第一章 离散时间信号和系统

1、1第一章 离散时间信号和系统 1.1 离散时间信号离散时间信号 1.2 离散时间系统离散时间系统 1.3 线性时不变系统的差分方程描述线性时不变系统的差分方程描述 1.4 连续时间信号的数字处理连续时间信号的数字处理X2第一章学习目标 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。的基本运算，并会判断序列的周期性。 掌握线性掌握线性/移不变移不变/因果因果/稳定的离散时间系统的概念并稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断稳定性判断的充要条件。的

2、充要条件。 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。响应。 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。定理，了解抽样的恢复过程。X31.1 离散时间信号离散时间信号 离散时间信号及其时域表示离散时间信号及其时域表示 序列的基本运算序列的基本运算 常用序列常用序列 序列的周期序列的周期 用单位脉冲序列表示任意序列用单位脉冲序列表示任意序列 序列的能量与功率序列的能量与功率X4 离散时间信号离散时间信号(序列序列) 在物理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，在物

3、理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。通过采样得来的或者是用计算机产生的。 在数学上可用时间序列在数学上可用时间序列 x(n)x(n)来表示。来表示。 其中其中x(n)x(n)代代表序列的第表序列的第n n个样点的数字，个样点的数字，n n代表时间的序号，代表时间的序号，n n的可的可取值范围为取值范围为-n n的整数。的整数。 许多时候为了方便，直接用许多时候为了方便，直接用x(n)x(n)来代表序列全体来代表序列全体 x(n)x(n) 。本书中，离散时间信号与

4、序列将不予区分。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。离散时间信号及其时域表示离散时间信号及其时域表示X5离散时间信号及其时域表示离散时间信号及其时域表示 离散时间信号的时域表示离散时间信号的时域表示 1、枚举式：、枚举式： 例如：例如： 2、公式（封闭式）：、公式（封闭式）： 例如：例如：, 6 . 5, 1 , 2 . 7 , 6 , 0 . 0 ,53. 2 , 7 . 8 , 5 . 1,)(nx)()()(1,01,0)(sin)(njxnxnxbnbananxnnnxIRnnX6离散时间信号及其时域表示离散时间信号及其时域表示 3、图形式：、图形式： 例如：例如：图中横坐标图中横坐

5、标n n表示离散的时间坐标，且仅在表示离散的时间坐标，且仅在n n为整为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。X7序列的基本运算序列的基本运算 序列的加减序列的加减 将两序列序号相同的数值相加减，即：将两序列序号相同的数值相加减，即：)()()(nynxnzX8序列的基本运算序列的基本运算 z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2)z(0)=x(0)+y(0)X9序列的基本运算序列的基本运算 序列的乘积序列的乘积 将两序列序号相同的数值相乘，即：将两序列序号相同的数值相乘，即：)()()(nynxnzX10序列的基本运算序列的基本运算 z

6、(1)=x(1)y(1) z(2)=x(2)y(2)z(0)=x(0)y(0)X11序列的基本运算序列的基本运算 序列的延时序列的延时 将序列全体在时间轴上移动，即：将序列全体在时间轴上移动，即： 时左移，时左移， 时右移，如：时右移，如：)()(0nnxny00n00nX12序列的基本运算序列的基本运算 序列乘常数序列乘常数 序列的反褶序列的反褶 序列的差分序列的差分 同一序列相邻两个样点之差，分为前向差分和后向同一序列相邻两个样点之差，分为前向差分和后向差分差分 前向差分前向差分 后向差分后向差分)()(naxny)() 1()(nxnxnx) 1()()(nxnxnx)2() 1(2)(

7、)()() 1()(2nxnnxnxnxnxnx)()(nxnyX13序列的基本运算序列的基本运算 序列的抽取序列的抽取 将原来的序列每隔将原来的序列每隔M个样点保留一个样点，去掉其个样点保留一个样点，去掉其中的中的M-1个样点而形成的新序列。即：个样点而形成的新序列。即： 例：求如下图所示的序列例：求如下图所示的序列x(n)，经经M=3的抽取运算后的抽取运算后所形成的新的序列所形成的新的序列y(n)。 )()(nMxnyX14序列的基本运算序列的基本运算y(-1)= x(-13)y(0)= x(03)y(1)= x(13)解：X15序列的基本运算序列的基本运算 序列的插值序列的插值 在原来序

