抽象代数复习题及答案

1、抽象代数试题及答案 本科、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)1.设 Q 是有理数集，规定2f(x)=x+2； g(x)=x2+1,则( fg )(x)等于2.2A.x22x 12B.x23C.x24xD.x3设f是A到B的单射,g是B到C的单射，则gf是A到 C3. 设 S3= (1),(1 2),(1 3),(2 3),( 1 2 3),( 1 3 2) ,则 S3中与兀素1 32)不能交换的元的个数是A. 1B. 2C. 3D.44.在整数环 Z 中,可逆元的个数是 ( B) 。A. 1 个B. 2 个C. 4个D.无限

2、个5.剩余类环乙0的子环有(B) 。A. 3 个B. 4 个C.5个D.6 个6.设 G 是有限群，a G,且 a的阶 |a|=12,则 G 中兀素a8的阶为(B)A 2B. 3C. 6D. 9A. 单射B. 满射C. 双射以下结论正确的是7设 G 是有限群，对任意G，a,b( A )D. 可逆映射( C )。A.11(ab)1b1B. b的阶不一定整除G 的阶C. G的单位元不唯一8.设 G 是循环群，则以下结论不正确D. G的是(中消去律不成立A. G的商群不是循环群C. G是交换群D. G9. 设集合 A=a,b,c,的任何子群都是正规子群的任何子群都是循环群 以下 A A 的子集为等价

3、关系的是(C )B. GA.R1=(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)B.R2= (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C.R3= (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D.R4= (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10.设f是A到B的满射，g是B到C的满射，贝U gf是A到 C 的(B )A. 1B. 2C. 3D. 412. 在剩余类环Z8中，其可逆兀的个数是(D )。A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个13. 设(R, +,是环，则下面结论不正确的有(C )。A.R的零兀惟一B.若xa 0,

4、则xaC.对aR,a的负元不惟一 D.右a ba c,则bcA. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S3= (1),( 1 2), (1 3), (2 3) , (1 2 3), (1 3 2) ，则 $ 中与元素(1 2)能交换的元的个数是(B )14.设 G 是群，a G,且 a 的阶|a|=12, 则 G 中元素a32的阶为(B )A.215 设 G 是有限群,B. 3 C. 6 D. 9对任意 a,bG,以下结论正确的是（A ）A.|a| |G|B. |b| =g C. G的单位元不唯一D.方程ax b在 G 中无解16.设 G 是交换群,则以下结论正确的是（B ）A.

5、 G 的商群不是交换群B. G的任何子群都是正规子群C. G是循环群D. G的任何子群都是循环群17.设 A=1，-1, i，-i，B = 1, -1,a A是从 A 到 B 的（A ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.映射D.既非单射也非满射18.设 A=R （实数域），B=R（正实数集） ，a:aT10, A,则是从 A 到 B 的（C ）。A.满射而非单射 B.19.设 A=所有实数 x,T10 xT2x单射而非满射C.映射A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成D.既非单射也非满射A 到 A 的一个子集的同态满射的是（C ）T凶20.数域 P 上的 n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵

6、的乘法 A.构成一个交换群21.在高斯整数环A. 1 个22 .剩余类加群A. 3 个23.下列含有零因子的环是B.Zi中，可逆元的个数为（B. 2 个 Z8的子群有（BB. 4 个（B构成一个循环群DC. 3 个C.)（C ）构成一个群D. 4 个D.构成一个交换环OC. 5D. 6 个A.高斯整数环 ZiB.数域 P 上的 n 阶全矩阵环C. 偶数环 2ZD.剩余类环Z524设（R,+, ）是一个环，则下列结论正确的是（DA. R 中的每个元素都可逆B. R 的子环一定是理想25设群 G 是 6 阶循环群，则群 G 的子群个数为（A.26.)C. R定含有单位元D. R的理想一定是子环27

7、.4 个 B. 5设 A = a, b, cA. 1设集合A= a, b, c,个 C. 6B = 1,2,3,B. 2 C.则以下集合是集合AD. 7则从集合 A 到集合 B 的满射的个数为（D ）3A的分类的是（C ）28.D.A.C.A.29.30.C.设 S3= ( 1),A. 1在高斯整数环A. 031.P= a, b,a, c B.P2= a,b, c,b,aP3= a,b,cD.P= a,b,b,c,ca,b Z，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是有单位元的交换环 无单位元的非交换环（1 2 ）, （1 3 ）, （ 2 3 ）,（ 1B. 2Zi中，单位元是（B

8、）B. 1无单位元的交换环D.有单位元的非交换环2 3 ）, （ 1 3 2 ） ，贝US3的子群的个数是（C. 3D. 6B.设G是运算写作乘法的群， 则下列关于群 A.任意两个子群的乘积还是子群 是子群D.32. 7 阶循环群的生成元个数是A. 1B. 233.设 A=a,b,c, B=1,2,3,OC.iD.iG的子群的结论正确的是（B ）B.任意两个子群的交还是子群C.定是正规子群任意子群，（C ）C. 6 D. 7则 从 集 合 A 到 集 合 B 的 映 射 有（D ）任意两个子群的并还元e和元x的逆元分别是（D ）38.设 G 是有限群，则以下结论正确.的是（A ）A. G的子群

