动量守恒定律的典型模型及应用(正式)

1、动量守恒定律的典型应用动量守恒定律的典型应用几个模型几个模型： （一）碰撞中动量守恒（一）碰撞中动量守恒 （四）子弹打木块类的问题（四）子弹打木块类的问题 （五）人船模型：平均动量守恒（五）人船模型：平均动量守恒（二）反冲运动、爆炸模型（二）反冲运动、爆炸模型（三）碰撞中（三）碰撞中 弹簧模型弹簧模型（一）碰撞中动量守恒（一）碰撞中动量守恒1.弹性碰撞的规律弹性碰撞的规律两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒以质量为以质量为m1速度为速度为v1的小球与质量为的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为的静止小球发生正面弹性碰撞为 结论：结论：(1

2、)当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度(2)当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动(3)当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来2.完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞后系统以相同的速度运动碰撞后系统以相同的速度运动 v1 1= =v2 2= =v动量守恒：动量守恒： vmmvmvm21202101 动能损失为动能损失为 220102111221220221012 212121vvmmmmvmmvmvmE 解决碰撞问题须同时遵守的三个

3、原则解决碰撞问题须同时遵守的三个原则: 一一. 系统动量守恒原则系统动量守恒原则 三三. 物理情景可行性原则物理情景可行性原则 例如：追赶碰撞：例如：追赶碰撞： 被追追赶V V碰撞前碰撞前：碰撞后碰撞后：在前面运动的物体的速度一定在前面运动的物体的速度一定不小于不小于在在后面运动的物体的速度后面运动的物体的速度二二. 能量不增加的原则能量不增加的原则C（二）反冲运动、爆炸模型（二）反冲运动、爆炸模型(三）碰撞中弹簧模型三）碰撞中弹簧模型 注意：状态的把握注意：状态的把握 由于弹簧的弹力随形变量变化，弹簧由于弹簧的弹力随形变量变化，弹簧弹力联系的弹力联系的“两体模型两体模型”一般都是作加速一般都

4、是作加速度变化的复杂运动，所以通常需要用度变化的复杂运动，所以通常需要用“动动量关系量关系”和和“能量关系能量关系”分析求解。复杂分析求解。复杂的运动过程不容易明确，特殊的状态必须的运动过程不容易明确，特殊的状态必须把握：弹簧最长（短）时两体的速度相同；把握：弹簧最长（短）时两体的速度相同；弹簧自由时两体的速度最大（小）。弹簧自由时两体的速度最大（小）。C 例例.用轻弹簧相连的质量均为用轻弹簧相连的质量均为2kg的的A、B两物两物块都以块都以 的速度在光滑的水平地的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物的物体体C静止在前方，如图所示，静止在前方

5、，如图所示，B与与C碰撞后二碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中者粘在一起运动。求：在以后的运动中 （1）当弹簧的弹性势能最大时物体）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？的速度多大？（2）弹性势能的最大值是多大？）弹性势能的最大值是多大？（3）A的速度有可能向左吗？为什么？的速度有可能向左吗？为什么？ （1）当）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的三者组成的系统动量守恒，有系统动量守恒，有ACBABAv)mmm(v)mm(smvA/3（2）B、C碰撞时碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰组成的系统动量守恒，设

6、碰后瞬间后瞬间B、C两者速度为两者速度为vsmvvmmvmCBB/2)(，三物块速度相等为三物块速度相等为vA时弹簧的弹性势能最大为时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒，根据能量守恒222111() ()12222PABCABCAEm vmm vmmm vJ由系统动量守恒得由系统动量守恒得 BCBAABAvmmvmvmvm)(设A的速度方向向左 0AvsmvB/4则则 则作用后则作用后A、B、C动能之和动能之和 JvmmvmEBCBAAk48)(212122系统的机械能系统的机械能 JvmmmEEACBAP48)(212故故A不可能向左运动不可能向左运动 1.1.运动性质运动性质：子弹对地

7、在滑动摩擦力作用下匀减子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。运动。 2.2.符合的规律符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒，：子弹和木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒。机械能不守恒。3.3.共性特征共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻：一物体在另一物体上，在恒定的阻力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守恒，恒，E = f 滑滑d相对相对（四）子弹打木块模型（四）子弹打木块模型 例例. 质量为质量为M的木块静止在光滑水平面上，的木块静止在光滑水平面上，一质量为

8、一质量为m的子弹以速度的子弹以速度v0水平射入木块中，水平射入木块中，如果子弹所受阻力的大小恒为如果子弹所受阻力的大小恒为f，子弹没有，子弹没有穿出木块，木块和子弹的最终速度为穿出木块，木块和子弹的最终速度为 ，在这个过程中木块相对地面的位移为在这个过程中木块相对地面的位移为 ，子弹相对与地面的位移为子弹相对与地面的位移为 ，求子弹相对与，求子弹相对与木块的位移为木块的位移为 ？木s共vs子sS子bsS木a 解解：光滑水平面，子弹与木块水平方向动量守恒 对木块用动能定理 对子弹用动能定理 ，得到 观察方程，等式的左边表示摩擦力对系统做的功，右边表示系统动能的变化，那么它表示的物理意义是，在不受

