电路分析基础第六章.

1、第二篇第二篇 动态电路的时域分析动态电路的时域分析第五章第五章 电容元件与电感元件电容元件与电感元件第六章第六章 一阶电路一阶电路第七章第七章 二阶电路二阶电路第六章第六章 一阶电路一阶电路6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用6.2 6.2 零状态响应零状态响应6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应6.4 6.4 零输入响应零输入响应6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理6.6 6.6 三要素法三要素法6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 无论是电阻电路还

2、是动态电路，电路中各支无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路电流和电压仍然满足路电流和电压仍然满足KCLKCL和和KVLKVL，与电阻电路的差，与电阻电路的差别仅仅是别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是微分与动态元件的电流与电压约束关系是微分与积分关系积分关系( (见第五章见第五章) )。 因此，根据因此，根据KCLKCL、KVLKVL和元件的和元件的VCRVCR所建立的所建立的动动态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分分积分方程积分方程。 如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么，动态电路方程是

3、么，动态电路方程是线性常系数微分方程线性常系数微分方程。 如果电路中只有一个动态元件，如果电路中只有一个动态元件，相应的电路相应的电路称为称为一阶电路一阶电路，而而所得到的方程则是一阶微分方程所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言，如果电路中含有一般而言，如果电路中含有n n个独立的动态元件，个独立的动态元件，那么，描述该电路的就是那么，描述该电路的就是n n阶微分方程阶微分方程， 相应的电相应的电路也称为路也称为n n阶电路阶电路。 一阶电路的定义：一阶电路的定义：分解方法在这里的运用：分解方法在这里的运用： （1）将一阶电路分为电阻网络）将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件和动态元件

4、N2两两部分。部分。 （2）将）将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得简单一阶电路。简单一阶电路。 （3）求解简单一阶电路，得到）求解简单一阶电路，得到 uc(t) 或或 iL(t) 。 （4）回到原电路，将电容用一电压源（其值为）回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc(t)）置换，或将电感用一电流源（其值为置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）置换，再）置换，再求出电路中其余变量。求出电路中其余变量。根据图根据图(b)(b)，由，由KVLKVL可得：可得：而由元件的而由元件的VCRVCR可得：可得：第二式带入第一式并整理可得：第二式带入第

5、一式并整理可得：) t (u) t (u) t (uOCCR0 dt) t (duC) t ( i),t ( iR) t (uC0R0 ) t (u) t (udt) t (duCROCCC0 类似地，根据图类似地，根据图(c)(c)，由由KCLKCL和元件的和元件的VCRVCR可得：可得： 如果给定初始条件如果给定初始条件u uC C(t(t0 0) )以及以及tttt0 0时的时的u uOCOC(t)(t)或或i iSCSC(t)(t)，便可由上述两式解得，便可由上述两式解得tttt0 0时的时的u uC C(t)(t)。而对含电感而对含电感L L的一阶电路，同样可以得到：的一阶电路，同样

6、可以得到：) t (i) t (idt) t (diLGSCLL0 ) t (i) t (uGdt) t (duCSCC0C ) t (u) t (iRdt) t (diLOCL0L 如果给定初始条件如果给定初始条件i iL L(t(t0 0) )以及以及tttt0 0时的时的i iSCSC(t)(t)或或u uOCOC(t)(t)，同样可解得，同样可解得tttt0 0时的时的i iL L(t)(t)。 因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关键的步骤是先求得关键的步骤是先求得u uC C(t)(t)或或i iL L(t)(t)。第六章第六章 一阶电路一阶

7、电路6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用6.2 6.2 零状态响应零状态响应6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应6.4 6.4 零输入响应零输入响应6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理6.6 6.6 三要素法三要素法6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 再看如图所示电路。再看如图所示电路。 如果电容具有初始电压如果电容具有初始电压uC(t0)，则在，则在tt0时，这时，这种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据

8、叠加原理，该电路中任一电压、电流加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电当然也包括电容的电压容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其是两个电源单独作用时结果的叠加，其分解电路如下图所示。分解电路如下图所示。 图中，由独立源在图中，由独立源在tt0时产生的响应为时产生的响应为uC(t)，此，此时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入引起，一般称为引起，一般称为零状态响应零状态响应。 所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激励源在电路中产生的响应，励源在电路中产生的响应， 而仅仅是由电容