8、列的每两个样点之间等间隔的插入在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入L个新的个新的样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。即：样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。即： 显然序列的抽取运算与序列的插值互为逆运算。显然序列的抽取运算与序列的插值互为逆运算。其它02, 0)/()(LLnLnxnyX16序列的基本运算序列的基本运算X17序列的基本运算序列的基本运算)()()(3) 5()(2)()() 1 (, 5, 5,0002)(,0003)(1211312212121nyanxanynxnynxnyaannnxnnnxnn）（）（求：0233505)()()(312113nnnyanxan

9、ynn）（0002)()(121nnnxnyn）（解：5053)5()()2()5(12nnnxnynX18常用序列常用序列 单位（脉冲）序列单位（脉冲）序列0, 00, 1)(nnnmnmnmn, 0, 1)(mn-201mn1-11-2 -1012 nnX19常用序列常用序列 单位阶跃序列单位阶跃序列0, 00, 1)(nnnu.0123nu(n)1)2() 1()()()() 1()()()(0nnnmnnununununm (n)与与u(n)的关系的关系X20常用序列常用序列 矩形序列矩形序列nNnnRN其他0101)(0 123n)(4nR14)()()(NnununRN 与 的关系

10、:)(nRN)(nuX21常用序列常用序列 矩形序列矩形序列njenx)(0)(，式中0为数字频率njenenxnn00sincos)(X22常用序列常用序列复指数序列实部与虚部示意图：复指数序列实部与虚部示意图：X23常用序列常用序列则有：njnnx00sincos)(令 中 = 0 njenenxnn00sincos)(余弦与正弦序列示意图：余弦与正弦序列示意图：X24序列的周期性序列的周期性 定义定义 若序列若序列x(n)x(n)满足满足 且且N N是使其成立的最小正整数是使其成立的最小正整数，则称序列则称序列x(n)x(n)为以为以N N为为周期的周期序列。周期的周期序列。)()(Nn

11、xnxnX25序列的周期性序列的周期性 正弦序列及其周期正弦序列及其周期 按周期序列的定义，按周期序列的定义， 其中其中k为整数，除非为整数，除非p= 2k /0为整数。否则正弦序为整数。否则正弦序列没有周期。列没有周期。)(sin)2sin()sin()(02000knknnnxX26序列的周期性序列的周期性求序列求序列 的周期的周期 。)sin()(34nnxN解：解：)(sin)2sin()sin()(46343434knknnnx324620Nkkkp当当 取取2 2时时，可得到可得到 的最小正周期数的最小正周期数3 3，即序，即序列列 的周期的周期 。kp)(nx3NX27用单位（脉

12、冲）序列表示任意序列用单位（脉冲）序列表示任意序列 任意序列任意序列 都都可用单位（脉冲）序列可用单位（脉冲）序列 表示成表示成样点值的加权和形式，即：样点值的加权和形式，即： 例如对序列例如对序列 用单位脉冲序列的加权可表示为：用单位脉冲序列的加权可表示为： )(nx)(nmmnmxnx)()()(其他01010)(nanxn)()(1010mnanxmmX28序列的能量与功率序列的能量与功率 有界信号：若存在有界常数有界信号：若存在有界常数B，使序列使序列 满足满足 则称序列为有界信号。则称序列为有界信号。 序列的总能量序列的总能量 有界信号的总能量定义为序列各样点值的平方和，有界信号的总

13、能量定义为序列各样点值的平方和，即：即： 当当 时，称信号为能量有限信号。时，称信号为能量有限信号。)(nx Bnx)(nnxE2)(EX29序列的能量与功率序列的能量与功率 若序列的长度为有限长时，只要信号若序列的长度为有限长时，只要信号 为有限值为有限值，则信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限，则信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限长时，即使信号有界，其能量也不一定是有限的。长时，即使信号有界，其能量也不一定是有限的。 序列的平均功率序列的平均功率 1、对非周期序列、对非周期序列 ，若序列为无限长，其平均功率，若序列为无限长，其平均功率定义为：定义为：)(nx)(nxEKnxK

14、PkKKnk121lim)(121lim2X30序列的能量与功率序列的能量与功率 能量为有限值，平均功率等于零的信号称为能量信能量为有限值，平均功率等于零的信号称为能量信号。号。 能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。信号。 2 2、对周期为、对周期为N N的周期序列的周期序列 ，其平均功率定义为：，其平均功率定义为： 显然，周期序列通常为功率信号显然，周期序列通常为功率信号)(nx102)(1NnnxNPX31序列的能量与功率序列的能量与功率设离散信号设离散信号 的表达式为的表达式为试判断该信号是能量信号还是功率信号。试判断该信号是能量

