点和直线投影课件

1、第 一 章投影法和点、直线、平面的投影空间物体在灯光或日光的照射下，会在地面或空间物体在灯光或日光的照射下，会在地面或在墙壁上出现它的影子。在墙壁上出现它的影子。投影法就是根据这一自然现象，并经过科学的投影法就是根据这一自然现象，并经过科学的抽象，总结出的用投射在平面上的图形表示空间物抽象，总结出的用投射在平面上的图形表示空间物体形状的方法。所得的图形称为物体的投影，投影体形状的方法。所得的图形称为物体的投影，投影所在的平面，称为投影面。所在的平面，称为投影面。 投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透

2、视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差度量性较差投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变小也改变平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投射线互相平行投射线互相平行

3、且垂直于投影面且垂直于投影面投射线互相平行投射线互相平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法VV1.多面正投影图多面正投影图PZ1X1O1Y1ZOXYS2.轴测投影图轴测投影图3.建筑投影图建筑投影图 Pb AP采用多面投影采用多面投影。 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。a 解决办法？解决办法？1-2 点的投影点的投影1.1.三投影面体系的建立三投影面体系的建立HVWHWV2. 2. 点的三面投

4、影点的三面投影投影面投影面正面投影面正面投影面（简称正面或（简称正面或V面）面）水平投影面水平投影面（简称水平面或（简称水平面或H面）面）侧面投影面侧面投影面（简称侧面或（简称侧面或W面）面）投影轴投影轴OXZOX轴轴 V面与面与 H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直WHVOX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字

5、母表示。a aa AZYWVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXO azxYHYWXYZOVHWA(x,y,z)aa a 点的投影规律点的投影规律:点的投影连线点的投影连线投影轴投影轴 点的投影到投影轴的距离点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标等于点的坐标,也就是也就是 等于该点到对应的相临投影面的距离。即：等于该点到对应的相临投影面的距离。即： aay = a az = =A到到面的距离面的距离 aax = a az = =A到到 面的距离面的距离a ax = a ay = =A到到 面的距离面的距离xaazayY

6、WZaza XYHayOaaxaya xyza aax例例1：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa H HV VO OX Xaabbcc3 .3 .特殊点的投影特殊点的投影H HV Vo ox xCccabBbAa 点的点的x x、y y、z z三个坐标均不为零，其三三个坐标均不为零，其三个投影都不在坐标轴上。个投影都不在坐标轴上。 点的某一个坐标为零，其一个点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影投影与投影

7、面重合，另外两个投影分别在投影轴上。轴上。 点的两个坐标为零，其两个投点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 点的三个坐标为零，三个投点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。影都与原点重合。4、两点的相对位置、两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bB点在点在A点之前、点之前、之右、之下之右、之下XYHYWZXOZY

8、aaabbbXZYWYHOaaabbbBA例例2：判断：判断A、B的相对位置的相对位置B点在点在A点之后、之左、之下点之后、之左、之下5 .重影点：重影点： 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a cc(c)ddCDa(b)abAB 重影特点重影特点: 正面投影正面投影:前遮后；前遮后； 水平投影水平投影:上遮下；上遮下； 侧面投影侧面投影:左遮右

9、。左遮右。a a aXZYWYHOb bb 985例例3:已知已知A点在点在B点之前点之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米毫米 求求A点的投影。点的投影。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2 2.2 直直 线线2022-5-22232.2.3 2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角求直线的真长及其对投影面的倾角2.2.1 2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种直线的投影以及直线对投影面的各种 相对位置相对位置2.2.2

10、 2.2.2 直线上的点直线上的点2.2.4 2.2.4 两直线的相对位置两直线的相对位置2.2.5 2.2.5 一边平行于投影面的直角的投影一边平行于投影面的直角的投影Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.12.2.1直线的投影以及直线对投影面的各种直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置相对位置2022-5-2224投影特性：投影特性： 除直线垂直于投影面，除直线垂直于投影面，在该投影面上的投影积聚在该投影面上的投影积聚成一点外，直线的投影仍

11、成一点外，直线的投影仍为直线，只要作出两个端为直线，只要作出两个端点的投影，就能连成直线点的投影，就能连成直线的投影。平行于投影面的的投影。平行于投影面的直线在该投影面上的投影，直线在该投影面上的投影，与直线本身平行且等长；与直线本身平行且等长；倾斜于投影面的直线在该倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影短于直线投影面上的投影短于直线的真长。的真长。图图 直线的投影直线的投影1. 1. 直线的投影直线的投影Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.直线

