章控制系统的数学模型实用教案

1、会计学1章控制系统章控制系统(kn zh x tn)的数学模型的数学模型第一页，共52页。n3 3）设计控制系统）设计控制系统(kn(knzh x tnzh x tn) )第1页/共52页第二页，共52页。线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换第2页/共52页第三页，共52页。例例1 1：如图所示的：如图所示的RLCRLC电路，试建立以电容上电路，试建立以电容上电压电压uc(t)uc(t)为输出为输出(shch)(shch)变量，输入电压变量，输入电压ur(t)ur(t)为输入变量的运动方程。为输入变量的运动方程。RLCur(t)uc(

2、t)i(t)第3页/共52页第四页，共52页。由（由（2 2）代入（）代入（1 1）得：消去中间）得：消去中间(zhngjin)(zhngjin)变量变量i(t) i(t) （两边（两边(lingbin)求求导）导）( )( )( )( ),(1)rcdi tutRi tLutdt22( )( )( )( )CCCrd utdutLCRCutu tdtdt1( )( ), (2)Cuti t dtC( )( )Cduti tCdt第4页/共52页第五页，共52页。例例2 :2 :机械机械(jxi)(jxi)位移系统位移系统, ,物体在外力物体在外力F(t)F(t)作作用下产生位移用下产生位移y

3、(t)y(t)，写出运动方程。，写出运动方程。输入输入F(t)F(t)，输出，输出y(t)y(t)理理论依据论依据: :牛顿第二定律牛顿第二定律(dngl),(dngl),物体所受物体所受的合外力等于物体质量的合外力等于物体质量与加速度的乘积与加速度的乘积. .Fma第5页/共52页第六页，共52页。12( )( )Fky tdy tFfdtmF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力212222( )( )( )( )( )( )dy taFtFFm adtdy tdy tFtky tfmdtdt得得22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF

4、tdtdt整整理理得得到到：第6页/共52页第七页，共52页。根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程(wi fn fn chn)的一般步骤：的一般步骤：1 1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量；2 2）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程；程；3 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4 4）整理，与输入有关）整理，与输入有关(yugun)(yugun)的放在等号右面，与的放在等号右面，与输出有关输出有关(yugun)

5、(yugun)的放在等号左面，并按照降阶次进的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。行排列。第7页/共52页第八页，共52页。 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动制系统，其运动(yndng)(yndng)规律可能完全规律可能完全一样可以用一个运动一样可以用一个运动(yndng)(yndng)方程来表方程来表示，称它们为结构相似系统示，称它们为结构相似系统上例的机械平移系统上例的机械平移系统(xtng)(xtng)和和RLCRLC电路就可以电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。22( )( )

6、( )( )CCCrdutd utrCLCutu tdtdt22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt第8页/共52页第九页，共52页。2-2 2-2 传递函数传递函数（transfer function） 用微分方程来描述系统比较直观用微分方程来描述系统比较直观 ，但是，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构一旦系统中某个参数发生变化或者结构(jigu)(jigu)发生变化，就需要重新排列微分方发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。函数的概念。22( )( )( )( )CCCr

7、d utdutLCRCututdtdt一、传递函数的定义一、传递函数的定义(dngy)和和概念概念以上一节例（以上一节例（1 1）RLCRLC电路电路(dinl)(dinl)的微的微分方程为例：分方程为例：第9页/共52页第十页，共52页。设初始状态为零，对上式进行拉氏变换设初始状态为零，对上式进行拉氏变换(binhun)，得，得到：到：2( )( )( )( )cccrLCsU sRCsU sU sU s21( )( )crLCsRCsU sU s（）2( )1( )1crU sU sLCsRCs( )( )( )C sG sR s零零初初始始条条件件下下G(s)R(s)C(s)第10页/共

8、52页第十一页，共52页。定义：零初始条件下，系统定义：零初始条件下，系统(xtng)(xtng)输出输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统该系统(xtng)(xtng)的传递函数，用的传递函数，用G(s)G(s)表示表示。一般形式一般形式(xngsh)：设线性定常系统（元件）的微分方程是：设线性定常系统（元件）的微分方程是：1011110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdddactactactactdtdtdtdddbrtbrtbrtbrtdtdtdt 第11页/共52页第十二页，共52页。y(t)y(t)为系统的

9、输出，为系统的输出，r(t)r(t)为系统输入，则零为系统输入，则零初始条件下，对上式两边初始条件下，对上式两边(lingbin)(lingbin)取拉取拉氏变换，得到系统传递函数为：氏变换，得到系统传递函数为：10111011( )( )( )mmmmnnnnbsbsbs bY sG sR sa sasa s aLL分母分母(fnm)(fnm)中中s s的最高阶次的最高阶次n n即为系统的阶次。即为系统的阶次。1011( )( )0nnnnD sa sa sasaD s 即即是是系系统统的的特特征征方方程程。L第12页/共52页第十三页，共52页。012012()()()( )( )( )(