9、的初始状态而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应所引起的响应uC(t)称为称为零输入响应零输入响应。 两种响应之和就是两种响应之和就是总响应总响应或称之为或称之为全响应全响应，它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。 本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的零状态响应。零状态响应。 仍以上述仍以上述RC串联电路为例，设串联电路为例，设t0=0，t0时输时输入阶跃波，其值为入阶跃波，其值为US，它相当于在，它相当于在t=0时通过开关时通过开关使使RC电路与直流电压源电路与直流电压源US接通，如图所示。接通，

10、如图所示。 根据第一节根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得电路的公式并结合上图电路可得t0时的电路方程为：时的电路方程为：初始条件：初始条件：uC(0)=0。解此方程即可得到。解此方程即可得到uC(t)。 有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，这里再简单回顾一下。这里再简单回顾一下。SCCU) t (udt) t (duRC 一阶微分方程的求解一阶微分方程的求解一阶齐次方程的求解一阶齐次方程的求解 )1(0 Axdtdx)2()(00Xtx这里，这里，x(t) 为待求变量，为待求变量，A 及及X0 均为常数。均为常数。齐次方程和初始条件齐次方

11、程和初始条件假设假设)3()(tseKtx则有则有)4()(tsesKdttxd将（将（3 3）和（）和（4 4）代入（）代入（1 1）式，可得）式，可得)5(0)( AseKts)6(0 As（6 6）式称为微分方程的）式称为微分方程的特征方程特征方程，其根称为微分方程的其根称为微分方程的特征根特征根或或固有频率固有频率。因而可求得：。因而可求得：)7()(,tAeKtxAs先求通解（满足（先求通解（满足（1 1）式且含有一个待定常数的解。）式且含有一个待定常数的解。）再确定待定常数再确定待定常数K K将初始条件（将初始条件（2 2）式代入通解（）式代入通解（3 3）式，可得：）式，可得：0

12、00)(XeKtxts即即00tseXK例：例：求解方程求解方程,05xdtdx2)0(x解：解： 特征方程特征方程05 s特征根特征根5s通解通解teKtx5)(代入初始条件，得代入初始条件，得2K原问题的解为原问题的解为tetx52)()12(fBxAdtdx )22(X)t (x00 其中其中 x(t) 为待求变量，为待求变量，f(t) 为输入函数，为输入函数，A、B 及及X0 均为常数。均为常数。非齐次方程和初始条件非齐次方程和初始条件解的结构解的结构: : （2 21 1）式的通解由两部分组成）式的通解由两部分组成)32()t (x)t (x)t (xph 其中其中 xh(t) 为（

13、为（21）式所对应齐次方程的通解，）式所对应齐次方程的通解，xp(t) 为（为（21）式的一个特解。）式的一个特解。一阶非齐次方程的求解一阶非齐次方程的求解先求先求 x xh h( (t t) ) 前已求得前已求得tsheKtx)(再求再求 x xp p( (t t) ) 特解特解 x xp p( (t t) ) 的的 形式与输入函数形式与输入函数 f f( (t t) ) 的形式有关：的形式有关：确定待定常数确定待定常数K K 求得求得 x xh h( (t t) ) 和和 x xp p( (t t) ) 后，将初始条件代入通解式，可后，将初始条件代入通解式，可确定待定常数确定待定常数K K

14、，从而得到原问题的解。，从而得到原问题的解。,18122xdtdx例：例：求解方程求解方程8)0(x解：解：特征方程特征方程0122s特征根特征根6stheKtx6)(设设Qtxp)(求得求得5.11218Q通解通解5.1)(6teKtx代入初始条件，得代入初始条件，得5.65.18K原问题的解为原问题的解为5.15.6)(6 tetx根据以上分析，对于方程：根据以上分析，对于方程：非齐次方程特解非齐次方程特解齐次齐次方程方程通解通解非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程( )(0)0ccscduRCutUdtu其解的形式：其解的形式：( )ccpchutuu它与输入激励的变化规律有关，为电

15、路的稳态解。它与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。tRCchuAe其变化规律由电路参数和结构决定。其变化规律由电路参数和结构决定。的通解的通解CCd0duRCutScpuU通解通解chu特解特解cpuCCSdduRCuUt的特解的特解全解全解uC (0)=A+US= 0 A= -US 因此：因此：由初始条件由初始条件 uC (0)=0 确定积分常数确定积分常数 ACS( )tRCcpchutuuUAe) 0( )1 ( S SSCteUeUUuRCtRCt从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：CSddtRCuUiCetR-USuchucpUStiSUR0tuC0由所得结果可见，电压、电