12、对投影面的各种相对位置直线对投影面的各种相对位置2022-5-2225直线对投影面直线对投影面H、V、W的相对位置的分类如下的相对位置的分类如下: 一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线)直线 投影面平行线：仅平行于一个投影面的直线 特殊位置直线 (V：正平线；H：水平线；W：侧平线) 投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线 (V：正垂线；H：铅垂线；W：侧垂线)倾角：直线与投影面的真实夹角，也就是空间直线与其在投影面上的 投影的夹角。直线与H、V、W面的倾角分别用、表示。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2

13、 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线(1)(1)一般位置直线2022-5-2226图图 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，长度缩三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线对投影面的倾角。短，不能直接反映直线对投影面的倾角。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线(2)(2)投影面平行线2022-5-2227表表 投影面平行线的投影特性投

14、影面平行线的投影特性Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线(3)(3)投影面垂直线2022-5-2228表表 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.2 2.2.2 直线上的点直线上的点2022-5-2229图图 直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性1.1.直线

15、上的点的投影特性直线上的点的投影特性第一个投影特性：第一个投影特性：直直线上的点的投影，必线上的点的投影，必在直线的同面投影上。在直线的同面投影上。第二个投影特性：第二个投影特性：若若直线不垂直于投影面，直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割则直线段上的点分割线段的长度比，与该线段的长度比，与该点的投影分割直线段点的投影分割直线段同面投影的长度比相同面投影的长度比相等。等。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线1.1.直线上的点的投影特性直线上的点的投影

16、特性2022-5-2230图图 检验点是否在直线上检验点是否在直线上 按直线上的点的按直线上的点的第一个投影特性第一个投影特性可知：点可知：点C、F的投影分别在直线的投影分别在直线AB、DE的同面投影上，所以的同面投影上，所以点点C、F分别是直线分别是直线AB、DE上的点上的点；而点；而点I的正面投的正面投影影i不在直线不在直线GH的正面投影的正面投影gh上，所以上，所以点点I不是直线不是直线GH上的点上的点。 点点L的两个投影都分别在的两个投影都分别在直线直线JK的同面投影上，是否能确定的同面投影上，是否能确定点点L在在直线直线JK上呢？上呢？ 从作图可明显地看出：从作图可明显地看出：jl

17、lkjl lk，不符合直线上的点的，不符合直线上的点的第二个第二个投影特性投影特性，从而断定，从而断定点点L不在直线不在直线JK上上。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.6如图所示，已知直线AB，在AB上取点C和D，点C距H面10mm，点D分割AB成AD DB=3 1，作点C和D的两面投影。2022-5-2231解解在在OX轴之上轴之上10mm处作水处作水平线，与平线，与ab交得交得c。由由c引投影连线，与引投影连线，与ab交得交得c。从从a作

18、任意方向的直线，在作任意方向的直线，在其上由其上由a任取长度单位顺次量任取长度单位顺次量取四个单位，得点取四个单位，得点1、2、3、4。连连4 4和和b，由，由3 3作作4 4b的平行的平行线，与线，与ab交得交得d。由由d引投影连线，与引投影连线，与ab交交得得d。图图 作直线作直线AB上的点上的点C和和D( (a) )已知条件已知条件( (b) )作图过程和结果作图过程和结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.7如图a所示，已知直线AB以及

19、点C、D，检验点C、D是否在直线AB上。2022-5-2232解解图图 检验点检验点C和和D是否在直线是否在直线AB上上(d) 检验方法二检验方法二(c) 检验方法一检验方法一(b)(b)立体图立体图(a)(a)已知条件已知条件(1)(1)检验方法一检验方法一: :补出第三面投影补出第三面投影(2)(2)检验方法二检验方法二: :运用定比分点运用定比分点Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.8如图a所示，已知直线AB，并知直线AB上的点C距离侧面