15、信号还是功率信号。)(nx)() 1(6)(nunxn解：解：该信号为有界信号，其总能量为：该信号为有界信号，其总能量为：0236)(nnnxE可见信号的能量是无限的，但其功率为：可见信号的能量是无限的，但其功率为：1812) 1(36lim) 136(121lim0KKKPkKnk该该信号是功率信号。信号是功率信号。X321.2 离散时间系统离散时间系统 离散时间系统的定义和性质离散时间系统的定义和性质 线性时不变离散系统线性时不变离散系统 线性时不变离散系统的基本元件线性时不变离散系统的基本元件 单位脉冲响应与卷积单位脉冲响应与卷积 序列的相关性序列的相关性 离散时间系统的因果性与稳定性离

16、散时间系统的因果性与稳定性X33离散时间系统的定义和性质离散时间系统的定义和性质 定义：指将输入序列变换成输出序列的一种运算电路。定义：指将输入序列变换成输出序列的一种运算电路。 齐次性：齐次性： ax(n) ay (n) 叠加性：叠加性： x1(n)+ x2(n) y1(n)+ y2(n) 线性性：线性性： a1 x1(n)+ a2 x2(n) a1 y1(n)+ a2 y2(n) 时不变性时不变性(延迟性或移不变性延迟性或移不变性)： x (n-m) y (n-m) 差分性：差分性： x (n) y (n) 累加和性：累加和性：nmnmmymx)()(X34线性时不变离散系统线性时不变离散

17、系统 定义定义 同时满足线性性和时不变性的离散时间系统。即：同时满足线性性和时不变性的离散时间系统。即： 线性性线性性)(ny)(nx T)()(nxTny)()()()()()()(,)()(,)()(2211221122112211nyanyanxTanxTanxanxaTnynxTnynxTnyX35线性时不变离散系统线性时不变离散系统 时不变性时不变性 例：试证明以下系统为线性时不变系统。例：试证明以下系统为线性时不变系统。)()(00nnynnxTnmmxnxTny)()()(证明：证明：1 1、线性性、线性性设有序列设有序列 和和 及常数及常数 和和 ，则有，则有 )(1nx)(2

18、nx1a2a)()()()()()()()()()(22112211221122112211nyanyamxTamxTamxamxamxamxanxanxaTnmnmnm该系统为线性系统。X36线性时不变离散系统线性时不变离散系统2 2、时不变性、时不变性：nmkmxknxT)()()()()(knymxixknmkni系统为时不变系统。在上式中令 ，则上式右边变为：kmiX37线性时不变离散系统的基本元件线性时不变离散系统的基本元件 基本元件基本元件 1、加法器、加法器 2、系数乘法器、系数乘法器 3、延时器、延时器X38线性时不变离散系统的基本元件线性时不变离散系统的基本元件 如下图就是利

19、用这些元件实现的一个简单的线性时如下图就是利用这些元件实现的一个简单的线性时不变系统的框图不变系统的框图 其数学表达式为其数学表达式为y(n)=x(n)+ay(n-1)X39单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积 单位脉冲响应单位脉冲响应 线性时不变离散系统任意激励下的响应线性时不变离散系统任意激励下的响应 与单位脉与单位脉冲响应冲响应 之间的关系之间的关系)()(nTnh)(ny)(nh)()()()()()( )()()()(nhnxmnhmxmnTmxmnmxTnxTnymmmX40单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积 离散卷积的性质与计算离散卷积的性质与计算1、卷积的性质

20、：、卷积的性质： 可交换性：可交换性： 结合性：结合性：)()()()()(nxnhnhnxny)()()()()()()()()()()()(211221nhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnxnyX41单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积 分配性：分配性：)()()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnxnyX42单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积 2、卷积的计算、卷积的计算 包括以下四个步骤：反褶、包括以下四个步骤：反褶、 移位、相乘、求和移位、相乘、求和 1)反褶反褶 ，先将，先将x(n)和和h(m)的变量的变量n换成换成m，变成变成 x(m)和