16、流是随时间按同一由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连连续续函函数数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）说明+ RC 库安秒欧法欧欧秒伏伏指数函数指数函数 ，随时间，随时间t t安指数规律衰减，其衰减安指数规律衰减，其衰减快慢与快慢与RC有关；令有关；令 =RC , ,它称为一阶电路的时间它称为一阶电路的时间常数，因为：常数，因为： 时间常数时间常数 是一阶电路非常重要的参数，因为它是一阶电路非常重要的参数，因为它的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。

17、的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短tRCe 是电容电压衰减到原来电压是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的所需的时间。因此，工程上一般认为时间。因此，工程上一般认为, 经过经过 (3 5) , 电电路的过渡过程基本结束。路的过渡过程基本结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5 0tcuU eU0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 由此可见： 同样，对于如图所示的同样，对于如图所示的RLRL电路，其电流的零状电路，其电流的零状态响应也可作类

18、似分析。态响应也可作类似分析。LS( )LRiuu tSd( )dLLiRiLu tt应用应用KVL和电感的和电感的VCR可得：可得：LddLiuLt (t 0)+uLUsRiL+- -( )(1)( )(1),ttSLLULi teie t0RRtLLSdiuLU edt连续连续不连续不连续SL(1)RtLUieRtiLSUR0LLSddRtLiuLU etuLUSt0 以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电路以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电路在在t0t0时的零状态响应。这时，电路内的物理过时的零状态响应。这时，电路内的物理过程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增长程，实质上是动态元件的

19、储能从无到有逐渐增长的过程。因此：的过程。因此： 电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数规律上升到达它的稳态值，时间常数规律上升到达它的稳态值，时间常数分别为分别为RCRC或或L/RL/R。 当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当于短路，由此可确定电容电压或电感电流的稳态于短路，由此可确定电容电压或电感电流的稳态值。值。 零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的特点，求解时可不必每

20、次再求解微分方程，即可特点，求解时可不必每次再求解微分方程，即可直接写出直接写出u uC C(t)(t)、i iL L(t(t）。而掌握了）。而掌握了u uC C(t)(t)和和i iL L(t(t）后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电流。流。 此外，若激励增大此外，若激励增大m m倍，则零状态响应也相应增大倍，则零状态响应也相应增大m m倍，这称为零状态响应的比例性。倍，这称为零状态响应的比例性。 若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。因若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。因此，此，零状态响应是输入的线性函数零状态响应是输入的线性函数。

21、电容的能量关系电容的能量关系2S12CU电容储存的能量：电容储存的能量：电源提供的能量：电源提供的能量：2SSS0dU i tU qCU2S12CU电阻消耗的能量：电阻消耗的能量：2S002d()dRCtUi R tR tRe 这表明，这表明，电源提供的能量一半消耗在电阻上，只电源提供的能量一半消耗在电阻上，只有一半转换成电场能量储存在电容中。有一半转换成电场能量储存在电容中。例例1：t t=0=0时时, ,开关开关S S闭合，已知闭合，已知 u uC C(0)=0(0)=0，求求：(1)(1)电容电压和电容电压和电流电流,(2) ,(2) u uC C80V80V时的充电时间时的充电时间t

22、t 。解解:(1)(1)这是一个这是一个RCRC电路零状态电路零状态响应问题，则有：响应问题，则有： 200CS(1) 100(1)V (0)t-tRCuUe-et53500 105 10 sRC 200CS0.2AdttRCuUiCeetRd(2)(2)设经过设经过t1秒，秒，uC80V，则有：，则有：1200180100(1)8 045 s-t-et. m50010F+-100VS+uCi例例2：t=0时时, ,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。解解:这是这是RL电路零状态响应问题。先化简成如图所示电路，有：电路零状态响应问题。先化简成如图所示电路，有：

23、eq80200/ /300200Req/2/ 2000.01sL Rt 0L( )10Ai 100L( )10(1)Atite100100Leq( )102000VttutR eeiLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq例例3：t=0时开关开关k打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。解解:这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：eq101020R02 1020VU eq/2/ 200.1sL RiL+uL2HUoReq+t 00eq( )/1ALiUR 10( )(1)AtLi

24、te10100( )20VttLutU ee10S510(2010)VtLLuIiueiLK+uL2H102A105u作业：作业： P233: 6-1、6-4 P234: 6-6、6-8 第六章第六章 一阶电路一阶电路6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用6.2 6.2 零状态响应零状态响应6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应6.4 6.4 零输入响应零输入响应6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理6.6 6.6 三要素法三要素法6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡

