单元 上受有分布状态的体力（单位体积力），且其上任意一点 的体力为 ，则可将 点的微小体积 （ 为单元厚度）上的体力载荷 当作一个小集中力载荷列阵 ，然后对三角形单元面积积分，即得单元的体积移置到结点上的结点载荷列阵(若将单元体的体力视为常量），此时式（4-26）可写

21、为43vpA000 =t000TvAiixjyjmmFtdxdyNNpNdxdypNNNN p ( ) =,3TevTxyxyxyFNpt dx dytpppppp (4-30) ( , ,)yrryyrFtN p dxdytpN dxdyri j m 例如 而/3rN dxdy 自行证明 所以j isp( , )( , )Tssxsyppx ypx ydltsp t dl3 面力 的移置 如果单元 的边上受有任意分布的面力 ，且(4-31)44sp则依据（4-27）式，同样得到结点等效荷载i = ,TslsxjlsyFtdlpN I N ItdlpN p可将微分面积 上的面力载荷 当作一个微

22、小集中载荷列 有了单元载荷列向量后，就可以式迭加到载荷列向量中去，即121enTeTTTneFFFFF 上述载荷移置列阵具有普遍意义，对于其它类型的平面单元也是适用的，只需把形函数矩阵 换成该种类型单元的 即可。但是，这三个公式在计算上是相当麻烦的。对线性位移模式的单元，其载荷移置方法也可以利用刚体静力等效原理进行之。NN31 关于刚体静力等效原理这里不在赘述；现将四种特殊载荷简化结果说明如下： 1. 均质等厚度的三角形单元所受的重力，只需把 的重量移置到每个结点上。454 几种特殊的结点荷载列阵lj iql tq21ij 2. 对于作用在长度 的 边上强度为 的均布表面力，只需 把 移置到结

23、点 及 上。mqjl tq2131j32m 3. 线性分布载荷，在结点 处强度为 ，在结点 处强度为0，则合力大小为 只需将合力的 移置到结点 ， 移置到 结点。 46j iPji ,llP2llP1 4. 在 边上作用在集中力 ，则 点的等效结点载荷分别为 和 。 474.4 弹性力学平面问题的整体分析 结构的整体分析：得到结构的单元矩阵后，需将一系列的单元组成一个整体结构，然后根据结点荷载平衡的原则进行分析，得到整体刚度矩阵。整体分析包含四个步骤：建立整体刚度矩阵根据支承条件修改整体刚度矩阵解方程组，求出结点的位移，根据结点位移，求出单元的应变和应力ennen 12 n TTnTTn211

24、2), 2 , 1(nivuTiiii 假说弹性体被划分为 个单元和 个结点，并对每一个单元都进行上述运算，则得到 组形如 式的方程，把这些方程集合起来，便可得到表征整个弹性体平衡的表达式。为此目的，我们首先引进整个弹性体的结点位移列阵 ，它是由各结点位移按给定的号码从小到大顺序排列组成的，即其中子矩阵是结点 的位移分量。一 结构的整体刚度矩阵 eekR48由单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵的基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成 (4-31)12 nR1221TTTTnnFFFF11(1,2, )eeTnnTeeiiiiieeFXYUVini 再引进整个弹性体的载荷列阵 ，它是

25、移置到结点上的等效结点载荷，按照点的号码从小到大顺序排列组成的，即其中子矩阵是结点 上的等效结点载荷49 (4-32)6 1eF12 n211()()()TeeTeTeTijmnijmnFFFF( ,)TeeeixiyiFffij m将各单元的结点力列阵 加以扩大，使之成为 阶列阵其中子矩阵是单元结点上的等效结点力（4-33）TTeTTTijmxiyixjyjxmymFFFFffffff50荷载列阵扩展处为零元素mji,iRmji, 121enTeTTTneFFFFF （4-24）式中，矩阵号上面的 表示在分块矩阵意义下 所在 的列的位置。这里以假定的次序恰和结点号码的次序从小到大的排列是一致

26、的。各单元的结点力列阵经过这样扩大以后便可相加，将全部单元的结点力列阵叠加在一起，就得到下式表示的弹性体的载荷列阵，即 这是因为相邻单元公共边内力引起的等效结点力，在叠加过程中必然互相抵消，只剩下载荷所引起的等效结点力。(4-34)51 kn2 nmjikkkkkkkkkknmjimmmjmijmjjjiimijiinn1122将(4-24)式确定的六阶方阵 加以扩大，使成为 阶的方阵(4-35) ( )( )eiiijimejijjjmmimjmmkkkkkkkkkk52 ijkij(4-32)式中的22阶子矩阵 被放到(4-35)式中的第 双行、第 双列中。这样，(4-22)式可改写为 2