21、和h(m)，再将再将h(m)以以m=0为轴反褶成为轴反褶成h(-m)。 2)移位，将移位，将h(-m)移位移位n，变成变成 h(n-m)，n为正数，右移为正数，右移n位，位，n为负数，左移为负数，左移n位。位。X43单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积 3)相乘，将相乘，将 h(n-m)与与x(m)在相同的对应点相乘。在相同的对应点相乘。 4)求和求和，将所有对应点乘积累加起来，就得到将所有对应点乘积累加起来，就得到n时刻的时刻的卷积值，对所有的卷积值，对所有的n重复以上步骤，就可得到所有的卷重复以上步骤，就可得到所有的卷积值积值y(n)。X44单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散

22、卷积nnnhnnnnx其他其他0201)(0312)(31)()()()()(mmnhmxnhnxny求：求：X45单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积 解：先给出解：先给出x(m)和和h(m)的图形的图形x(m)01231/213/2m012m1h(m)012m1h(m)X46单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积x(m)01231/213/2m1)(ny1n1n2n3n4n5n5nX47单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应与离散卷积012345y(n)n1/23/235/23/223123) 5 (251012311021) 4 (312311121) 3 (2311121)

23、2 (2110121) 1 (yyyyyX48序列的相关性序列的相关性 定义：两个序列定义：两个序列x(n)和和y(n)的线性互相关序列的线性互相关序列rxy(m)为为 式中式中m代表两个序列的相对位移。代表两个序列的相对位移。 式中式中rxy(m)的下标顺序的下标顺序xy表示在上述互相关运算中，表示在上述互相关运算中，x(n)在时间上保持不变，而对在时间上保持不变，而对y(n)进行相对移位。进行相对移位。nnxynymnxmnynxmr)()()()()(X49序列的相关性序列的相关性1 1、上式中、上式中 代表两个序列代表两个序列 和和 间的相对位移。间的相对位移。2 2、序列的互相关运算

24、用于比较两个序列之间的相似性，、序列的互相关运算用于比较两个序列之间的相似性，并根据这种相似性进行信号的检测和测量。并根据这种相似性进行信号的检测和测量。3 3、序列的互相关运算也是一种运算，该运算方式形式上、序列的互相关运算也是一种运算，该运算方式形式上十分类似于卷积运算，因此应格外注意二者的区别。十分类似于卷积运算，因此应格外注意二者的区别。m)(nx)(nyX50序列的相关性序列的相关性 如果反过来如果反过来y(n)在时间上保持不变，而对在时间上保持不变，而对x(n)进行相进行相对移位对移位,则结果则结果ryx(m)为为)()()()()()(mrkxmkymnxnymrxyknyxX5

25、1序列的相关性序列的相关性 线性自相关线性自相关 若若x(n)=y(n)，则称为则称为x(n)的线性自相关，即的线性自相关，即 显然，当显然，当m=0时，有时，有nxxmnxnxmr)()()(Enxrnxx)()0(2X52序列的相关性序列的相关性 卷积运算与相关运算的关系卷积运算与相关运算的关系 上式说明序列上式说明序列y(n)相对参考序列相对参考序列x(n)的互相关运算，的互相关运算，可以将可以将y(n)通过具有单位脉冲响应为通过具有单位脉冲响应为x(-n)的线性时不的线性时不变系统得到。变系统得到。nnnxymxmynmxnymnxnymnynxmr)()()()()()()()()(

26、X53离散时间系统的因果性与稳定性离散时间系统的因果性与稳定性 系统的因果性系统的因果性 因果性是指系统在因果性是指系统在n时刻的输出只取决于时刻的输出只取决于n时刻以及时刻以及n时刻以前的输入，而与时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关。时刻以后的输入无关。 系统的因果性表明了系统的物理可实现性。系统的因果性表明了系统的物理可实现性。 如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，是物理不可实现的。果系统，是物理不可实现的。 线性时不变因果系统的充要条件为线性时不变因果系统的充要条件为 h(n)=h(n)u(n)X54离散时间系统的因果性与

27、稳定性离散时间系统的因果性与稳定性 证明：证明： 充分性充分性 若若nn0的的x(m)无关。无关。 因此，该系统为因果性系统。因此，该系统为因果性系统。mmnhmxny)()()(0)()()(00nmmnhmxnyX55离散时间系统的因果性与稳定性离散时间系统的因果性与稳定性 必要性必要性 ：采用反证法。假定系统为因果性：采用反证法。假定系统为因果性 系统，但在系统，但在n0时时h(n)0，按卷积公式，对于任何输入按卷积公式，对于任何输入x(n)，n0时时刻的其输出刻的其输出y(n0)为为 这样，由于这样，由于n n0的的x (m) 有关，与系统是因果性有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因