10、)()()(1,2)( )0(1,2)( )0mniib szszszN sG sD sa spspspsz imN ssp inD s是是的的根根，称称为为传传递递函函数数的的零零点点，是是的的根根是是传传递递函函数数的的极极点点。LLLL 因为组成系统的元部件或多或少存在因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以惯性，所以G(s)G(s)的分母阶次大于等于分子的分母阶次大于等于分子阶次，即阶次，即 , ,是有理真分式，若是有理真分式，若 , ,我们就说这是物理不可实现的系统。我们就说这是物理不可实现的系统。nmmn第13页/共52页第十四页，共52页。二、传递函数的性质二、传递函数的性质

11、(1) (1)传递函数是一种数学模型，是对微分方传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；程在零初始条件下进行拉氏变换得到的； (2) (2)传递函数与微分方程一一对应；传递函数与微分方程一一对应； (3) (3)传递函数描述了系统传递函数描述了系统(xtng)(xtng)的外部的外部特性。不反映系统特性。不反映系统(xtng)(xtng)的内部物理结的内部物理结构的有关信息；构的有关信息； (4) (4)传递函数只取决于系统传递函数只取决于系统(xtng)(xtng)本身本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；素无关

12、； (5) (5)传递函数与系统传递函数与系统(xtng)(xtng)的输入输出的输入输出的位置有关；的位置有关； (6) (6)传递函数一旦确定，系统传递函数一旦确定，系统(xtng)(xtng)在在一定的输入信号下的动态特性就确定了。一定的输入信号下的动态特性就确定了。第14页/共52页第十五页，共52页。三、典型三、典型(dinxng)环节的传递函数环节的传递函数 1 1）比例环节）比例环节: :其输出量和输入量的关系其输出量和输入量的关系(gun (gun x)x)，由下面的代数方程式来表示，由下面的代数方程式来表示式中式中 环节的放大系数，为一常数。环节的放大系数，为一常数。K传递函

13、数为：传递函数为：( )( )y tKr t( )( )( )Y sG sKR s特点特点(tdin)(tdin)：输入输出量成比例，无失真和时：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。间延迟。第15页/共52页第十六页，共52页。实例实例(shl)(shl)：电子放大器，齿轮，电阻：电子放大器，齿轮，电阻( (电电位器位器) )，感应式变送器等。，感应式变送器等。第16页/共52页第十七页，共52页。2 2）惯性环节）惯性环节(hunji):(hunji):其输出量和输入量的关系，其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示由下面的常系数非齐次微分方程式来表示( )( )( )d

14、y tTy tKr tdt传递函数为：传递函数为：( )( )( )1Y sKG sR sTs式中式中 T T 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：含一个储能元件，对突变的输入特点：含一个储能元件，对突变的输入, ,其输出不能立其输出不能立即发现，输出无振荡。即发现，输出无振荡。实例实例(shl)(shl)：RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。也包含这一环节。第17页/共52页第十八页，共52页。3 3）积分环节）积分环节: :其输出量和输入量的关系其输出量和输入量的关系(gun x)(gun x)，由下面的微分方程式来表示由下面的微分方程式来

15、表示( )( )y tKr t dt传递函数为：传递函数为：( )( )( )Y sKG sR ss特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆消失，输出具有记忆(jy)(jy)功能。功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。计算机中的积分器等。第18页/共52页第十九页，共52页。4 4）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系关系(gun x)(gun x)，由下式来表示，由下式来表示( )( )dr ty td

16、t传递函数为：传递函数为：( )( )( )Y sG ssR s式中式中 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。号的变化趋势。实例实例(shl)(shl)：测速发电机输出电压与输入角度间的：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。传递函数即为微分环节。第19页/共52页第二十页，共52页。5 5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面(xi mian)(xi mian)的二阶微分方程式来表示。的二阶微分方程式来表示。222( )( )2(

17、 )( )d y tdy tTTy tKr tdtdt传递函数为：传递函数为：22( )( )( )21Y sKG sR sT sTs特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡，其输出出现振荡(zhndng)(zhndng)。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电路的输出与输入电压间的传递函数。第20页/共52页第二十一页，共52页。6 6）延迟环节）延迟环节(hunji)(hunji)：其输出量和输入量的关系，：其输出量和输入量的关系，由下式来表示由下式来表示( )()1()y tr tt传递函数

