浙江理工大学《高等数学I-1》教学大纲

1、高等数学A1教学大纲课程中文名称：高等数学A1 课程代码：63522课程英文名称：Advanced Mathematics A1 课程类别与性质：通识必修课总学时：80学时（其中讲课80学时，实验、上机4学时）学 分：5先修课程：中学数学课程面向对象：普通高等院校对数学要求较高的理工非数学专业。开课系(室)：理学院数学系一、课程教学目标 高等数学课程是高等学校理工类专业的一门重要基础理论课，是深入学习专业课程的必备基础，其理论和方法是研究客观世界连续数学模型的基础。开设高等数学课程，不仅可以在中学“常量数学”的基础上，丰富学生“变量数学”的知识，而且能提高理工类专业学生对自然界客观事物变化发展

2、规律的理性思维能力，并运用所学知识去分析、探究相关的“数量关系”和“空间形式”。因此，高等数学既是一门基础性课程，能培养学生扎实的数学基础；又是一门“工具”或“方法”性课程，能培养学生逻辑推理、定量分析和解决实际问题的能力；更是一门关于思维模式的课程，能培养学生理性思考时间与空间的数学表达的素质。通过高等数学课程的教学，使学生对微积分、无穷级数和常微分方程的基本概念、基本理论和方法有比较系统的认识和正确的理解，并逐步培养学生熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力；初步训练学生抽象概括问题的能力和综合运用知识来分析解决问题的能力，也为学生学习后继课程，进一步学习新理论

3、、新知识以及新技术打下扎实的数学基础。（一）知识目标通过高等数学课程的学习，学生应获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。（二）能力目标通过本课程的学习，学生应获得如下能力：进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力；综合运用高等数学的知识和方法进行分析和解决问题的能力；会应用数学软件（如MATLAB,Mathematica）进行基本数值计算，如应用数值软件解方程和方程组、微分方程，求积分和极值、绘制二维和三维图形等；较强的自主学习能力，提高学生学习数学的积

4、极性,激发学习兴趣,增强学习的信心；主动探索和独立思考的能力,提高学生的创新意识。（三）素质目标通过本课程的学习，应注意培养学生以下素质：主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；善于对现实世界中现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养；能用准确、简明、规范的数学语言表达数学思想的素养；深入理解数学基本概念和基本方法，掌握用数学知识解决实际问题的方法与手段，对各种问题能以多角度探寻解决问题的道路的素养；具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养。 二、课程教学内容与学习目标（一）、理论教学内容与学习目标知识单元1: 极限与连续性参考学时：16学时学习目标

5、：1. 加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解，理解复合函数的概念，了解反函数的概念；2. 会建立简单实际问题中的函数关系式；3. 理解极限的概念，了解极限的定义；4. 掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限；5. 了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限与求极限；6. 了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限；7. 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念；8. 了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型；9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介

6、值定理与最大值、最小值定理。知识单元2: 一元函数微分学参考学时：28学时学习目标：1. 理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系； 2. 了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率； 3. 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式； 4. 理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性； 5. 了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的阶导数的一般表达式）； 6. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二

7、阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题； 7. 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧），会用洛必达（L'Hospital）法则求不定式的极限； 8. 了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想（对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）； 9. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题； 10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包

8、括水平和铅直渐近线）；11. 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；12. 了解求方程近似解的二分法和切线法的思想。知识单元3: 一元函数积分学参考学时：24学时学习目标：1. 理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求），了解定积分的性质和积分中值定理； 2. 理解原函数与不定积分的概念，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Noewton）莱布尼兹（Leibniz）公式； 3. 掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理

9、函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练）； 4. 掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式； 5. 了解两类反常积分及其收敛性的概念；6. 了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）的思想。知识单元4: 向量与坐标参考学时：4学时学习目标：1理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示；2掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件；3掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。知识单元5: 平面与直线参考学时：4学时学习目标:1.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会