28、此必须有系统的假设矛盾。因此必须有n0时时h(n)=0。 证毕。证毕。100000)()()()()(nmnmmnhmxmnhmxnyX56离散时间系统的因果性与稳定性离散时间系统的因果性与稳定性 系统的稳定性系统的稳定性 系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也应是有界的。通常称这种稳定性为有界输入应是有界的。通常称这种稳定性为有界输入有界输有界输出出(BIBO)稳定性。稳定性。 系统的稳定条件为系统的稳定条件为nnh)(X57离散时间系统的因果性与稳定性离散时间系统的因果性与稳定性证明：充分性证明：充分性KMihKmnhKmnhmxmnhmx

29、nyKnxMnhimmmn)()()()()()()()()(则有界，若信号设可见，输入是有界时，输出亦有界，因此系统为因果系统。可见，输入是有界时，输出亦有界，因此系统为因果系统。X58离散时间系统的因果性与稳定性离散时间系统的因果性与稳定性必要性必要性 采用反证法。采用反证法。mmmnmhmhmhmxynhnhnxnh)()()()()0(0)(10)(1)()(则现在令有界输入为。且有假定系统为稳定系统，即对有界的输入，输出为无界，与系统稳定性的假设矛盾。即对有界的输入，输出为无界，与系统稳定性的假设矛盾。X59离散时间系统的因果性与稳定性离散时间系统的因果性与稳定性 若系统的单位脉冲响

30、应为若系统的单位脉冲响应为 h(n)=-anu(-n-1) ， 讨论系统的因果性与稳定性。讨论系统的因果性与稳定性。 解：解： 因果性因果性 因在因在n0时，时，h(n)0， 故系统为非因果系统故系统为非因果系统 稳定性稳定性nnnnnaaaaanh111111)(不稳定稳定X601.3 线性时不变系统的描述线性时不变系统的描述 差分方程描述差分方程描述 差分方程的求解差分方程的求解X61差分方程描述差分方程描述 N阶前向差分方程阶前向差分方程 式中，式中，x (n), y(n)分别为激励与响应。前向差分方分别为激励与响应。前向差分方程多用于状态变量分析法。程多用于状态变量分析法。)() 1(

31、) 1()()() 1() 1()(011011nxbnxbMnxbMnxbnyanyaNnyaNnyMMNX62差分方程描述差分方程描述 n阶后向差分方程阶后向差分方程后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。NkMmmkmnxbknya00)()()() 1() 1()()() 1() 1()(011011nxbnxbMnxbMnxbnyanyaNnyaNnyMMN或X63差分方程的求解差分方程的求解 递推法递推法 经典解法经典解法 时域解法时域解法 Z域分析法域分析法X64差分方程的求解差分方程的求解 例例 试求一阶差分方程试求一阶差分方

32、程y(n)= ay(n-1) +x(n) 的单位脉冲响的单位脉冲响应，初始条件为应，初始条件为y(n)=0(n0)。 解：对单位脉冲响应解：对单位脉冲响应, x(n)=(n),y(n)=h(n), 上式可变为上式可变为h(n)=ah(n-1)+ (n) h(0)=1 h(1)=ah(0)+ 0=a h(2)=ah(1)+ 0=a2 h(n)=ah(n-1)+ 0= an 写成一般形式为写成一般形式为 h(n)= anu(n) 为因果系统为因果系统X65差分方程的求解差分方程的求解 一个一个常系数线性差分方程是否因果系统，由常系数线性差分方程是否因果系统，由边界条件（初始）所决定。边界条件（初始

33、）所决定。 即初始条件具有即初始条件具有y(n)=0(n0方向递推，其解一般为因果的，方向递推，其解一般为因果的，反之为非因果。反之为非因果。X661.4 连续时间信号的数字处理连续时间信号的数字处理 抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器 带通信号的抽样带通信号的抽样X671.4 连续时间信号的数字处理连续时间信号的数字处理 本节主要介绍模拟信号与数字信号之间相互转换的本节主要介绍模拟信号与数字信号之间相互转换的基本数学原理。基本数学原理。 为了利用数字系统来处理模拟信号，必须先将模拟为了利用数字系统来处理模拟信号，必须先将模拟信号转换成数