27、12122eeennnnkF kmji, en 12 12 nen 2111eenneneekF考虑到 扩大以后，除了对应 双行和双列上的九个子矩阵外，其余都为零，故上式左边的单元位移列阵 已可用整体的位移列阵 替代，把上式对 个单元作和，则得(4-36)53 enek1 K eeneTnedydxtBDBkK11 上式左边 是弹性体所有单元刚度矩阵的总和，称为弹性体的整体刚度矩阵（或称总刚度矩阵），通常都记作 。注意到单刚矩阵表达式式，则有(4-38)54 RK并基于此可将结构整体平衡式写为(4-37)55xy123456例2 整体刚度矩阵集成单元划分和结点编号如图示ijmijmijm单元编

28、号单元编号单元结点局部编号单元结点局部编号单元结点整体编号单元结点整体编号（1）312（2）524（3）532（4）356ijm562j（ ）(2)m(2)i2j（ ）(2)jjk(2)jmk(2)jik(2)m(2)mjk(2)mmk(2)mik(2)i(2)ijk(2)imk(2)iik整体整体编号 123456 局部编号0001 00000020003 000000400050006 000000单元2的扩展矩阵57结构整体刚度矩阵将所有单元的扩展矩阵相加就得到整体刚度矩阵 K11u0223221nnvuuvuv K11221121314121,12 ,1TxyxynxnyTnnFFFF

29、FFKKKKKK 这可以从 中看出，令结点1在坐标轴x方向的位移 而其余的结点位移 ，便得到结点载荷列阵等于 的第一列元素的列阵，二 整体刚度矩阵的性质 RK 刚度矩阵 中每一列元素的物理意义为：要迫使弹性体的某一结点在坐标轴方向发生单位位移，而其它结点位移都保持为零的变形状态，在所有各结点上需要施加的结点力。58有上述实例可以看出整体刚度矩阵具有如下性质 K33Kxx TsrrskK rsnerssneTrTrneTsneTsrTsrKktBDBtBDBkKeeee1111)(刚度矩阵 的主元素总是正的。例如，由性质1可知，刚度矩阵 中的元素 表示结点2在 方向产生单位位移而其它位移均为零时

30、，在结点2的 方向上必须施加的力，它自然应顺着位移方向，因而为正号。为此只要证明 ，事实上根据(4-32)、(4-36)式有所以刚度矩阵是对称矩阵。因而在实际计算时，只需计算在对角线上以及在其一边的元素。59刚度矩阵 是对称矩阵 K K 它是一个稀疏阵，如果遵守一定的结点编号准则，可使非零元素集中在主对角线附近呈带状。60(5) 整体刚度矩阵式奇异矩阵 ：和单元刚度矩阵一样，由于位移函数中包含刚体位移，所以整体刚度矩阵也是一个奇异矩阵。必须要排除刚体位移后，才能变为正定矩阵 F K因为弹性体在 的作用下处于平衡， 的分量应满足三个静力平衡方程。这反映在 中就存在三个线性相关的行或列，因而它是奇

31、异的，不存在逆阵。 F 对于一个数值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得到的解答收敛于问题的精确解。从上面对于有限单元法的分析中可以看出，在单元形状确定以后，位移模式的选择是关键。载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立等等，都依赖于位移模式。很难想象，这样一个与真正位移分布有很大差别的位移模式而能得到良好的数值解。已经证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确的要大。这样一来，在给定的载荷之下，计算模型的变形比实际结构的要小。因此，当单元网格分割得越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件。一、收敛准则6

32、14.5 收敛准则和单元位移函数的选择每个单元的应变一般总是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的，即所谓常应变。从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应趋于常量。除非我们的位移模式包含着这些常应变，否则就没有可能收敛于正确解。不难看出，位移模式(b)中与6532,aaaa有关的线性项是提供单元中的常应变的。即当结点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。这样，位移模式就不但要具有描述单元本身形变的能力。而且还要具有描述由于其他单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。例如，在位移模式(b)中，常数

33、项 就是提供刚体位移的（参见参考书P56）。41,aa1位移模式必须包含单元的刚体位移。2位移模式必须能包含单元的常应变。62当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是满足的，单元间的协调性要求单元之间不开裂也不重叠，对于在以后要讨论的梁、板和壳单元，还要求单元之间有斜率的连续性。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移时，可以保证位移的协调性。 在有限单元法中，满足条件1和2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元上称为协调单元或保续单元。我们已经讨论过的三角形单元，显然同时满足三个条件，因此是完备的协调单元。在某些梁、板以及壳体分析中，要使单元满足条件3比较困难，实践中