18、为：传递函数为：( )( )( )sY sG seR s式中式中 延迟时间延迟时间特点：输出量能准确特点：输出量能准确(zhnqu)(zhnqu)复现输入量，复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。学模型就包含有延迟环节。第21页/共52页第二十二页，共52页。以上以上6 6种是常见的基本典型种是常见的基本典型(dinxng)(dinxng)环节环节的数学模型的数学模型1 1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的

19、；一一对应的；2 2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数；递函数，有不同的传递函数；3 3）环节是相对）环节是相对(xingdu)(xingdu)的，一定条件下可以的，一定条件下可以转化；转化；4 4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。第22页/共52页第二十三页，共52页。一、动态一、动态(dngti)结构图的组成结构图的组成1 1、信号线：有箭头的直线，箭头表示、信号线：有箭头的直线，箭头表示(biosh)(biosh)信号传递方向。信号传递方向。2 2、引出点：、引出点：信

20、号引出或测量的位置。信号引出或测量的位置。从同一信号线上引从同一信号线上引出的信号，数值和出的信号，数值和性质完全相同性质完全相同第23页/共52页第二十四页，共52页。3 3、综合点：对两个或两个以上的信号、综合点：对两个或两个以上的信号(xnho)(xnho)进进行代数运算，行代数运算，“”表示相加，常省略，表示相加，常省略，“”表示表示相减。相减。4 4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应(duyng)(duyng)的传递函数的传递函数 ，两侧为输入、输出信，两侧为输入、输出信号线。号线。()()()YsRsGs第24页/共52页第二十五页，共

21、52页。二、动态二、动态(dngti)结构图的结构图的建立建立例：建立如图所示的双例：建立如图所示的双T T网络网络(wnglu)(wnglu)的动态的动态结构图。结构图。第25页/共52页第二十六页，共52页。1 1）建立各元件）建立各元件(yunjin)(yunjin)的微分方程的微分方程111112112222( )( )( )1( )( ( )( )( )( )( )1( )( )rCCututitRutititdtCututitRutit dtC第26页/共52页第二十七页，共52页。2 2）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并改写成以下改写成以下(

22、yxi)(yxi)相乘形式相乘形式1111211122221()() ()1()() ()1()() ()1()()rCCususIsRIsIsuss CususIsRIsuss C第27页/共52页第二十八页，共52页。3 3）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序(shnx)(shnx)，依次将各元件的结构图连接起来，依次将各元件的结构图连接起来作用：作用：1 1）直观形象的分析变量）直观形象的分析变量(binling)(binling)之间的关系之间的关系 2 2）方便求解传递函数）方便求解传递函数第28页/共52页第二十九页，共52页。三、典型连

23、接方式及等效三、典型连接方式及等效(dn xio)变换变换X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)112112( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )XsY sG sGsX sXsY sG sG s GsX s，G(s)X(s)Y(s)1 1、串联、串联(chunlin)(chunlin)及等效及等效第29页/共52页第三十页，共52页。2 2、并联、并联(bnglin)(bnglin)及等效及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)12121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )Y

24、 sY sY sX s G sX s G sX s G sG sX s G sG sG sG sG(s)X(s)Y(s)第30页/共52页第三十一页，共52页。3 3、反馈、反馈(fnku)(fnku)及等效及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)()(1)(sHsGsG( )( ) ( ), ( )( )( )( )( ) ( )Y sE s G s E sR sB sB sY s H sm( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )1( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )1( ) ( )Y sR sB s G sR s G sY

25、s H s G sY sH s G sR s G sY sG ssR sH s G smm第31页/共52页第三十二页，共52页。四、等效移动四、等效移动(ydng)规规则则1 1、引出、引出(yn ch)(yn ch)点的移动点的移动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1 1）前移）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12 2）后移）后移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数(do sh)方框方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框第32页/共52页第三十三页，共52页。2 2、综合、综

26、合(zngh)(zngh)点的移动点的移动在移动支路在移动支路(zh l)中串入所越过的传递函数的倒数方框中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动在移动(ydng)支路中串入所越过的传递函数方框支路中串入所越过的传递函数方框1 1）后移）后移G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-2 2）前移）前移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3第33页/共52页第三十四页，共52页。相邻综合点之间可以随意调换相邻综合点之间可以随意调换(diohun)位置位置 3 3）相邻综合点移动）相邻综合点移动x1Yx2x3x1Yx2x3注意注意(zh y)(zh y)：相邻引出点和综合点

