求曲线的轨迹方程的方法

1、求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程20222022年年5 5月月2828日星期六日星期六成都市新都香城中学数学组李发林成都市新都香城中学数学组李发林几种常见求轨迹方程的方法几种常见求轨迹方程的方法1 1直接法直接法由题设所给由题设所给( (或通过分析图形的几何性或通过分析图形的几何性质而得出质而得出) )的动点所满足的几何条件列的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法得曲线的方程，这种方法叫直接法例例1：已知一曲线是与两个定：已知一曲线是与两个定点点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为1/2A B1AB1结论

2、：到两个定点 、 的距离之比等于常数 的点的轨迹：当 时，轨迹是线段的垂直平分线；当时，轨迹是圆。 的点的轨迹，求此曲线的点的轨迹，求此曲线的方程。教材的方程。教材P.86例例5练习：设两点练习：设两点A A、B B的距离的距离为为8 8，求到，求到A A、B B两点距离两点距离的平方和是的平方和是5050的动点的轨的动点的轨迹方程。迹方程。2 2相关点法相关点法若动点若动点P(xP(x，y)y)随已知曲线上的点随已知曲线上的点Q(xQ(x0 0，y y0 0) )的变动而变动，且的变动而变动，且x x0 0、y y0 0可可用用x x、y y表示，则将表示，则将QQ点坐标表达式代点坐标表达式

3、代入已知曲线方程，即得点入已知曲线方程，即得点P P的轨迹方的轨迹方程这种方法称为相关点法程这种方法称为相关点法( (或代换或代换法法) )例例1：如图，已知点：如图，已知点P是圆是圆x x2y2=16上的一个动点，点上的一个动点，点A是是x轴轴上的定点，坐标为（上的定点，坐标为（12,0）.当当点点P在圆上运动时，求线段在圆上运动时，求线段PA的的中点中点M的轨迹方程。的轨迹方程。教材教材P.88例例6YApXo变式变式1：如图，已知点：如图，已知点P是圆是圆x x2y2=16上的一个动点，点上的一个动点，点A是是x轴上轴上的定点，坐标为（的定点，坐标为（12,0）.当点当点P在在圆上运动时

4、，若圆上运动时，若C分的比为分的比为2，求点求点C的轨迹方程。的轨迹方程。YApXoPA 变式变式2：如图，已知点：如图，已知点P是圆是圆x x2y2=16上的一个动点，点上的一个动点，点A是是x轴上的轴上的定点，坐标为（定点，坐标为（12,0）.若若D点是点是的平分线与的平分线与PA的交点，当点的交点，当点P在圆上在圆上运动时，求点运动时，求点D的轨迹方程。的轨迹方程。YApXoAOP练习：三角形练习：三角形ABCABC的两个顶点的两个顶点A A，B B的坐标分别是的坐标分别是A A（0,00,0），），B B（6,06,0）顶点）顶点C C在曲线在曲线y=xy=x2 2+3+3上上运动，求

5、三角形运动，求三角形ABCABC的重心的重心GG的的轨迹方程。轨迹方程。3 3参数法（交规法）：参数法（交规法）： P, x y当动点当动点P的坐标的坐标x,yx,y之间的直接关系之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变不易建立时，可适当地选取中间变量量t t，并用，并用t t表示动点的坐标表示动点的坐标x,yx,y，从，从而得到动点轨迹的参数方程而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，消去参数t t，便得到动点的轨迹的，便得到动点的轨迹的普通方程。普通方程。( )( )xf tyg t4 4定义法定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的

6、定义直接写出双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件些条件练习：练习：1、一条曲线在、一条曲线在x轴上方，它轴上方，它上面的每一个点到点上面的每一个点到点A(0,2)(0,2)A的距离减去它到的距离减去它到x轴的距离的差都轴的距离的差都是是2，求这条曲线的方程。，求这条曲线的方程。(0,2)A(0,2)A(0,2)AllABC2、A为定点，线段为定点，线段BC在定直在定直线线l上滑动，已知上滑动，已知BC4，A到直线到直线l的距离为的距离为3，求三角，求三角形形ABC的外心的轨迹方程。的外心的轨迹方程。3、过点、过点P（2,4）作两条互）作两条互相垂直的直线相垂直的直线l1,l2, l1交交x轴轴于于A点，点，l2交交y轴于点轴于