25、过程和稳态 对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶跃波跃波U US S或或I IS S。那么，它们能否用数学进行描述？。那么，它们能否用数学进行描述？为此，引入单位阶跃函数。为此，引入单位阶跃函数。1 1、单位阶跃、单位阶跃(unit-step)(unit-step)函数：函数：0t0t01) t （2 2、延时、延时(delayed)(delayed)单位阶跃函数：单位阶跃函数：000tttt01)tt （10t0 (tt0)10 (t)t t = 0 = 0 开关闭开关闭合合, ,i(t) = Is)t ( 在电路中可模拟开关的动作。在电路中可模拟开关

26、的动作。如：如：t = 0 时开关闭合时开关闭合)(t引入单位阶跃函数的作用：引入单位阶跃函数的作用：SUSu(t)S( )Utu(t)Is( )i tk( )SItu(t)起始一个函数起始一个函数tf (t)000sin() ()ttttt0延迟一个函数延迟一个函数tf(t)0t0)()sin(tt0sin( ) ()ttt任意信号任意信号f f( (t t) )的截取：的截取：tf(t)0t001sin( ) ()()tttttt1用单位阶跃函数表示分段常量信号用单位阶跃函数表示分段常量信号0( )( )()f tttt(t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0) 00tt0

27、tt010t0) t (f( )2 (1)(3)(4)f tttt1t1 f(t)0243 4t04t313t121t0) t (f( ) ( )(1)(1)f ttttt1t1 f(t)0( )(1) (1)tttt(1) (1)tt( )tt( )( )(1) (3)(4)f ttttt1t1 f(t)0243(1) ( ) ( )u ttt1 02已知电压已知电压u(t)的波形如图所示，的波形如图所示，试画出下列电压的波形。试画出下列电压的波形。(4) (2) (1)u tt(3) (1) (1)u tt(2) (1) ( )u ttt1 u(t)022t1 011t 1 01 t102

28、13 3、阶跃、阶跃(unit-step)(unit-step)信号：信号：0t0t, 0,A) t （ 4 4、延时、延时(delayed)(delayed)阶跃信号：阶跃信号：000tttt, 0,A)tt （0AA (t)AA (t)0AA (t+t0)-t01.1. 单位阶跃响应：单位阶跃响应：是指线性时不变电路在是指线性时不变电路在单位阶单位阶跃电压跃电压 (t)(t)作用下的作用下的零状态响应零状态响应，我们用，我们用s(t)s(t)或或g(t)g(t)表示。响应可以是电压，也可以是电流。表示。响应可以是电压，也可以是电流。2. 2. 单位阶跃响应的线性时不变性：单位阶跃响应的线性

29、时不变性： 若若 (t)s(t) ，则，则 A (t)As(t) A (t-t0)As(t-t0) f(t)A (t)+B (t-t0)y(t)As(t)+Bs(t-t0)阶跃响应阶跃响应时延不变性：时延不变性：若激励若激励f f(t)(t)延迟延迟t t0 0接入，其零状态接入，其零状态 响应也延迟响应也延迟t t0 0时间，且波形保持不变，如图所示。时间，且波形保持不变，如图所示。 ( )tRCiet和和 0tRCiet的区别的区别注意 ( )tRCiet 0tRCiett01it01itiC0激励在激励在 t = t0 时加入，时加入，则响应也从则响应也从t =t0开始。开始。t- t0

30、 1RCCieR( t - t0 ) 01()RCettR- t不要写为：不要写为：iC (t -t0)C +uCR1Rt0注意3. 3. 阶跃响应的求法：阶跃响应的求法： 由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于单位直流源接入电路。所以，求阶跃响应就是单位直流源接入电路。所以，求阶跃响应就是求单位直流源求单位直流源(1V(1V或或1A)1A)作为激励接入电路时的作为激励接入电路时的零状态响应。零状态响应。例例 下下图图(a)(a)所示电路，若以电流所示电路，若以电流i iL L为输出，求其阶为输出，求其阶跃响应跃响应s s( (t t) )。解解 根据阶跃响应

31、的定义，令根据阶跃响应的定义，令u us s= =( (t t) )，它相当于，它相当于1V1V电压源在电压源在t t=0=0时接入电路，如图时接入电路，如图( (b b) )所示，而且电路所示，而且电路的初始状态的初始状态i iL L(0(0+ +)=)=i iL L(0(0- -)=0)=0。由图由图( (b b) )可知，可知，i iL L的稳态值和该电路的时间常的稳态值和该电路的时间常数分别为：数分别为： A) t ()e1(21) t (i) t ( ss2115 . 0RLA21RU)(it2L1sL 4. 4. 分段常量信号响应的求法：分段常量信号响应的求法： 时延不变性：时延不