10、利用平面、直线的相互关系解决有关问题。知识单元6: 曲面与空间曲线参考学时：4学时学习目标：1. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；2. 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解曲面的交线在坐标面投影。（二）、实验教学内容高等数学实验坚持以“学生为中心”的原则，围绕高等数学的基本内容，让学生充分利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概念与结论，去体验和了解数学，使学生获得使用计算机解决各种数学问题的知识和能力。通过高等数学实验，学生应能独立地进行实验前预习准备、熟悉一种数学软件的安装、启动、退出，并熟练应用该软件

11、进行一元、二元微积分计算，做到理论清楚，动手熟练，并写出实验报告等。教师则介绍一点主要的思想, 提出问题和任务, 让学生尝试通过自己动手和观察实验结果去发现和总结其中的规律。以下6个实验项目选做4个。实验项目1：一元函数的图形。参考学时：1学时。学习目标：通过图形加深对函数及其性质的认识与理解，掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势，建立数形结合的思想；掌握用数学软件作平面曲线图形的方法与技巧。说明：初等函数的图形；二维参数方程作图；用极坐标命令作图；隐函数作图；分段函数作图；函数性质的研究。实验项目2：极限与连续。参考学时：1学时。学习目标：通过计算与作图，从直观上揭示极限的

12、本质，加深对极限概念的理解。掌握用数学软件画散点图，以及计算极限的方法。深入理解函数连续的概念，熟悉几种间断点的图形特征，理解闭区间上连续函数的几个重要性质。说明：作散点图；数列极限的概念；递归数列；函数的极限；两个重要极限；无穷大；连续与间断。实验项目3：导数。参考学时：1学时。学习目标：深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义。掌握利用数学软件求导数与高阶导数的方法。深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参数方程定义的函数的导数的方法。说明：导数概念；导数的几何意义；求函数的导数与微分；拉格朗日中值定理。实验项目4：导数的应用。参考学时：1学时。学习目标：理解并掌握用函数的导数确定函数的单

13、调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。理解曲线的曲率圆和曲率的概念。进一步熟悉和掌握用一种科学计算软件作平面图形的方法和技巧。掌握用一种科学计算软件求方程的根（包括近似根）和求函数极值（包括近似极值）)的方法。说明：求函数的单调区间；求函数的极值；求函数的凹凸区间和拐点； 求极值的近似值；泰勒公式与函数逼近；求曲线的曲率与曲率圆。实验项目5：一元函数积分。参考学时：1学时。学习目标：掌握用一种科学计算软件计算不定积分与定积分的方法。通过作图和观察，深入理解定积分的概念和思想方法。初步了解定积分的近似计算方法。理解变上限积分的概念。提高应用定积分解决各种问题的能力。说明：用定义计算定积分；不定积分

14、计算；定积分计算；变上限积分； 定积分应用。实验项目6：空间图形的画法。参考学时：1学时。学习目标：掌握用一种科学计算软件绘制空间曲面和曲线的方法。熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征，通过作图和观察，提高空间想像能力。深入理解二次曲面方程及其图形。三、课程学时分配与教学方法（一）理论性教学内容课时分配表教学方式教学时数课程内容（知识单元）理论讲授习题课讨论课备 注小 计知识单元1: 极限与连续性141116学时知识单元2: 一元函数微分学261128学时知识单元3: 一元函数积分学221124学时知识单元4: 向量与坐标2114学时知识单元5: 平面与直线44学时知识单元6: 曲面与空间曲线

15、44学时总 计724480学时（二）实验教学内容课时分配表实验项目名称内 容 提 要所用主要设备或实验环境实验学时每组人数实验属性（基本/综合/设计/研究创新）开出要求(必做/选做)项目1：一元函数的图形用数学软件作平面曲线图形的方法科学计算实验室1学时15-30基本从6个实验项目中任选至少4个。项目2：极限与连续通过计算与作图，从直观上揭示极限和连续的本质1学时15-30基本项目3：导数利用数学软件求导数与高阶导数的方法1学时15-30基本项目4：导数的应用求函数的单调区间、凹凸区间和拐点；求极值的近似值；求曲线的曲率与曲率圆。1学时15-30综合项目5：一元函数积分理解定积分的概念和思想方