34、字信号，在数字系统中进行处理后在转信号转换成数字信号，在数字系统中进行处理后在转换成模拟信号。其典型框图如下：换成模拟信号。其典型框图如下：X68抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 模拟信号数字处理第一步就是将在时间上连续的模模拟信号数字处理第一步就是将在时间上连续的模拟信号离散化，使之成为在时间上离散的信号。拟信号离散化，使之成为在时间上离散的信号。 抽样是将连续时间信号离散化的过程，它仅抽取信抽样是将连续时间信号离散化的过程，它仅抽取信号波形某些时刻的样值。号波形某些时刻的样值。 抽样分为均匀抽样和非均匀抽样，当抽样是可取均抽样分为均匀抽样和非均匀抽样，当抽样是可取均匀等间隔点时为均匀

35、抽样，否则为非均匀抽样。实际匀等间隔点时为均匀抽样，否则为非均匀抽样。实际抽样多为均匀抽样。抽样多为均匀抽样。X69抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 理想理想抽样及其频谱抽样及其频谱 抽样过程：均匀抽样可以看作为一个脉冲调制过程，抽样过程：均匀抽样可以看作为一个脉冲调制过程，数学表示为数学表示为 xa(t)为调制信号即输入的模拟信号为调制信号即输入的模拟信号， p(t)为载波信号为载波信号是一串周期为是一串周期为T，脉宽为脉宽为的矩形脉冲串的矩形脉冲串，调制后输出调制后输出的信号就是抽样信号的信号就是抽样信号 。 理想抽样：当理想抽样：当 趋于零的极限情况时趋于零的极限情况时， 脉冲序列

36、脉冲序列p(t)变成了冲击函数串，称为理想抽样。变成了冲击函数串，称为理想抽样。)()()(tptxtxaa)(txaX70抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 理想抽样过程示意图理想抽样过程示意图X71抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 用用M(t)表示冲击函数串表示冲击函数串M(t)= 因此因此 实际上是实际上是xa(t)在离散时刻在离散时刻mT的取值的取值xa(mT)的集合。的集合。mmTttM)()(mamaaamTtmTxmTttxtMtxtx)()()()()()()()(txaX72抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 抽样信号抽样信号 的频谱的频谱 由频域卷积定理得：由

37、频域卷积定理得： 其中其中)(txa 表示傅里叶变换其中设)()()()(FtxFjXtMFjMtxFjXaaaadtetxtxFjXjtaaa)()()(ksstjkkeTFtMFjMs)(1)()()()(21)()()(jMjXtMtxFjXaaaX73抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 将将Xa(j)和和M(j)带入带入 式中，得式中，得)(jxa ksaksaksamassajkjXTdkjXTdkjXTjXkjX)(1)(1)(1 )()(21)(X74抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 即即 可见可见,一个连续时间信号经过理想抽样后一个连续时间信号经过理想抽样后,其频谱为

38、周其频谱为周期性信号，且以抽样频率期性信号，且以抽样频率s=2/T为间隔周期重复。为间隔周期重复。ksaajkjXTjX)(1)(X75抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 如图所示（图中仅为其幅度谱）：如图所示（图中仅为其幅度谱）：X76抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 理想抽样信号的频谱周期延拓图示例说明理想抽样信号的频谱周期延拓图示例说明 1、如果、如果xa(t)的频谱的频谱 Xa(j)为为 被限制在某一最高频率被限制在某一最高频率h范围内，其频谱如图范围内，其频谱如图a所所示，则称其为带限信号。对带限信号的抽样满足示，则称其为带限信号。对带限信号的抽样满足h s/2时时,原来频

39、谱和各次延拓分量的频谱不重叠原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠,如图如图b所示，如采用一个截止频率为所示，如采用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器的理想低通滤波器对抽样信号进行滤波，就可以不失真的还原出原来的对抽样信号进行滤波，就可以不失真的还原出原来的连续信号。连续信号。)(jXa0hjXahX77抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 2、但如果信号的最高频率、但如果信号的最高频率h超过超过 s/2,则各周期延拓则各周期延拓分量产生频谱的交集分量产生频谱的交集,将无法不是真的还原出原来的连将无法不是真的还原出原来的连续信号，即产生了续信号，即产生了“混叠失真混叠失真”，如图，如图c所示。