32、变性：将分段常量信号用阶跃函数将分段常量信号用阶跃函数表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应分段常量信号激励作用下电路的零状态响应。分段常量信号激励作用下电路的零状态响应。 f(t)A (t)+B (t-t0) y(t)As(t)+Bs(t-t0)例例 图图( (a a) )所示电路，其激励所示电路，其激励i is s的波形如图的波形如图( (b b) )所示。所示。若以若以u uC C为输出，求其零状态响应。为输出，求其零状态响应。解解 激励激励i is s可表示

33、为可表示为 A)2t (2) t (2) t (is 根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状态响应为：态响应为：V)2t ( s2) t ( s2) t (uzsC s22 .010RCV616)(uC V) t ()e1(6) t ( st21 阶跃响应为：阶跃响应为： 零状态响应为：零状态响应为： )2t ()e1(12) t ()e1(12) t (u22t2tzsC )2t ( s2) t ( s2) t (uzsC 10 ( ) 10 (0.5)Sutt求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例10k10kus+-ic100FuC(0-

34、)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0-)=0等效等效)5 . 0(10)(10ttuS应用叠加定理应用叠加定理5 ( ) t5k+-ic100F5 (0.5)t5k+-ic100F( ) t5k+-ic100F63100 105 100.5sRC 2Cd1 ( ) mAd5tCuiCett 2t( )(1) ( )Cutet阶跃响应为：阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：22(0.5)115( )(0.5)55ttCietet22(0.5)( )(0.5)mAttetet5 ( ) t5k+-ic100F5 (0.5)t

35、5k+-ic100F22(0.5)( )(0.5)ttCietet00.5 ( )1 (0.5)0ttt 2Ctie22(0.5)2(0.5)1C2(0.5)(1) 0.632ttttieeeee 0.5s ( )1 (0.5)1ttt分段表示为：分段表示为：分段表示为：分段表示为：2 C-2( -0.5) mA (00.5s)( )-0.632 mA (0.5s)ttetitet t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.36822(0.5) ( )(0.5) 0.632(0.5)tCtiettet 引用单位阶跃函数引用单位阶跃函数(t)(t)后，在电路分析中后，在电路分析中可能

36、会遇到对可能会遇到对(t)(t)求导的问题。求导的问题。 (t)(t)是常量，当是常量，当t0t0t0时为时为1 1，因，因此，在此，在t0t0t0时，时，d d(t)/dt=0(t)/dt=0。而在。而在t=0t=0时，时，(t)(t)不连续，具有高度为不连续，具有高度为1 1的阶跃，其斜率为无的阶跃，其斜率为无界。为此，把界。为此，把(t)(t)的导数记为的导数记为(t)(t)，称为单位，称为单位冲击函数。冲击函数。1. 1. 单位冲激函数单位冲激函数l 定义定义( )0 (0)tt( )d1ttt(t)10单位脉冲函单位脉冲函数的极限数的极限 / 21/ tp(t)- / 210 0li

37、m( )( )p tt1( ) ()()22p tttl 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟000()0 ()()d1tttttttt (t-t0)t00（1）l 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数冲激函数对时间的积分等于阶跃函数0 0( )d ( )1 0ttttttd ( )( )d ttt冲激函数的冲激函数的取样取样性性 ( ) ( )d(0) ( )d(0)f tttfttf00( ) ()d( )f ttttf t同理同理 (sin) ()d6 tttt1 sin1.026626例例t(t)10f(t)f(0) f(t)在在 t0 处连续处连续f(

38、0)(t)注意冲激响应冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应称为冲击响应。产生的零状态响应称为冲击响应。冲激响应冲激响应零状态零状态R(t)(te3. 3. 单位阶跃响应和单位冲激响应的关系单位阶跃响应和单位冲激响应的关系单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)tttd)(d)()(dd)(tstth激励激励响应响应( )( )Si tt先求单位阶跃响应：先求单位阶跃响应：求求: :is (t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应uC(t)和和iC (t).例例解解:( )(1

39、) ( )tRCCutRetuC(0+)=0 uC()=R = RC iC(0+)=1 iC()=0 C( )tRCiet再求单位冲激响应再求单位冲激响应, ,令：令：S( )( )i tt令令uC(0)=0iCRiS(t)C+-uC d(1) ( )dtRCCuRett(1) ( )tRCRet1( )tRCetC1( )tRCetC)()0()()(tfttf0 Cd( )dtRCiett 1( )( )ttRCRCetetRC 1( )( )tRCtetRCuCRt0iC1t0uCt01C冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应iCt11RC0作业：作业： P236: 6-13、6-15 P23