9、的阶整除 G 的阶B. G 的任何子群都是正规子群C. G是交换群D. G的任何子群都是循环群39设f：G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ）A.f的同态核是G1的正规子群；B.G2的正规子群的原象是G1的正规子群;40.关于半群，下列说法正确的是：（A ）A.半群可以有无穷多个右单位元B.C.半群如果有右单位元则一定有左单位元D.二、填空题（每空3分）2. n 次对称群Sn的阶是（n!）.3. 一个有限非交换群至少含有（6）个元素.4. 设 G 是 p 阶群，（p 是素数），贝 U G 的生成元有（p 1）个.5.除环的理想共有（2 ）个.6.剩余类环Z6的子环 S= :0

10、 , : 2 , : 4 ，贝 U S的单位元是（4）7. 在 i+3,2, e-3 中，(i 3)是有理数域 Q 上的代数元.8.、2在有理数域 Q 上的极小多项式是(x22).9. 设集合A =a,b , B=1,2,3，则 A B= ( a,1),(b,1),(a,2),(b,2), (a,3), (b,3).)10.设 R 是交换环，则主理想（a）= （Ra ra11.设（5431）,则1（1345 ）.12 . 设 F 是 9 阶有限域，贝UF 的特征是（313设1（351）,2（2154）是两个循环置换，则14 . 设F是 125 阶有限整环，则F的特征是（5）.A. 1B. 6

11、C. 18D. 2734.设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a b a b k，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位C.G1的子群的象是G2的子群;D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。1.设 A 是 m 元集B 是 n 兀集，那么A 到 B 的映射共有)个.和 0； C.k和x 2k； D.k和(x 2k)35.设a, b, c和x都是群G中的元素，且x2abxc1, acxxac，那么x1 1 1 1A.be a； B.c aC.a1be1,1D.b ea。36.下列正确的命题是（A ）A.欧氏环一定是唯一分解环；B.C.唯一分解环必是主理想环；D.主理想环必是欧氏环；唯一分解环

12、必是欧氏环。37 设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH ,eH。如果|H |6,那么G的阶G半群一定有一个右单位元 半群一定至少有一个左单位元ma |r R, m Z.) ).2 1(1342)15.设集合A含有 3 个元素，则A A的元素共有（9 ）个.16.设群 G 的阶是 2n,子群 H 是 G 的正规子群，其阶是n,则 G 关于 H 的商群所含元素的个数是（17.设 a、b 是群 G 的两个元，则(ab)1= (b1a1).18.环Z10的可逆元是(1,3, 7, 9).19.欧式环与主理想环的关系是(主理想环不一定是欧式环，但欧式环一定是主理想环).20.如果f是A与A间

13、的- 映射，a是A的一个元，贝Uf1f a (a)。21.设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为(m 整除 n)。22设(31425)是一个 5-循环置换，那么1(52413).。23有限群G的阶是素数p,贝 UG(循环)群。24.若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为(有限和xiayi|xi,yiR)。i25 .群(乙2,)的子群有(6)个。26.由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个( 群G的变换群 )同构。27.设A、B分别是m n个元组成的集合，则|A B |= (mn)。28设A=a,b,c，则可定义A的(5)个不同的等价关系。A的分类M=

14、a,c,b确定的等价关系是R( a,a),(b,b), (c,c), (a,c), (c,a)。29.设 G 是 6 阶循环群，则 G 的生成元有(2)个。30.非零复数乘群 C*中由-i 生成的子群是(i, i,1, 1)。31.剩余类环 Z7的零因子个数等于(0)。32.素数阶有限群 G 的子群个数等于(2)。33.剩余类环 Z6的子环 S= : 0: , : 3 ,则 S 的单位元是(3)。34.群：,e是G的单位元，贝 U(e)是(G的单位元)。35.复数域的特征是(0).36.在剩余类环(Z12, ,?)中，6?7=(6).37.在 3-次对称群S3中，元素(123)的阶为：(3).

15、38.设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环， 则环同态f :Z Zm,n n的同态核为(mZ mr | r Z)39.32在有理数域上的极小多项式为(X32)40.无限循环群一定和(整数加群(Z,)同构.三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“”1. 设 G 是群，则群 G 的任意两个子群的并仍是群 G 的子群。(2.群的有限子集(非空)构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在6.设 G 是 n 阶有限循环群，则 G 同构于模 n 剩余类加群Zn。 (V)，错误的请打“ ”，每小题3分)G 的运算之下，仍在该非空子集之中。3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 的同态映射。

16、()4.一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。5.设 G 是群，则群 G 的任意两个正规子群的交仍是群f: GTG 是一个映射，且 f(x) =7x, x G.则 f 是 G 到 G( )G 的正规子群。(V)7. 设:G G是群同态，则 将 G 的单位元不一定映射为G的单位元。8. 设R是环，A, B是R的任意两个理想，则A B也是环R的理想。（V）9.域的特征可以为任何自然数 .（）11.4 次交错群A4在 4 次对称群S4中的指数为12.复数域是实数域的单代数扩张。13.除环一定是域.次对称群S3的中心是（1）.15.整数环的商域是有理数域.16.无限循环群和整数加群同构.17.