20、W10mm，作点C的两面投影。2022-5-2233解解图图 作直线作直线AB上的点上的点C(a) 已知条件已知条件(b) 作图过程和作图结果作图过程和作图结果在正面投影中作距离在正面投影中作距离OZ轴轴10mm10mm的铅垂线，与的铅垂线，与ab交得交得c。运用定比分点运用定比分点:作作ac0= ac, c0b0=cb。连。连b0b，过，过c0作作b0b的平行线，与的平行线，与ab交得交得c。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2. 2. 直线的迹点

21、直线的迹点2022-5-2234 直线与投影面的交点，称为直线与投影面的交点，称为迹点迹点。直线与水平面。直线与水平面H、正面正面V、侧面、侧面W的交点，分别称为直线的的交点，分别称为直线的水平迹点水平迹点(H面面迹点迹点)、正面迹点正面迹点(V面迹点面迹点)、侧面迹点侧面迹点(W面迹点面迹点)，常常，常常分别用字母分别用字母M、N、S表示。表示。图图 在在H、V两面体系中的直线的迹点两面体系中的直线的迹点(a)立体图立体图(b)投影图投影图Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章

22、 画法几何 2.2 直 线2. 2. 直线的迹点直线的迹点2022-5-2235图图 在在V、W两面体系中的直线的迹点两面体系中的直线的迹点(a) 立体图立体图(b) 投影图投影图Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.3 2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角求直线的真长及其对投影面的倾角2022-5-22361.1.求线段的真长及其对投影面的倾角求线段的真长及其对投影面的倾角图图 用直角三角形法求作一般位置直线的真长与倾角用直角三角形法求作

23、一般位置直线的真长与倾角(a)(a)立体图立体图(b)(b)作法一作法一Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线1.1.求线段的真长及其对投影面的倾角求线段的真长及其对投影面的倾角2022-5-2237图图 用直角三角形法求作一般位置直线的真长与倾角用直角三角形法求作一般位置直线的真长与倾角(a)(a)立体图立体图(c)(c)作法二作法二Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线

24、Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.9如图a所示，求直线AB的真长及其对投影面H、V的倾角 、 。2022-5-2238解解图图 作作ABAB的真长及倾角的真长及倾角(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.已知直线的真长和倾角求解有关的定位和度量问已知直线的真长和倾角求解有关的定位和度量问题题2022-5-2239例题例题2.10如图如图a所

25、示，已知直线所示，已知直线CD的两面投影，求的两面投影，求CD对对投影面投影面V、W的倾角的倾角 、，并在、，并在CD上取一点上取一点T，T与与C的真实的真实距离为距离为10mm，作点，作点T的两面投影。的两面投影。图图 作作CD的倾角的倾角 、 ，并在，并在CD上取离上取离C点点10mm10mm的点的点T(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)方法一方法一解解 方法一方法一: :Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.102022-5-2240图

26、图 作作CD的倾角的倾角 、 ，并在，并在CD上取离上取离C点点10mm10mm的点的点T(c)(c)方法二方法二(a)(a)已知条件已知条件方法二方法二: :Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.11如图a所示，已知直线EF的水平投影ef和端点E的正面投影e，并知EF的真长为20mm，补全EF的正面投影ef，同时，请回答这个题目有几解。2022-5-2241图图 已知已知EF的真长，补全的真长，补全ef，并回答有几解，并回答有几解(a)已知条件

27、已知条件(b)方法一方法一(c)方法二方法二解解方法一方法一: :方法二方法二: :Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.12如图a所示，已知直线PQ的端点P，并知PQ的真长为25mm，PQ对H面的倾角 =30，对V面的倾角 =45，作PQ的两面投影。同时，请回答这个题目有几解(图中只要作出从P向Q为向右、向后、向下的一个解答)。2022-5-2242图图 已知已知PQ的真长及倾角的真长及倾角 、 ，作，作PQ，并回答有几解，并回答有几解(a)(

28、a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和结果作图过程和结果解解根据真长和倾角 ，求水平投影长pq和z坐标差。根据真长和倾角 ，求y坐标差。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.4 2.2.4 两直线的相对位置两直线的相对位置2022-5-2243 异面 斜交直线与直线 相交 共面 正交 平行Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章

29、画法几何 2.2 直 线1.1.不同相对位置的两直线的投影特性不同相对位置的两直线的投影特性2022-5-2244(1)(1)两直线平行两直线平行图图 两直线平行两直线平行投影特性投影特性: :平行两直线的同面投影都分别互相平行。平行两直线的同面投影都分别互相平行。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线(2)(2)两直线相交2022-5-2245图图 两直线相交两直线相交投影特性投影特性: : 相交两直线的相交两直线的同面投影都分别相同面投影都分别相交；