16、法，初步了解定积分的近似计算方法。1学时15-30设计项目6：空间图形的画法用一种科学计算软件绘制空间曲面和曲线的方法1学时15-30基本注：数学实验共4学时（三）说明1. 教学方法教学方法采用启发式、讨论式等多种行之有效的教学方法，加强师生之间、学生之间的交流，引导学生独立思考，强化科学思维的训练。2. 教学手段高等数学A1课程的教学中，多媒体的辅助手段恰当运用，不可过多，只能辅助教学。可以采用计算机辅助教学的，主要有：复杂三维图形的多角度展示、动态过程的演示、影像资料的放映、书写量过大难于板书的内容、大量表格、资料、数据、图形的展示、数学人物、数学史简介、集体答疑、序言课、复习课等。3 讨

17、论课为帮助学生理解抽象的数学概念，领会高等数学方法的深刻内涵，为后续大学数学学习做好知识准备，并能够有意识地利用高等数学中的一些理论、方法和技巧解决本专业及相关领域中的实际问题，在高等数学教学和学习中，利用课内和课外时间布置一些讨论题目是非常可行的。借助讨论课，让学生充分参与讨论，加强师生之间、学生之间的交流，调动学生学习的积极性。在实际教学中，教师可以根据实际教学情况安排或调整讨论课内容。讨论课1：极限的概念。参考学时：1学时。涵盖知识单元：极限与连续性。讨论课2：导数和微分及其近似计算。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数微分学。讨论课3：中值定理的几何意义、洛必达（L'Hos

18、pital）法则的应用、极值问题。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数微分学。讨论课4：不定积分与定积分的概念及相互关系，定积分的近似计算问题。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数积分学。4. 习题课高等数学习题课是高等数学课程的重要组成部分，在课堂上可采用边讲边练、精讲多练、以练为主的方式，留出足够时间让学生自己动手做练习。高等数学课程的习题来源比较丰富，有数学历年考研真题、高等数学习题集、课后作业中的疑难问题等。每一章都会安排相应习题课，习题课上精选一些能培养学生分析和解决问题基本能力、巩固所学知识的题目和部分疑难作业题目，结合部分历年考研题目进行讲解，让学生举一反三，力争熟能生巧

19、。习题课内容1：数列与函数的极限。参考学时：1学时。涵盖知识单元：极限与连续性。习题课内容2：函数的连续性。参考学时：1学时。涵盖知识单元：极限与连续性。习题课内容3：导数与高阶导数。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数微分学。习题课内容4：隐函数求导与微分。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数微分学。习题课内容5：微分中值定理。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数微分学。习题课内容6：中值定理的应用。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数微分学。习题课内容7：不定积分的计算。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数积分学。学习目标：牢固掌握不定积分的基本公式；掌握求不定积分的第

20、一类与第二类换元法；掌握求不定积分的分部积分法。习题课内容8：定积分及其应用。参考学时：1学时。涵盖知识单元：一元函数积分学。四、课程自主学习（一）课外作业课外习题是引导学生学习、检查教学效果的重要环节，也是体现课程要求的标志，习题的选取应围绕教学要求强调基本习题训练，降低技巧性习题要求，应尽量精选一些既能培养学生分析和解决问题能力、巩固所学知识、又较贴近应用实际可激发学生学习兴趣的作业。一般每2学时一次作业，可使用教材上的习题，也可自行编制习题集。另外还可布置专题小论文和读书笔记及课外阅读等丰富课外作业内容。在高等数学教学中如下做法是值得提倡的：将数学建模的思想融入课程的教学中去，结合实际问题设计“课外思考案例”，组织“课外学习兴趣小组”，开设深入浅出的近代数学知识讲座，引导学生参加各种级别的数学竞赛和数学建模竞赛。（二）自主学习提高学生自学能力和获取知识能力是重要环节，要适当布置学生自学的讲授内容。利用学生的校园网，提供丰富教学资源，延伸了课堂教学的时空领域，提供了课外学习服务。学生可以利用网络课堂进行自学、复习、个性化学