ch3轴向拉压变形(3rd)

1、第三章 轴向拉压变形3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量DD及体积改变量DV。解：1. 计算DD由于故有2.计算DV变形后该杆的体积为故有3-4 图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力各段轴力数值上均等于，因此，由此得

2、2.校核螺栓的强度此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6，在5以内，故仍符合强度要求。3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为e1= 4.010-4与e2= 2.010-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。题3-5图解：1.求各杆轴力2.确定及之值由节点的平衡方程和得化简后，成为(a)及(b)联立求解方程(a)与(b)，得由此得3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题3

3、-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为(a)由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为代入式(a)，于是得3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。题3-7图解：自截面B向上取坐标，处的轴力为该处微段dy的轴向变形为于是得截面B的位移为 3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。题3-8图解：1. 轴力分析摩擦力的合力为根据地桩的轴向平衡

4、，由此得（a）截面处的轴力为2. 地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为积分得将式(a)代入上式，于是得3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图解：载荷作用后，刚性梁倾斜 (见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长为。图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程得由此得由图3-9可以看出，可见，(b)根据的定义，有于是得 3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。题3-10图（a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆的变形分别为如图

5、3-10(1)所示，根据变形Dl1与Dl4确定节点B的新位置B,然后，过该点作长为l+Dl2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A,此即结构变形后节点A的新位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为图3-10（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为于是由图3-10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。题3-11图解：1.求各

6、杆轴力由图3-11a得图3-112.求变形和位移由图3-11b得及3.求的最佳值由，得由此得将的已知数据代入并化简，得解此三次方程，舍去增根，得由此得的最佳值为3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为sn=Be，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。题3-12图解：两杆的轴力均为轴向变形则均为于是得节点C的铅垂位移为3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l =

7、 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由，得由，得2求各杆变形3求中点的位移由图3-13易知，图3-133-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移DB/C。题3-14图解：1. 内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为于是得各杆的变形分别为 2. 位移分析如图b所示，过点d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于点e与h，然后，在de与gh延长线取线段Dl3与Dl2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C，即为节点C的新位置。可以看出，3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚

8、度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图 (a)解：各杆编号如图3-15a所示，各杆轴力依次为该桁架的应变能为图3-15依据能量守恒定律，最后得 (b)解：各杆编号示图b所示列表计算如下：1200345于是，依据能量守恒定律，可得3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移DB/C。题3-16图解：依据题意，列表计算如下：12345由表中结果可得依据得 3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17

9、图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为(a)由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为将上式代入式（a）,并考虑到,于是得设板的轴向变形为Dl，则根据能量守恒定律可知，或由此得3-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。题3-19图 (a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得杆的轴力图如图3-19a(2)所示，最大轴力为 (b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为一个平衡方程，两

10、个未知支反力，故为一度静不定。图3-19bAC与CB段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为得由此得杆的轴力图如图3-19b(2)所示，最大轴力为3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力st=160MPa, 许用压应力sc=110MPa，试确定各杆的横截面面积。题3-20图解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根据强度条件， 取3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相

11、同，试求各杆轴力。题3-21图 (a)解：此为一度静不定桁架。设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由，得(a)后取节点为研究对象，由和依次得到(b)及(c)在节点处有变形协调关系（节点铅垂向下）(d)物理关系为(e)将式(e)代入式(d)，化简后得联解方程和，得（拉）， （压）， （拉）(b)解：此为一度静不定问题。考虑小轮的平衡，由，得由此得在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，故有的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为=40MPa，=60MPa，=120MPa，弹性模量分别为

12、E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。题3-22图解：此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别如图3-22a和b所示。图3-22由图a可得平衡方程(a)(b)由图b得变形协调方程为(c)根据胡克定律，有将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为联解方程(a)，(b)和(c)，并代入数据，得(压)， （拉）， （拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：根据题意要求，最后取 3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面

13、面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移dy=0.075 mm，试确定载荷F与各杆轴力。题3-23图解：1. 求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程，得(a)由变形图中可以看出，变形协调条件为(b)根据胡克定律，(c)将上述关系式代入式（b），得补充方程为联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得(d) 2. 由位移dy确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至C(CCAC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移q

14、，因此，C点的总位移为又由于由此得将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得并从而得3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2 ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a) 间隙d=0.6 mm；(b) 间隙d=0.3 mm。题3-24图 解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为 当间隙d=0.6 mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值则为 当间隙d=0.3 mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。图3-24杆的平衡方程为补充方程为由此得而C端的支反力则为3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆

15、长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为，式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在处的杆微段就会因温升而有一个微伸长全杆伸长为2求约束反力设固定端的约束反力为，杆件因作用而引起的缩短量为由变形协调条件可得3求杆件横截面上的应力3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为D。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题3-26图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强

16、制装配容易判断，杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别如图3-26a和b所示。图3-26根据平衡条件，由图a可得(a)由图b可得(b)变形协调关系为(参看原题图)(c)依据胡克定律，有 (d)将式(d)代入式(c)，得补充方程(e)联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得即 （拉） （压）3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题3-27图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进d

17、=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为FNb，伸长为Dlb，套管所受压力为FNt，缩短为Dlt，则由图b与c可知，平衡方程为(a)而变形协调方程则为利用胡克定律，得补充方程为(b)最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为式中，3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线

18、膨胀系数分别为=12.510-6-1与=1610-6-1。题3-28图解：设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为或写成这里，伸长量和缩短量均设为正值。引入物理关系，得将静力平衡条件代入上式，得注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为由此得3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为d；(2) 若杆1的温度升高DT，材料的热膨胀系数为al。题3-29图(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于，即。当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至，同时，杆1的下端点则铅垂位移至。过作直线Ce垂直