30、并且，同面投交；并且，同面投影的交点是同一点影的交点是同一点的投影，这个点就的投影，这个点就是两直线的交点。是两直线的交点。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线(3)(3)两直线交叉( (异面）2022-5-2246图图 交叉两直线的投影图交叉两直线的投影图投影特性投影特性: :交叉两直线的同交叉两直线的同面投影有的相交，有的平行；面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分别相交，或者同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一但同面投影的交点不是同一

31、点的投影。（既点的投影。（既不相交不相交又又不不平行平行即为即为交叉交叉）(a)(a)同面投影相交同面投影相交 (b) (b)同面投影平行同面投影平行图图2.34 2.34 两直线交叉两直线交叉交叉两直线的同面投影的交点交叉两直线的同面投影的交点( (是各条直线上的一个点构成的是各条直线上的一个点构成的) )称为称为重影点重影点。重影点的可见性通过点的相对重影点的可见性通过点的相对位置进行判断。位置进行判断。如对如对H面的重面的重影点影点和和，点，点在上在上 在在下，故下，故可见，其可见，其H面投影标面投影标记为记为1 1（2 2）。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线

32、Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.两直线相对位置的检验题和作图题示例两直线相对位置的检验题和作图题示例2022-5-2247例题例题2.132.13如图如图a a所示，检验直线所示，检验直线AB、CD的相对位置。的相对位置。(a)(a)已知条件和目估检验已知条件和目估检验 (b) (b)扩展成三面体系检验扩展成三面体系检验图图 检验两直线的相对位置检验两直线的相对位置( (一一) )解解(1)(1)目估检验目估检验: : 侧平线侧平线ABAB从从A A到到B B的趋向是从后上的趋向是从后上到前下，而侧

33、平到前下，而侧平线线CDCD从从C C到到D D的趋的趋向是从前上到后向是从前上到后下，趋向不同，下，趋向不同，直线直线ABAB和和CDCD不可不可能平行，因而就能平行，因而就检定出直线检定出直线ABAB和和CDCD的相对位置是的相对位置是交叉。交叉。(2)(2)补出第三面补出第三面投影：如第三面投影：如第三面投影也互相平行，投影也互相平行，则这两直线平行；则这两直线平行；如第三面投影相如第三面投影相交，则这两直线交，则这两直线交叉。交叉。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章

34、画法几何 2.2 直 线例题2.142.14如图a a所示，检验直线AB、CD的相对位置。2022-5-2248解解图图 检验两直线的相对位置检验两直线的相对位置( (二二) )(a)(a)已知条件和目估检验已知条件和目估检验 (b)(b)扩展成三面体系检验扩展成三面体系检验(c)(c)在两面体系投影在两面体系投影图中作图检验图中作图检验(1)(1)目估检验目估检验: :侧平线侧平线ABAB与与CDCD，趋向相同，直线，趋向相同，直线ABAB和和CDCD可能平行，可能平行，也可能交叉。也可能交叉。(2)(2)补出第三面投影：补出第三面投影：由于侧面投影由于侧面投影abcd，所以直线，所以直线A

35、BCD。法二：直接在两面体系的投影图中进行作图检验：法二：直接在两面体系的投影图中进行作图检验：检验的结果是检验的结果是ab0 0cd0 0，于是便检定出，于是便检定出AB与与CD互相平行。互相平行。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.15已知如图a所示，求直线PR,使PR与AB交于点P，与CD交于点Q，平行于EF，点R在PQ沿着P到Q方向的延长线上，PR的真长为30mm。作直线PR的两面投影；同时作出点Q的两面投影。2022-5-2249解解

36、分析：分析：图图a a已显示已显示ABAB是铅垂线，是铅垂线，CDCD是侧平线。是侧平线。直线直线PR与与AB相相交，且平行于交，且平行于EF，则直线则直线PR的水平投影必过的水平投影必过AB的积聚性的积聚性投影且平行于投影且平行于EF的水平投影；的水平投影；又由于又由于PR与与CD相交，则相交，则PR的的水平投影与水平投影与CD水平投影的交水平投影的交点即为点即为PR与与CD相交的交点的相交的交点的水平投影。水平投影。图图 作线段作线段PR的投影的投影(a)(a)已知条件已知条件Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2

