2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中练习数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中练习数学试题一、单选题1．数列的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.故选：B2．若函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据导数的运算法则及简单的复合函数的导数计算规则计算可得.【详解】因为，所以.故选：A3．二项式的展开式中含项的系数是A．21 B．35 C．84 D．280【答案】C【详解】的系数为：，故选C．4．函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求导数，令求解不等式可得答案.【详解】由题可知，由，解得.所以单调递减区间为.故选：A.5．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合图象，利用平均变化率的定义求解.【详解】因为，，，由图象知，所以．故选：A6．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（

）A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值【答案】D【分析】根据导函数图象可知，的单调性，进而可得的极值，即可得出答案．【详解】解：根据导函数图象可知，在区间，上，，单调递减，在上，，单调递增，所以在处取得极小值，没有极大值，故正确，错误，故选：．7．已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．8．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【解析】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．9．已知函数，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，当直线介于与轴之间符合题意，直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为，求其导数可得，因为，故，故直线的斜率为，故只需直线的斜率.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、填空题11．用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是________．（用数字作答）【答案】14【分析】根据给定条件，求出涂成红色的方格数为偶数的涂色方法数即可计算作答.【详解】当不涂红色时，有种，当红色方格数为2时，有种，所以共有：.故答案为：.12．若等差数列和等比数列满足，，则_______.【答案】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.【解析】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.13．已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.【答案】【详解】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.【解析】1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.14．已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．【答案】.【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解.【详解】设，可得，因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，又由，可得，所以当时，，即不等式的解集为.故答案为：.三、多选题15．设函数，则下列选项正确的是（

）A．为奇函数B．的图象关于点对称C．的最小值为D．若有两个不等实根，则，且【答案】BD【分析】A由奇偶性定义判断正误，B判断是否成立即可，C应用特殊值法有，即可判断正误，D由题设方程有两个不等实根，令转化为当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，应用导数研究单调性并确定极值，根据极值的符号求参数范围.【详解】A：，错误；B：，即的图象关于点对称，正确；C：当时，，错误；D：由题意有，整理得有两个不同实根，显然，令，∴当时，在上与有两个交点，即有两个零点，若得，则上，单调递减；上，单调递增；又，，故仅需在上有两个零点，则；当时，在上与有两个交点，即有两个零点，若得，则上，单调递增；上，单调递减；又，，故仅需在上有两个零点，则；综上，有两个不等实根，则，且，正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：D选项，将问题转化为：当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，进而应用导数研究单调性，根据条件成立时极值的符号求参数范围.四、解答题16．已知等差数列满足，．(1)①求公差；②求数列的通项公式；③设数列的前项和为，求使得最小的的值；(2)若数列是首项为，公比为的等比数列．①求数列的通项公式；②求数列的前项和．【答案】(1)①；②；③，当时，取最小值(2)①；②【分析】（1）①根据直接求解；②根据等差数列的通项公式可求得的表达式；③根据等差数列的求和公式可求得，利用二次函数的基本性质可求得当取最小值时的值；（2）①求出数列的通项公式，结合数列的通项公式可求得数列的通项公式；②利用分组求和法可求得.【详解】（1）解：①因为，，则；②；③，由二次函数的基本性质可知，当时，取最小值.（2）解：①因为数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，；②.17．已知函数．(1)当时，求的单调性和极值；(2)讨论的单调性；(3)若，求在区间的最小值．【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，，(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；（2）求导函数，分，，讨论可得结果；（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.【详解】（1）当时定义域为，且，所以当或时，当时，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以在处取得极大值，在处取得极小值，即，.（2）函数定义域为，则，令，解得或，①当时，则当或时，，当时，，所以的单调增区间为，，单调减区间为；②当时，恒成立，所以在上单调递增；③当时，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；当时在上单调递增；当时的单调递增区间为，，单调递减区间为．（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，若，即时在上单调递减，所以在上的最小值为；若，即时，在单调递减，在单调递增，所以在的最小值为，所以.18．已知函数与函数．(1)若，的图像在点处有公共的切线，求实数a的值；(2)设．①求函数的极值；②试判断函数零点的个数．【答案】(1)(2)①答案见解析；②答案见解析.【分析】（1）因为的图像在点处有公共的切线，，因此则在该点处的导数值相等，得到参数a的值．（2）①设，分别对参数a进行分类讨论：i.时，在上单调递增，无极值；ii.时，用列表法求出函数的极小值.②根据单调性结合极值正负分类讨论函数零点个数.【详解】（1）因为，，所以，.所以点同时在函数的图像上，因为，所以，，由已知，得，所以，即.（2）①因为，所以.i.当时，因为，且所以对恒成立，所以在上单调递增，无极值；ii.当时，令，解得（舍）.列表得：x-0+减函数极小值增函数所以当时，取得极小值，且.综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值.②当时，在上单调递增，函数零点的个数为1；当时，在上单调递,在上单调递增,函数在处取得极小值.设单调递增,单调递减,又,当时，趋近于0时趋近于正无穷大，函数零点的个数为2;当时，趋近于正无穷大时趋近于正无穷大，函数零点的个数为2;当时，在上单调递,在上单调递增,函数在处取得极小值,函数零点的个数为1;当或时，函数零点的个数1;当或时,函数零点的个数2;19．已知，．(1)求曲线在点处的切线；(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围；(3)设，在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)单调递减，理由见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义得曲线在点处的切线方程为，再结合题意得，进而得答案；（2）由题知在区间上有变号零点，进而分和两种情况讨论求解即可；（3）由题知，进而判断的单调性并进而结合得函数在上恒成立，进而判断单调性.【详解】（1）因为，所以，，则，所以函数在出的切线方程为，即.（2）由（1）得，因为函数在区间上存在极值，所以在区间上有变号零点，当时，在区间上单调递增，，故不符合题意；当时，在区间上单调递减，且当趋近于时，趋近于，故要使在区间上有变号零点，则，即，综上，，即的取值范围是.（3）函数在区间上单调递减，理由如下：，，，所以，令，则在恒成立，所以函数在上单调递减，由于，所以函数在上恒成立，所以函数在区间上的单调递减.20．已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和．(1)求的表达式．(2)求数列的通项公式．(3)设，，的前项和为，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分