40、所示。 s/2通常称为折叠频率或奈奎斯特频率通常称为折叠频率或奈奎斯特频率。 要想连续带限信号抽样后能够不失真地还原出原信要想连续带限信号抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率高频率(h s/2)，这就是奈奎斯特抽样定理。，这就是奈奎斯特抽样定理。X78抽样定理与抽样定理与A/D转换器转换器 A/DA/D转换器的基本原理转换器的基本原理 任何任何A/DA/D转换器必须包括以下三个基本功能：转换器必须包括以下三个基本功能： 抽样、抽样保持、量化与编码抽样、抽样保持、量化与编码X79抽样定理与抽样定理与A/D转

41、换器转换器 量化：将无限精度的抽样信号的幅度离散化，使之量化：将无限精度的抽样信号的幅度离散化，使之变成能用有限字长表示的数字信号。变成能用有限字长表示的数字信号。 编码：将经量化的数字信号最终表示成为数字系统编码：将经量化的数字信号最终表示成为数字系统所能接受并对其实施处理与传输的形式。所能接受并对其实施处理与传输的形式。 抽样保持：由于对抽样信号抽样点的值进行量化和抽样保持：由于对抽样信号抽样点的值进行量化和编码都需要时间，为了保证在量化和编码期间其值不编码都需要时间，为了保证在量化和编码期间其值不发生改变，在此之前需对抽样点值加以保持。发生改变，在此之前需对抽样点值加以保持。X80抽样信

42、号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器 抽样信号的恢复抽样信号的恢复 如果抽样信号如果抽样信号 或或 通过一理想低通滤波通过一理想低通滤波器器 ，就可恢复原信号，就可恢复原信号 或或 。 txajXa)2(s txajXaX81抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器 由抽样信号恢复原来的连续时间信号的过程的数学原由抽样信号恢复原来的连续时间信号的过程的数学原理理 1）低通滤波器）低通滤波器 的冲激响应的冲激响应h(t)(sin)/()/sin(/)/sin()()(/TtTctTtTttdeTdejHthssstjtjss22222122其中，X82抽样信号的恢复与抽样信号的

43、恢复与D/A转换器转换器2）理想）理想低通滤波器低通滤波器(filter)的输出的输出 mamamamaaamTtTcmTxmTthmTxdthmTmTxdthmTmTxdthxtysin)(抽样内插公式内插函数X83抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器3）内插函数）内插函数 的特性：的特性：)(sinmTtTc内插函数波形在抽样点在抽样点mT上，其值为上，其值为1;其余抽样点上，其值为其余抽样点上，其值为0。这保证了各抽样点上信号值不变。这保证了各抽样点上信号值不变。X84抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器4）由抽样）由抽样内插公式所决定的信号内插恢复过程内插公

44、式所决定的信号内插恢复过程（1 1）在抽样点上，信号值不变。）在抽样点上，信号值不变。（2 2）抽样点之间的信号则由幅度为抽样值的各内插函数）抽样点之间的信号则由幅度为抽样值的各内插函数的波形延伸叠加而成。如下图所示：的波形延伸叠加而成。如下图所示： maamTtTcmTxtxsin)(txaT2T3T04TtX85抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器 D/A D/A 转换器的基本原理转换器的基本原理 译码将数字信号译码将数字信号x(n)转换成抽样信号转换成抽样信号x(nT)= ，零阶保持器的作用是将每个抽样信号的样值保持一个零阶保持器的作用是将每个抽样信号的样值保持一个抽样间隔

45、宽度，直到下一个抽样时刻，相当于在一个抽样间隔宽度，直到下一个抽样时刻，相当于在一个抽样间隔内进行常数内插，变成模拟信号抽样间隔内进行常数内插，变成模拟信号 。图。图形如下：形如下：)(tXa)( tXaX86抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器X87抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器 零阶保持器的单位冲击响应零阶保持器的单位冲击响应h1(t)及其频率响应及其频率响应H1(j)分别为分别为h1(t)=1 0 tT0 其他2/0112/)2/sin()()(TjTtjtjeTTTdtedtethtHX88抽样信号的恢复与抽样信号的恢复与D/A转换器转换器 其时域与频域幅度波形图分别如下：其时域与频域幅度波形图分别如下： 由由H1(j)的波形可见，它是一个低通滤波器，能起的波形可见，它是一个低通滤波器，能起到将抽样信号转换成模拟信号的作用。到将抽样信号转换成模拟信号的作用。X89带通信号的抽样带通信号的抽样 带通信号带通信号 频谱范围被限制在