37、直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.15解作图步骤：作图步骤：2022-5-2250图图 作线段作线段PR的投影的投影(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果（1）过）过AB的有积聚的有积聚性的水平投影性的水平投影ab，作，作pg/ef,与与cd交于点交于点q；（2）求）求PR与与CD交交点点Q的正面投影的正面投影q；（3）过）过q作作p g /e f ；（4）求）求PG的实长；的实长；（5）求）求PR的投影。的投影。结束结束Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wa

38、ng chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.5 2.2.5 一边平行于投影面的直角的投影一边平行于投影面的直角的投影2022-5-2251图图 一边平行于投影面的直角的投影特性一边平行于投影面的直角的投影特性(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图1.1.两直线相交成直角的投影特性两直线相交成直角的投影特性(1)(1)当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。(2)(2)当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。(3

39、)(3)当直角的一当直角的一边平行于投影边平行于投影面，另一边倾面，另一边倾斜于投影面时，斜于投影面时，在该投影面上在该投影面上的投影仍是直的投影仍是直角；而另一边角；而另一边垂直于投影面垂直于投影面时，在该投影时，在该投影面上的投影成面上的投影成为一条直线。为一条直线。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线图 一边平行于投影面和两边都平行于同一投影面时的直角的投影图示例2022-5-2252Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线W

40、ang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.16 如图2.41a所示，已知点A和正平线BC，过点A作BC的垂线AD和垂足D，并求出点A和BC间的真实距离。2022-5-2253图图 过点过点A A作正平线作正平线BCBC的垂线，并求的垂线，并求A A与与BCBC的距离的距离(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解过过a作作adbc；由；由d作投影连线，与作投影连线，与bc交得交得d。d、d即为所求垂足即为所求垂足D的两面投影。的两面投影。连连a与与d，ad、ad即为所求垂线

41、即为所求垂线AD的两面投影。的两面投影。求求ADAD的真长，即为点的真长，即为点A A和正平线和正平线BCBC间的真实距离。间的真实距离。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题2.17如图2.42a所示，已知铅垂线AB和一般位置直线CD，作这两条交叉直线AB、CD的公垂线EF，EF与AB、CD的垂足分别为E、F，并表明AB、CD之间的真实距离。2022-5-2254几何分析和投影分析几何分析和投影分析(a)(a)已知条件已知条件 (b) (b)几何分

42、析和投影分析几何分析和投影分析 (c) (c)作图过程和作图结果作图过程和作图结果图图 作直线作直线ABAB、CDCD的公垂线，并表明的公垂线，并表明ABAB、CDCD之间的真实距离之间的真实距离解解 过过ab作作efcd，ef即为公垂线即为公垂线EF的水平投影。的水平投影。 由由f作投影连线，与作投影连线，与cd交得交得f。由由f作水平线，与作水平线，与ab交得交得e，ef即为即为EF的正面投影。的正面投影。因为因为EFEF是水平线，所以是水平线，所以efef即为即为ABAB、CDCD之间的真实距离。之间的真实距离。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang che

43、nggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.两直线交叉成直角的投影特性两直线交叉成直角的投影特性2022-5-2255图图 一直线平行于投影面和两直线都平行于同一投影面时，一直线平行于投影面和两直线都平行于同一投影面时，两直线交叉垂直的投影图示例两直线交叉垂直的投影图示例Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线3 3 平平 面面3.1 3.1 平面的表示法平面的表示法3.2 3.2 平面对

44、投影面的各种相对位置平面对投影面的各种相对位置3.3 3.3 平面上的点、直线和图形平面上的点、直线和图形Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线3.1 3.1 平面的表示法平面的表示法1.1.平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法图图 平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法(a) (a) 三点三点 (b)(b)直线及线外一点直线及线外一点 (c)(c)相交两直线相交两直线 (d)(d)平行两直线平行两直线(e)(e)平面图形平面图形Wang chen

45、ggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.平面的迹线表示法平面的迹线表示法图平面的迹线表示法图平面的迹线表示法(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线3.2 3.2 平面对投影面的各种相对位置平面对投影面的各种相对位置 一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面(简称一般面)平面 投影面

