线性代数-第二讲

1、上周内容回顾上周内容回顾v 线性代数简介。线性代数简介。v 引入二阶行列式。引入二阶行列式。 消元法求解消元法求解二元线性方程组二元线性方程组。 引入引入二阶行列式的二阶行列式的定义定义及及对角线对角线法则。法则。 发现发现二元线性方程组求解的二元线性方程组求解的克拉默法则克拉默法则。 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2.2112221122211211aaaaaaaaD 由消元法结果，由消元法结果，引入引入二阶行列式的二阶行列式的定义定义11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112

2、aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式发现发现二元线性方程组求解的二元线性方程组求解的克拉默法则克拉默法则,2221211ababD .2211112babaD ,0 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 发现发现二元线性方程组求解的二元线性方程组求解的克拉默法则克拉

3、默法则 . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 本讲主要内容本讲主要内容v三阶行列式的定义及对角线计算法则。三阶行列式的定义及对角线计算法则。v n 阶行列式的定义阶行列式的定义。 预备知识：预备知识：全排列及其全排列及其逆序数逆序数。 基于基于排列奇偶性排列奇偶性的的n 阶行列式的定义。阶行列式的定义。三阶行列式三阶行列式用消元法解三元线性方程组用消元法解三元线性方程组 .bxaxaxa,bxaxaxa,bxaxaxa33332

4、3213123232221211313212111时，时，当当0312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa方程组的解为方程组的解为， 3122133321123223113221133123123322113221333212322313221332312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaabaaabaaabababaaaabx， 3122133321123223113221133123123322113121333211323113211331231332112aaaaaaaaaaaaaaaaaaabaaabab

5、abaaaababax， 3122133321123223113221133123123322113122132112322113221131212322113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbaaabaaabababaax由方程组的由方程组的系数确定。系数确定。三阶行列式之定义三阶行列式之定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式

6、称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .333231232221131211aaaaaaaaaD 列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式的计算三阶行列式的计算对角线法则对角线法则 说明说明2 三阶行列式包括三阶行列式包括3

7、!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性

8、方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组-克拉默法则克拉默法则 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,33332321312323222121131321211

9、1bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得

10、 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 谁第一个发现、提出了谁第一个发现、提出了行列式的概念？行列式的概念？G. Leibniz (1646-1716),G. L

11、eibniz (1646-1716),德国哲学家、数学家、科学家德国哲学家、数学家、科学家G. Leibniz (1646-1716),G. Leibniz (1646-1716),德国哲学家、数学家、科学家德国哲学家、数学家、科学家 独立地发明了微积分，与牛顿齐名。独立地发明了微积分，与牛顿齐名。 发明了微积分的符号，沿用至今。发明了微积分的符号，沿用至今。 发明了二进制数，奠定了现代计算机发明了二进制数，奠定了现代计算机技术的基础原理。技术的基础原理。 著述极丰：数学，物理学，政治学，著述极丰：数学，物理学，政治学，法学，伦理学，神学，历史，哲学，语法学，伦理学，神学，历史，哲学，语言学。

12、言学。 17世纪西方三大理性主义者之一。世纪西方三大理性主义者之一。2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得由由0652 xx3.2 xx或或例例 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111

13、 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx小结小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的。程组引入的。 二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算对角线法则。对角线法则。.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131

14、211aaaaaaaaa 习题习题 pp. 25-6: 1 (2) (3)预备知识：全排列及其逆序数预备知识：全排列及其逆序数概念的引入概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有6123 全排列及其逆序数全排列及其逆序数同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个

15、个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆

16、序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.排列的逆序数排列的逆序数计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n逆序数为奇数的

17、排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1

18、40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为13010 t. 5 5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;全排列及其逆序数全排列及其逆序数小结小结2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n 习题习题 p. 26: 2 (6) n 阶行列式的定义阶行列式的定义概念的引入概念的引入三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 t322311aaa列标排列的