高等数学课件：w-12-12微分方程应用举例

1、12-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学第十二节第十二节 微分方程应用举例微分方程应用举例12-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学例例 1 悬链线方程悬链线方程 设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端两端分别被固定在两个不同的位置分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平它在重力作用下处于平衡状态衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.背景背景 这是历史上一个著名的力这是历史上一个著名的力学问题学问题, ,它最初是由詹姆斯它最初是由詹

2、姆斯. .伯努伯努利在利在 1690 1690 年提出的年提出的. . 在此之前在此之前, ,伽里略曾关注过该问题伽里略曾关注过该问题, , 并猜想并猜想这条曲线是抛物线这条曲线是抛物线, ,但后来发现但后来发现是不对的是不对的, ,最后是由约翰最后是由约翰. .伯努利伯努利解决的解决的. . 莱布尼兹将其命名为悬莱布尼兹将其命名为悬链线链线, ,它在工程中有广泛的应用它在工程中有广泛的应用. .12-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学解解 如图如图, , 建立坐标系建立坐标系HTgsT cos,sin 设绳索的最低点为设绳索的最低点为 D, 取取 y 轴通过点

3、轴通过点D 铅直向上铅直向上, x 轴轴水平向右水平向右, 且点且点 D到原点到原点 O 的的距离为一定值距离为一定值a. 由题意由题意,曲线曲线在点在点D处的切线斜率为零处的切线斜率为零. 设设 M(x,y)为绳索上任一为绳索上任一点点, DM 的弧长为的弧长为 s, 绳索的绳索的线密度为线密度为 , 则则.tanHgs 得得代入上式并求导代入上式并求导将将,1,tan02dxysyx ,112yay ., 0)0(,)0(gHayay 12-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学,112yay . 0)0(,)0( yay.11,),(2pappyxpy 于于是

4、是原原方方程程化化为为则则令令.coshaxay 解得悬链线方程为解得悬链线方程为.21cosh)(211cosh|22222xaayaxayxoxaaxx 近近似似于于抛抛物物线线悬悬链链线线方方程程知知很很小小时时，由由当当注注12-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学例例 2 核废料的处理问题核废料的处理问题 将将核废料核废料装在密封的圆桶里沉到水深约装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里米的海里.问这种处理方法是否安全问这种处理方法是否安全? 安全隐患安全隐患: : (1)圆桶密封性圆桶密封性; ; (2)圆桶破裂圆桶破裂实验结论实验结论: : (1) 圆

5、桶所受阻力与圆桶所受阻力与圆桶的下沉方位无圆桶的下沉方位无关关,与下沉速度成正比与下沉速度成正比, 比例系数比例系数 k=0.12;(2)圆桶圆桶速度超过速度超过12.2米时米时,圆桶会因碰撞而破裂圆桶会因碰撞而破裂所用常数所用常数: :圆桶重量圆桶重量 : W=239.456 Kg 海水浮力海水浮力: 1025.94kg/m3圆桶体积圆桶体积: V=0.208m312-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学解解 如图如图, , 建立坐标系建立坐标系. 0)0()0(, 0)0( vyy圆桶所受的力圆桶所受的力 F =W BD,浮力浮力B=1025.94V=213.

6、396,D=kv=0.12v.根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 F=ma, 得得 ,22dtydmdtdykBW xOyy12-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学.,),(mBWvmkvvyxvy 于于是是原原方方程程化化为为则则令令),1(tmkekBWv 解解得得. 0)0(, 0)0( yy,22dtydmdtdykBW .,91vty然后求出速度然后求出速度求出时间求出时间需要令需要令分析分析 .)()(2kmBWekmtkBWytmk 方法方法112-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学.,),(kvBWvmvvvyyvy

7、 于于是是原原方方程程化化为为则则令令).ln()(2BWkvBWkBWmkmvy 解解得得. 0)0(, 0)0( yy,22dtydmdtdykBW ?91vy求求令令问问 .的精确值的精确值仍难求仍难求答答v./64.13smv 法，求出法，求出通过近似方法，如牛顿通过近似方法，如牛顿.,m/s2 .12m/s64.13所以圆桶可能发生破裂所以圆桶可能发生破裂因为因为 v.不安全不安全这种处理核废料的方法这种处理核废料的方法结论结论方法方法212-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学)(xpy 设设,Py 则则特点：特点：. y右右端端不不含含解法：解法：),(. 1yxfy 二、解法二、解法.),(yxP然然后后求求先先求求出出).,(),(PxfPyxfy 化化为为于于是是12-12 12-12 微分方程应用举例微分方程应用举例高等数学高等数学),(ypy 设设,dydPpdxdy