46、垂直面：仅垂直于一个投影面的平面 特殊位置平面 (V：正垂面；H：铅垂面；W：侧垂面) 投影面平行面：平行于一个投影面的平面 (V：正平面；H：水平面；W：侧平面)平面按照对投影面平面按照对投影面H、V、W的相对位置，分类如下的相对位置，分类如下:倾角倾角:平面与水平面平面与水平面H、正面正面V、侧面侧面W的夹角，称为该平面对投影面的夹角，称为该平面对投影面H、V、W的倾角，也用的倾角，也用、 表示。表示。 当平面平行于投影面时，倾角为当平面平行于投影面时，倾角为0；垂直于投影面时，倾角为；垂直于投影面时，倾角为90；倾斜于投影面时，倾角大于；倾斜于投影面时，倾角大于0，小于，小于90。Wan

47、g chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线平面图形的投影特性平面图形的投影特性: :图图 平面图形的投影特性平面图形的投影特性(1)ABC倾斜于投影面倾斜于投影面H，则它在则它在H面上的投影为面积缩面上的投影为面积缩小的类似形小的类似形abc。(2)DEF垂直于投影垂直于投影面面H，则它在则它在H面上的面上的投影成为一直线投影成为一直线def。(3)GHI平行于投影平行于投影面面H，则它在则它在H面上的面上的投影投影ghi反映反映GHI的真形。的真形。Wang c

48、henggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线1.1.一般位置平面一般位置平面图图 处于一般位置的平面图形处于一般位置的平面图形(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图投影特性：三个投影都是面积缩小的类似形。投影特性：三个投影都是面积缩小的类似形。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.投影面垂直面投影面垂直面表表 处于

49、投影面垂直面位置的平面图形处于投影面垂直面位置的平面图形Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.投影面垂直面投影面垂直面表表 处于投影面垂直面位置的迹线平面处于投影面垂直面位置的迹线平面Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线3.3.投影面平行面投影面平行面表表 处于投影面平行面位置的平面图形处于投影面平行面位

50、置的平面图形Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线3.3.投影面平行面投影面平行面表表 处于投影面平行面位置的迹线平面处于投影面平行面位置的迹线平面Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线3.3 3.3 平面上的点、直线和图形平面上的点、直线和图形1.1.平面上的点和直线的几何条件、投影特性平面上的点和直线的几何条件

51、、投影特性几何条件是：几何条件是：(1)(1)平面上的点，必在平面上的点，必在该平面的一条直线上。该平面的一条直线上。(2)(2)平面上的直线，必平面上的直线，必通过平面上的两点；或通过平面上的两点；或通过平面上的一点，且通过平面上的一点，且平行于平面上的另一直平行于平面上的另一直线。线。图图2.48 2.48 一般位置平面上的点和直线一般位置平面上的点和直线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线1.1.平面上的点和直线的几何条件、投影特性平面上的点和直

52、线的几何条件、投影特性特殊位置平面上特殊位置平面上的点和直线的检的点和直线的检验和作图，则常验和作图，则常用它的有积聚性用它的有积聚性的投影或迹线。的投影或迹线。图图 特殊位置平面上的点和直线特殊位置平面上的点和直线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题如图所示，已知正垂面ABC、点D和E、直线DE的投影图，检验点D、E和直线DE是否在ABC平面上。图图 检验点检验点D、E和直线和直线DE是否在是否在ABC平面上平面上解解分析：分析：因为正垂面因为正

53、垂面ABC的正面的正面投影投影abc有积聚性，所以只要有积聚性，所以只要检验点检验点D、E的正面投影的正面投影d、e是是否积聚在否积聚在ABC的有积聚性的正的有积聚性的正面投影面投影abc上。上。检验的结果检验的结果：由于：由于d在在abc上，所上，所以点以点D在在ABC平面上，而平面上，而e不在不在abc上，所以点上，所以点E不在不在ABC平面平面上。上。由于点由于点E不在不在ABC平面上，所平面上，所以直线以直线DE 也不在也不在ABC平面上。平面上。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang cheng