27、之间不能互换：相邻引出点和综合点之间不能互换! !第34页/共52页第三十五页，共52页。例：试简化例：试简化(jinhu)(jinhu)系统结构图，并求系统传递函系统结构图，并求系统传递函数。数。第35页/共52页第三十六页，共52页。第36页/共52页第三十七页，共52页。1212121( )1G s G sC sR sG sG sG s G s H s( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )第37页/共52页第三十八页，共52页。 sR sYG1H2H121GHY sGHR s( )( )方法1:引出点后移例：试简化例：试简化(jinhu)(jinhu)系统结构图，并求系统传

28、递函数。系统结构图，并求系统传递函数。第38页/共52页第三十九页，共52页。 sR sYG1H2H121GHY sGHR s( )( )例：试简化例：试简化(jinhu)(jinhu)系统结构图，并求系统传递函数。系统结构图，并求系统传递函数。方法2:引出点前移第39页/共52页第四十页，共52页。x1x4x3x2abc1一、信流图的基本概念一、信流图的基本概念 支路：支路： 表示变量之间的传输关系。表示变量之间的传输关系。 节点：节点： 表示系统中的变量。表示系统中的变量。 信号流图是一种信号流图是一种(y zhn(y zhn) )表示线性化代数表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信

29、号流图由节点和方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成支路组成第40页/共52页第四十一页，共52页。信流图的基本信流图的基本(jbn)术语术语1 1、源节点：只有输出支路，没有、源节点：只有输出支路，没有(mi yu)(mi yu)输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。2 2、汇节点：只有输入支路，没有、汇节点：只有输入支路，没有(mi yu)(mi yu)输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。3 3、

30、混合节点、混合节点(ji din)(ji din)：既有输入支点也有输出支点的节点：既有输入支点也有输出支点的节点(ji din)(ji din)称为混合节点称为混合节点(ji din)(ji din)。混 合 节 点1X2X3X4Xabcd5X输入节点输入节点（源点）（源点）输出节点输出节点（汇点）（汇点）输 入 节输 入 节点点（ 源 点（ 源 点）第41页/共52页第四十二页，共52页。信流图的基本信流图的基本(jbn)术语术语4 4、通道：从某一节点、通道：从某一节点(ji din)(ji din)开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点(j

31、i din)(ji din)（或同一节点（或同一节点(ji din)(ji din)）构成的路径称为通道。）构成的路径称为通道。5 5、开通道：与任一节点、开通道：与任一节点(ji din)(ji din)相交不多于一次的通路称为开通道。相交不多于一次的通路称为开通道。6 6、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点(ji din)(ji din)相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。7 7、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益

32、。8 8、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点节点(ji din)(ji din)相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向通道增益。称为前向通道增益。9 9、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点(ji din)(ji din)，就称为不接触回环，反之称为接触回环，就称为不接触回环，反之称为接触回环 。第42页/共52页第四十三页，共52页。二、信流图的绘制二、信流图的绘制(huzh)1 1、由

33、结构图绘制、由结构图绘制(huzh)(huzh)信流图信流图结构图结构图信流图信流图变量变量传递传递综合点综合点变成变成混合节混合节点点1第43页/共52页第四十四页，共52页。2 2、由方程组绘制、由方程组绘制(huzh)(huzh)信流图信流图首先首先(shuxin)按照节点的次序绘出各节点，按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。434234121 dxxcxxexbxxfxaxxgxxxcccr第44页/共52页第四十五页，共52页。三、

34、梅逊（三、梅逊（MasonMason）增益）增益(zngy)(zngy)公式公式1aabcaa1 -,1-L.: L, p nkkkkbcdefdefbcbcdefdefkpppKL LL L LL LL L LK 总总增增益益第第条条前前相相通通道道的的通通路路增增益益信信号号流流图图的的特特征征式式 即即其其中中所所有有回回路路增增益益之之和和每每两两互互不不接接触触回回路路增增益益乘乘积积之之和和每每三三个个互互不不接接触触回回路路增增益益乘乘积积之之和和在在 中中除除去去与与第第条条前前向向通通道道相相接接触触的的回回路路后后的的特特征征式式 称称为为前前向向通通道道特特征征式式的的余

35、余子子式式。第45页/共52页第四十六页，共52页。例例. .设某系统设某系统(xtng)(xtng)的方框图如图所示，试求其传递的方框图如图所示，试求其传递函数函数R(S)11G1G3G2Y(S)G4-1-H1-H2YG1G2G3G4-H1H2R第46页/共52页第四十七页，共52页。1123214112121233232442514123451211232324214 : R(S)( ) , L-G G G LG G HLG H LG G1()1SPGG GPGGLGG HLLLLLGG HGG GG G HG HGG 解解与与Y Y间间有有两两条条前前向向通通路路信信号号流流图图共共有有五五个个回