34、也出现只满足条件1，2的单元，其收敛性也是令人满意的。尤其是放松条件3的单元，即完备而不协调的单元，已经获得了很多成功的应用。不协调单元的主要缺点是，不能事先肯定其刚度与真实刚度的大小关系。但是另一方面，不协调单元一般没有协调单元那样刚硬（换句话说，一般较柔软），因此可能比协调单元收敛得快。 3位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调63选择多项式位移模式的阶次时，要考虑到解的收敛性，即要考虑到完备性和协调性的要求。实践证明，这两项是所要考虑的重要因素，但并不是唯一的因素。另一个因素是，位移模式应该与局部坐标系的方位无关，即为几何各向同性。对于线性多项式，各向同性的要求通常就等阶于

35、必须包含常应变状态。对高次模式，就是不应有一个偏惠的坐标方向，也就是位移模式不应随局部坐标的更换而改变。经验证明，实现几何各向同性的一种方法是，根据以下巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项：二、多项式位移模式阶次的选择64 1 常数项 x y 一次项 x2 xy y2 二次项 x3 x2y xy2 y3 三次项 x4 x3y x2y2 xy3 y4 四次项 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5 五次项 在二维多项式中，若包含三角形对称轴一边的任一项，则必须同时包含另一边的对称项（对称轴往两边开始选择）。选择多项式模式要考虑的最后一个因素，就是多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外

36、结点的自由度数。通常是取得与单元的外自由度数相等，取过多的项是不恰当的。6566123456uaa xa yvaa xa y如 3结点三角形单元 4结点四边形单元12345678uaa xa ya xyvaa xa ya xy 6结点三角形单元2212345622779101112uaa xa ya xa xya yvaa xa ya xa xya y等等 8结点四边形单元2222123456782222910111213141616uaa xa ya xa xya ya x ya xyvaa xa ya xa xya ya x ya xy),(,mjicbii2解题步骤可归纳为9步： 1划分

37、单元，对结点编号，输入结点坐标； 2对单元编号，按逆时针列出单元三个结点的号码； 3计算载荷的等效结点力； 4计算单元常数 和 ； 5计算各单元的刚度矩阵； 6形成整体刚度矩阵中的非零子矩阵； 7处理约束，消除刚体位移； 8解总刚方程，求得结点位移； 9计算单元应力。 通常，49步由计算机完成，13步用手工完成或计算机完成。 在实现以上各步骤时，为了达到一定的计算精度，节约计算机存储量，缩短计算机运行时间等目的，还需要注意下列事项。674.6 实施步骤和注意事项2141 对于具有结构对称、荷载对称和反对称情况，可取对称部分作为计算模型。如 或 等。对称边的边界条件为垂直于边界的位移为零；反对称

38、边的边界条件为平行于边界的位移为零。 网格最好也要按对称性划分（对整体而言）。 一对称性的利用68 对称 反对称69 通常集中荷载的作用点、分布荷载强度的突变点、分布荷载与自由边界的交界点、支承点等都应取作为结点。如果物体的厚度有突变点或者物体由不同材料组成时，不要把厚度不同或材料不同的区域划分在同一单元里。 至于结点多少，要根据计算精度荷机算机容量等综合考虑。从结果精度来看，当然划分得越细越好，但是，这样做要增加准备工作和电子计算机的运算时间，甚至超出计算机的容量。因此，在保证精度的前提下，力求采用较少的单元。故在划分单元时对应力变化急剧的区域可分得细一些，应力变化平缓得区域可以分得粗一些。

39、此外，单元三条边的长度不要悬殊太大，以免在计算中出现过大的误差。二、结点的选择和单元的划分70不好好71 应尽量使同一单元的相邻结点的号码差尽可能小，以便缩小刚度矩阵的带宽B=2(d+1),节约计算机存储。若采用带宽压缩存放，整体刚度矩阵的存储量N最多为 N = 2 n B = 4 n ( d + 1 ) 其中d为相邻结点的最大差值，n为结点总数。d = 7，N = 448 d = 2，N = 168三、结点的编号72mji,四、单元结点 的次序为了 不出现负值，结点 的次序应为逆时针转向。若对 取绝对值，次序随便。 对于位移等于零的情况，这是常见的约束形式。 当约束条件为 结点的水平位移 时，则在整体刚度矩阵 中，应把与位移 对应的 行码和 列码的主对角线元素改为1，其它元素改为0；右边载荷向量 中，第 个元素改为0。例如：k0ku Kku12 k12 k R12 k五、边界条件处理和整体刚度矩阵的修正73mji,002020000000100000