54、gang第2章 画法几何 2.2 直 线例题如图a所示，已知ABC和点D的两面投影，以及ABC平面上的直线EF的正面投影ef，检验点D是否在ABC平面上，并作出直线EF的水平投影ef。图图 检验点检验点D是否在平面上，求直线是否在平面上，求直线EF的水平投影的水平投影(b) (b) 检验、作图的过程和结果检验、作图的过程和结果(a)(a)已知条件已知条件解解连连b和和d，并延长与并延长与ac交得交得1；由；由1引投影引投影连线，与连线，与ac交得交得1，连连b与与1。由于由于dd不在不在bb1 1上，则点上，则点D D不在直线不在直线BIBI上，而上，而BIBI是是ABCABC上的上的直线，所

55、以：直线，所以：D D不是不是ABCABC平面上的点平面上的点。延长延长ef，分别与分别与ab、bc交得交得2、3；由；由2、3引投影连线，分别与引投影连线，分别与ab、bc交得交得2、3，连，连2与与3；再由；再由e、f分别引分别引投影连线，与投影连线，与23交得交得e、f，ef即为所求作的直线即为所求作的直线EF的水平投影。的水平投影。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题如图a所示，已知点A、B和直线CD的两面投影，求作过点A的正平面，过点B的

56、与水平面的倾角为45的正垂面，过直线CD的铅垂面，并分别说明各有几解。图图 过点过点A A作正平面，过点作正平面，过点B B作与水平面成作与水平面成4545倾角倾角的正垂面，过直线的正垂面，过直线CDCD作铅垂面作铅垂面(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程与作图结果作图过程与作图结果解解过点过点A的正平面的正平面P（用有积用有积聚性的水平迹线聚性的水平迹线PH表示）。表示）。过点过点B B作与水平面成作与水平面成4545倾倾角的正垂面角的正垂面（用有积聚性的（用有积聚性的正面迹线正面迹线QV、 RV表示，表示， QH、 RH可不画可不画,有两解）。有两解）。过直线过直线CD作铅垂面

57、（因铅作铅垂面（因铅垂面的水平迹线有积聚性，垂面的水平迹线有积聚性，所以过直线所以过直线CD的铅垂面的铅垂面T的的水平迹线水平迹线TH必与必与CD的水平的水平投影投影cd相重合，相重合， TV可不可不画画 ）。）。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线2.2.平面上的投影面平行线和最大倾斜线平面上的投影面平行线和最大倾斜线(1)(1)平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线例题例题2.21如图如图2.53a所示，已知所示，已知ABC，在在ABC平面上平面

58、上取一点取一点D，点，点D在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前10mm，作出点作出点D的两面投影。的两面投影。图图 在在ABC平面上取于平面上取于H面之上面之上15、V面之前面之前10的点的点D(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程与作图结果作图过程与作图结果解解在在OX轴之上轴之上15mm15mm处处作水平线作水平线。在在OX轴之下轴之下(即在即在OX轴之前轴之前)10mm处作处作OX的平行线，与的平行线，与12交交得得d，即为点即为点D的水平的水平投影；由投影；由d引投影连线，引投影连线，与与12交得交得d，即为点即为点D的正面投影。的正面投影。Wang chengg

59、ang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线(2)(2)平面上对投影面的最大倾斜线图图 P平面上的对平面上的对H面的最大倾斜线面的最大倾斜线平面上与某一投影面成平面上与某一投影面成最大倾角的直线，称为最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的平面上对该投影面的最最大倾斜线大倾斜线。平面上对某一投影面的平面上对某一投影面的最大倾斜线，是与平面最大倾斜线，是与平面上的该投影面的平行线上的该投影面的平行线相相垂直垂直的直线；它与该的直线；它与该投影面的倾角，也就是投影面的倾角，也就是平面对该

60、投影面的平面对该投影面的倾角倾角。Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线Wang chenggang第2章 画法几何 2.2 直 线例题如图2.55a所示，已知ABC，求作ABC平面与H面的倾角和与V面的倾角。图求作图求作ABC平面与平面与H面和面和V面的倾角面的倾角(b)求作与求作与H面的倾角面的倾角(a)(a)已知条件已知条件(c)求作与求作与V面的倾角面的倾角解解作作ABC平面上的水平线平面上的水平线ADAD的两面投影。的两面投影。过过B作作ABC平面上对平面上对H面的最大倾斜线面的最大倾斜线BE的两面投影