40、4: 6-16、6-17 第六章第六章 一阶电路一阶电路6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用6.2 6.2 零状态响应零状态响应6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应6.4 6.4 零输入响应零输入响应6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理6.6 6.6 三要素法三要素法6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 第二节讨论了零状态响应，即电容或电感的初始第二节讨论了零状态响应，即电容或电感的初始状态为零，电路的响应仅由输入引起。状态为零，电路的响应仅由输入引起

41、。 实际中，电容或电感可能具有初始值，因此，电实际中，电容或电感可能具有初始值，因此，电路的响应除由激励引起的一部分外，还有一部分路的响应除由激励引起的一部分外，还有一部分是由电容或电感的初始值引起的。是由电容或电感的初始值引起的。 由初始值引起的响应部分的分析是把初始值看成由初始值引起的响应部分的分析是把初始值看成一个电压源或电流源（见上一章），然后按照前一个电压源或电流源（见上一章），然后按照前述同样的分析方法即可得到所需结果。述同样的分析方法即可得到所需结果。 从物理意义上看，零输入响应完全是依靠动态元从物理意义上看，零输入响应完全是依靠动态元件的初始储能进行的。当电路中存在耗能元件件的

42、初始储能进行的。当电路中存在耗能元件R时，有限的初始储能最终将被消耗殆尽，零输入时，有限的初始储能最终将被消耗殆尽，零输入响应终将为零。这是一切含有耗能元件的动态电响应终将为零。这是一切含有耗能元件的动态电路中零输入响应的特点。路中零输入响应的特点。解得：解得： 0t e)0(u)t (utcc 式中：式中： RCRC 为电路的时间常数为电路的时间常数，具有时间的量纲。，具有时间的量纲。R R是从电容是从电容C C两端看进去的等效电阻两端看进去的等效电阻。 0cccU)0(u0)t (udt)t (duRCC+Ruc(t)uc (0 )U0i (t)+uR(t)可求得特征根：可求得特征根：RC

43、1s 通解：通解：Rctckeu 代入初始条件，得代入初始条件，得0Uk （1 1）u uc c(t)(t)只与电容电压初始值只与电容电压初始值u uc c(0(0+ +) )及电路的特性有及电路的特性有关（即与关（即与有关，它有关，它反映了电路的特性反映了电路的特性）；）；（2 2）响应与初始状态成线性，称为零输入线性；）响应与初始状态成线性，称为零输入线性； （3 3）时间常数决定了响应衰减的快慢。）时间常数决定了响应衰减的快慢。越大，响应越大，响应衰减越慢；反之，衰减越慢；反之，越小，响应衰减越快。越小，响应衰减越快。0t e )0(u) t (utcc 对对u uc c(t)(t)的讨

44、论：的讨论：020C010CU135. 0eU)2(uU368. 0eU)(u 040C030CU018. 0eU)4(uU05. 0eU)3(u 工程上一般取过渡过程时间为工程上一般取过渡过程时间为 或或 作为过渡过程。作为过渡过程。 4 30t e )0(u) t (utRR 电阻上的电压：电阻上的电压： 对于对于RCRC电路，任何支路上的零输入响应均具电路，任何支路上的零输入响应均具有如下形式：有如下形式： RC 0t eftft,)0 ()(RL 0t e )0(u) t (u tLL 同样，电感上的电压为同样，电感上的电压为：L- -+- -uRuLiLR R+i iL L(0(0+

45、 +) )=I0 R R为从动态元件两端看进去的等效电阻为从动态元件两端看进去的等效电阻,是是t t 0 0以以后的后的时间常数。时间常数。RC RL 0t e)0(f) t (f t 或或 所以，对于一阶电路，任何支路上电压和电流的零所以，对于一阶电路，任何支路上电压和电流的零输入响应都有如下形式：输入响应都有如下形式： /0( )tLL RLiutLRI et dd /0( )0tL RLi tI ettI0iL0连续连续函数函数跃变跃变电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；由此可见-RI0uLt0iL+uLR同样，对于同样，对于RLR

46、L电路，其零输入响应电路，其零输入响应：响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与时间常数时间常数 有关有关; ;L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小，放电过程消耗能量小，放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：能量关系能量关系20RWi R td电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 2012LI电阻