9、外力作用下，系统内部摩擦力做功（摩擦力与物体相对位移的乘积）等于系统动能的变化。 这种模型适用条件是，一个物体在另一个物体表面或内部运动，在运动方向上不受外力，系统动量守恒。从能量的观点看，系统内部摩擦力做功（摩擦力与物体相对位移的乘积） 共vmMmv)(0mMmvv0共212fsMv木共2022121mvmvfs共子22011(M)22f ssm vmvfs 子共木） （ 例例. .将质量为将质量为 m = 2 kg m = 2 kg 的物块的物块, ,以水平速度以水平速度v v0 0 = 5m/s = 5m/s 滑上静止滑上静止在光滑水平面上的平板车上在光滑水平面上的平板车上 , ,小车的

10、质量为小车的质量为M = 8 kg ,M = 8 kg ,物块与小物块与小车间的动摩擦因数车间的动摩擦因数 = 0.4 , = 0.4 ,取取 g = 10 m/sg = 10 m/s2 2. . (1)(1)物块滑上小车经过多少时间两者相对静止物块滑上小车经过多少时间两者相对静止? ? (2)(2)在此过程中小车滑动的距离是多少在此过程中小车滑动的距离是多少? ? (3)(3)整个过程中有多少机械能转化为内能整个过程中有多少机械能转化为内能? ?v0解：物、车系统在水平方向上解：物、车系统在水平方向上动量守恒：动量守恒： m v0 = (M+m) v, 得得 v=1m/s 对对m,运动加速度

11、运动加速度 a1= g=4m/sg=4m/s2 2运动时间运动时间 t = (v - vt = (v - v0 0)/a = 1s)/a = 1s对车运动加速度对车运动加速度 a2 = mg/M = 0.5 m/smg/M = 0.5 m/s2 2 运动位移运动位移 s2 = v2/2a2 = 1mvtvv0oS车S物m的运动位移的运动位移 s1= (v(v0 02 2 - v - v2 2)/2a)/2a1 1= 3m = 3m 转化为内能的机械能等于摩擦力与相对位移乘积：转化为内能的机械能等于摩擦力与相对位移乘积：Q = Q = E = WE = Wf f = f s= f s相相 = =

12、 mg(smg(s1 1-s-s2 2)=16J)=16J （五）、人船模型（五）、人船模型例：例：静止静止在水面上的小船长为在水面上的小船长为L，质量为，质量为M，在，在船的最右端站有一质量为船的最右端站有一质量为m的人，不计水的阻力，的人，不计水的阻力，当人从最右端走到最左端的过程中，小船移动的当人从最右端走到最左端的过程中，小船移动的距离是多大？距离是多大？SL-SMS m（L-S）=0若开始时人船一起以若开始时人船一起以某一速度匀速运动，某一速度匀速运动，则还满足则还满足(L-S)/S=M/m吗？吗？解：系统平均动量守恒：解：系统平均动量守恒：MV1-mV2=01、“人船模型人船模型”

13、是动量守恒定律的拓展应用，是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系。的关系。即：即： m1v1=m2v2 则：则：m1s1= m2s2 质量与位移成反比质量与位移成反比 2、此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。3、人船模型的适用条件是：两个物体组成的人船模型的适用条件是：两个物体组成的系统动量守恒，系统的合动量为系统动量守恒，

14、系统的合动量为零零。【练习练习】如图所示，一质量为如图所示，一质量为mmll的半圆槽体的半圆槽体A A，A A槽内槽内外皆光滑，将外皆光滑，将A A置于光滑水平面上，槽半径为置于光滑水平面上，槽半径为R.R.现有一现有一质量为质量为mm2 2的光滑小球的光滑小球B B由静止沿槽顶滑下，不计空气由静止沿槽顶滑下，不计空气阻力，求槽体阻力，求槽体A A向一侧滑动的最大距离向一侧滑动的最大距离解析解析: :系统在水平方向上动量守恒系统在水平方向上动量守恒, ,当小球运动到当小球运动到槽槽的的最高点时最高点时, ,槽槽向左运动的最大距离设为向左运动的最大距离设为s s1 1, ,则则mm1 1s s1

15、 1=m=m2 2s s2 2, ,又因为又因为s s1 1s s2 2=2R,=2R,所以所以21122msRmm 例：例：载人气球原静止于高载人气球原静止于高h h的高空，气球质量为的高空，气球质量为M M，人的质量为人的质量为m m若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？为多长？ 气球和人原静止于空中，说明系统气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零所受合力为零, ,故人下滑过程中系统动量守故人下滑过程中系统动量守恒恒, ,人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中人下滑过程中, ,人和气球任意时刻的动量大人和气球任意时刻的动量大小都相等小都相等, ,所以整个过程中系统平均动量守所以整个过程中系统平均动量守恒恒. .若设绳梯长为若设绳梯长为l,l,人沿绳梯滑至地面的时人沿绳梯滑至地面的时间为间为t t， M(L M(Lh)/th)/tmh/t=0mh/t=0解得解得 MmlhM 由图可看出由图可看出, ,气球对地移动的平均速度为气球对地移动的平均速度为(L(Lh)/t,h)/t,人对地移动的平均速度为人对地移动的平均速度为h/t(h/t(以向上为正方向以向上为正方向).).由由动量守恒定律动量守恒定律, ,有有 如图如图2所示，在光滑水平地面上，有两个所示，在光滑水平地面上，有两个光滑的直角三