17、多项式X23在有理数域上可约。18.在特征为p的域F中始终有（a b）pap19.高斯整数环Zi是唯一分解环.20.有限集合到有限集合的单射不一定是满射。21.有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。22.设:G1G2是群G“到群 G2的同态，23.素数阶群不一定是循环群。24.设（Z, ,?）为整数环，p为素数， 则（pZ, ,?）是（Z, ,?）的极大理想。（V）四、证明题1.设Q为有理数域，设T a b. 2 | a,b Q,则T按数的乘法和加法构成一个域.（6 分）证明：T非空，且 T 是实数域的一个子集。T 关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且0 a b、2 T,（a b - 2）1

18、T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T按数的乘法和加法构成一个域.。2.设E是F的扩域，且（E: F） =1,则E=F. （6 分）证明：用反证法：若E F,贝 U 存在x E, x F,这样（E : F ） 2,矛盾!3.证明：交换群的商群是交换群 .（8 分）证明：设 G 为交换群， 且H G，则GG关于正规子群 H 的商群，且对任意aH ,bHGH,有,10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群4.( )(V)( )(V)(V)(V )()bp, a,b F.(V)(V)()(V )则同态核Ker（ ）是G1的正规子群.(V)( )(aH)(bH) (ab)H

19、 (ba)H (bH)(aH)故G H是交换群.行列式的乘积，由此A,B G,A1G,AB G,故 G 关于矩阵的乘法成群4.设A 1, 1,i, i, B 1, 1, “ ”是数的乘法，证明：（A,（B,-）o（这里“”表示（A, 与（B, 是 满同态）（8 分）证明:构造映射：f : AB,11, 11,i1, i1，则容易验证f是（A,）到（B,）的同态映射.5.证明：wa 0设 G=0 0|aR则G关于矩阵乘法构成(R ,）的子半群.（6 分）证明：对任意的a0b0aG,0 b0abG,故由子半群的判定知，G关于矩阵乘法构0 0，0000 0000成（R2 2,）的子半群， 得证6.设

20、 a 是群 G 的任一元素，若a的阶|a|=2，求证：a a1. （ 6 分）证明： 由题设我们知道：a2e,对这个式子的两边冋时乘以a1得1 2 1 / 1、1a a a e, (a a)a a利用群 G 中逆元和单位元的性质，即得，1a a.7.设& =-i，即1=1, G=1,.22,，证明：有如下的群同构：（Z3,）也（G ，这里0 ） =1,1)=2:,b(2) = o ( 8 分)证明：容易验证下述映射Z3G, 01,1，是双射，且保持运算， 即:(ij)(i) (j), i,j Z38.设 G 是RT2中所有可逆矩阵组成的集合,（i ） 证明 G 关于矩阵的乘法成群。（6

21、 分）(ii).01的阶是多少？ （ 4 分）-101 1(iii)的阶是多少？ （ 4 分）01(iv). 证明G 不是交换群.（6 分）解: （i）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而且两个方阵的乘积的行列式等于它们由同构映射的定义，即得（Z3,）旦（G 34(ii).注意到此时群G的单位元是：10，经过简单计算，我们可知01的阶是 3.0 1 -101 1（iii）.的阶是0 1解答题:解:运算表如下:解:映射.对任意xQ,定义fx：QQ, aax,对2 .设G=A1, A?,A8,其1 0i 0i 0i 0A4=-,A，人 cA7 :=0 -10 i0 -i0

22、-i1.设Q是有理数集,+”是数的加法，找(列出 G 的乘法(矩阵乘法)运算表。a Q,贝燦合fx|x Q,但 x0为(Q,)的所有自同构1 01 0 1 0中A1=c彳，A2,A30 10 -1 0 1i 0A0 i（8 分）(iv). 通过简单计算，得0 11110 0 11101，故 G 是非交换群。0 1 1 0Q, +)的所有不同的自同构映射。(2)求出S3中所有元素的阶；(6 分)(3)求出S3中所有元素的逆元.(6 分)A1A1AA2AA3A3AAA5A5A6A6A7A7A8A83. (1)写出 3 次对称群S3的所有元素;A2A3A4A5A6A7A8A2A3AA5A6A7A8A1AA3A6A5A8A7AA2A8A7A6A6A5A3A2AA7A8A5A6A6A8A7A2A1A3A4A5A7A8A1A2A4A3A8A6A5A3AA2A1A7A5A6AA3A1A2（4分）34解:(1)S3的全部元素为:(2)各元素的阶为:(3)2I4 找出乙2中的所有零因子.解:(6分)2,|3II 3,|0|1.5的逆元分别为:为所有的零因子.5.在有理数域的扩域 Q (32)中，求 1 +32的逆。(10分)解：由于32在 Q 上的最小多项式是 p(x)=X3-2，因此由定理 433