47、吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量： 2/00()tL RI eR td2012LI2 2/00tL RI Retd2 200/()|2tRCL RI ReiL+uLR例：例：图示电路中的电容原来充有图示电路中的电容原来充有24V V电压，求电压，求k闭合后，闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解：解：这是一个求一阶这是一个求一阶RC电路的电路的 零输入响应问题，有：零输入响应问题，有：+uC45Fi1t 0等效电路等效电路 C00tRCuU eti3S3+uC265Fi2i1024 V 5 420 sURC +uC45Fi1 2024V 0

48、tcuet分流得：分流得： 20146AtCiuei3S3+uC265Fi2i1Aeiiit20112231633 Aeiiit20113432636 例：例：t=0时时, ,开关开关S由由12，求求电感电压和电流及开关电感电压和电流及开关两端电压两端电压u12。616sLR解：解：246(0 )(0 )2A423/ /636LLii3(24)/ /66R i+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212 2A 12V 0ttLLLiieuLett dd12244244V2tLiuei+uL66Ht 0iLS(t=0)+24V6H3446+uL212作业：作业： P237:

49、 6-23 P238: 6-26、6-27 第六章第六章 一阶电路一阶电路6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用6.2 6.2 零状态响应零状态响应6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应6.4 6.4 零输入响应零输入响应6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理6.6 6.6 三要素法三要素法6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电路中的响应称为全响应。全响应是由输入和原始储路中的响

50、应称为全响应。全响应是由输入和原始储能共同产生的，且可通过叠加方式求出。因此：能共同产生的，且可通过叠加方式求出。因此： 线性一阶电路的叠加原理：线性一阶电路的叠加原理： 若初始时刻为若初始时刻为t=0t=0，则对所有，则对所有t0t0的时刻，有：的时刻，有：1 1、全响应、全响应= =零状态响应零状态响应+ +零输入响应；零输入响应；2 2、零状态响应具有线性性质，即、零状态响应具有线性性质，即单输入电路的零状单输入电路的零状态响应与该输入成正比；态响应与该输入成正比；3 3、零输入响应也具有线性性质，即零输入响应与原、零输入响应也具有线性性质，即零输入响应与原始状态成正比始状态成正比。 上

51、述结论对线性上述结论对线性n n阶动态电路也成立。阶动态电路也成立。含动态元件电路全响应的求法：含动态元件电路全响应的求法：Nuc(0)=U0N0Uc(0)=U0NUc(0)=0RUSC+-uci(t=0)0CU)0(u t=0t=0时开关闭合，则电路的微分方程：时开关闭合，则电路的微分方程：SCCUudtduRC 初始条件：初始条件： 0CCU0u0u 可求得：可求得： SRCtcpchCUkeuutu 代入初值，可求得代入初值，可求得S0UUk 如图所示如图所示RCRC电路，已知：电路，已知：)1()()(00RCtsRCtsRctsceUeUUeUUtu 自由分量自由分量 uch（暂态分

52、量）（暂态分量）强制分量强制分量 ucp（稳态分量）（稳态分量）零输入零输入响应响应零状态零状态响应响应于是有：于是有：uctUsRctseUU)(00U0U0- UsuctU0RctseUU)(00UsU0- UsU0 US ,电容放电电容放电U0 US ,电容充电电容充电分析：分析：1、0t Ue )UU() t (uStS0c 即：完全响应暂态响应稳态响应即：完全响应暂态响应稳态响应 自由分量强制分量自由分量强制分量 齐次解特解齐次解特解 上式反映了电路具有两种工作状态：过渡状态和稳上式反映了电路具有两种工作状态：过渡状态和稳态。态。 当当U U0 0=U=US S时（即初始值等于稳态值

53、），无暂态过程，时（即初始值等于稳态值），无暂态过程，电路直接进入稳态。电路直接进入稳态。)e1(UeU) t (utSt0c 2、 即：即： 完全响应零输入响应零状态响应完全响应零输入响应零状态响应 上式称为上式称为线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理。 线性动态电路的叠加定理：完全响应是由来线性动态电路的叠加定理：完全响应是由来自输入和来自初始状态分别作用时所产生响应的自输入和来自初始状态分别作用时所产生响应的代数和，即完全响应等于零输入响应代数和，即完全响应等于零输入响应加加零状态响零状态响应。应。000IiiLLRUSL+-uLiL而对于如图所示的而对于如图所示的RL电路，其微

54、分方程为：电路，其微分方程为：RUidtdiRLSLL 可求得：可求得： RUkeiitiStLRLpLhL 代入初始值得：代入初始值得：RUIkS0 )e1( )RU(eIRUe)RUI () t (iLtRsLtR0sLtRs0L 自由分量自由分量 iLh（暂态分量）（暂态分量）强制分量强制分量 iLp（稳态分量）（稳态分量）零输入零输入响应响应零状态零状态响应响应同样也有：同样也有： 若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。

55、各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。作业：作业： P238: 6-29 P239: 6-32 第六章第六章 一阶电路一阶电路6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用6.2 6.2 零状态响应零状态响应6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应6.4 6.4 零输入响应零输入响应6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理6.6 6.6 三要素法三要素法6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 分解方法对任何情况都适用。但如果只对电分解方法对任何情况都适用。但如果只对电

56、路中的某一变量感兴趣，可以采用所谓的三要素路中的某一变量感兴趣，可以采用所谓的三要素法，它可用于求解电路中任一变量的零输入响应法，它可用于求解电路中任一变量的零输入响应和直流作用下的零状态响应、全响应。和直流作用下的零状态响应、全响应。 由前面的分析可以看到，直流一阶电路中各由前面的分析可以看到，直流一阶电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减是从各自的初始值开始，逐渐增长或是逐渐衰减而到达稳态值的，且同一电路中各支路电流和电而到达稳态值的，且同一电路中各支路电流和电压的时间常数都是相同的。这类电路中

57、的电压、压的时间常数都是相同的。这类电路中的电压、 电流随时间变化的方式只有四种可能的情况，分电流随时间变化的方式只有四种可能的情况，分别如下图所示。别如下图所示。 上图中：上图中： y(t)y(t)可以代表电路中的任一电压或电流；可以代表电路中的任一电压或电流； y(0y(0+ +) )表示该电压或电流的初始值；表示该电压或电流的初始值； y()y()表示该电压或电流的稳态值；表示该电压或电流的稳态值； 表示电路的时间常数。表示电路的时间常数。 由此可见，在分析电路时，只要抓住由此可见，在分析电路时，只要抓住y(0y(0+ +) )、 y()y()和和这三个要素，不仅能画出波形图，也能这三个

58、要素，不仅能画出波形图，也能立即写出相应的解析表示式，不需背诵那些公式。立即写出相应的解析表示式，不需背诵那些公式。 通过上例可见，运用三要素法的步骤及方法通过上例可见，运用三要素法的步骤及方法如下：如下：1 1、先求初始值。、先求初始值。 初始值往往需要通过动态元件的初始值求出。初始值往往需要通过动态元件的初始值求出。假设已知电容电压初始值假设已知电容电压初始值u uC C(0)(0)或电感电流初始值或电感电流初始值i iL L(0)(0)，用电压为，用电压为u uC C(0)(0)的直流电压源置换电容或的直流电压源置换电容或用电流为用电流为i iL L(0)(0)的直流电流源置换电感，所得

59、电路的直流电流源置换电感，所得电路是一直流电阻电路，称为是一直流电阻电路，称为t=0t=0时的置换电路时的置换电路，由此，由此电路即可求得任一电压或电流的初始值，即电路即可求得任一电压或电流的初始值，即y(0y(0+ +) )。2 2、再求稳态值。、再求稳态值。 电路到达稳态后，电容电压和电感电流均不电路到达稳态后，电容电压和电感电流均不在变化，因此，它们对直流分别相当于开路和短在变化，因此，它们对直流分别相当于开路和短路，因此，用开路置换电容或用短路置换电感，路，因此，用开路置换电容或用短路置换电感，所得电路仍为一直流电阻电路，称为所得电路仍为一直流电阻电路，称为t=t=时的置时的置换电路换

60、电路，由此电路可求得任一电压或电流的稳态，由此电路可求得任一电压或电流的稳态值，即值，即y()y()。3 3、求去除动态元件后其它部分的戴维南或诺顿等效、求去除动态元件后其它部分的戴维南或诺顿等效电路，以此计算电路的时间常数电路，以此计算电路的时间常数=R=R0 0C C或或=L/R=L/R0 0。4 4、根据、根据1 1、2 2、3 3所得结果，即可得到所需结果：所得结果，即可得到所需结果： te)(y)0(y)(y) t (yy(0+)、y( )、的具体求法：的具体求法：1、求、求y(0+)： (a) 先从先从0考虑（即换路前的稳态），考虑（即换路前的稳态），C开路，开路，L短路，画出短路