正弦型曲线教案1

1、正弦型函数正弦型函数 y = A sin(x+ )的性质和图象的性质和图象复复 习习周期函数的定义周期函数的定义: 对于函数对于函数 f (x), x D, 如果存在一个非零如果存在一个非零常数常数T,使得对于每一个使得对于每一个 xD,都有都有 x+T D,且且 f ( x+T)= f (x), 那么函数那么函数 f (x)叫做周期函数叫做周期函数,T叫做这个函叫做这个函 数的一个周期数的一个周期.复复 习习正弦函数正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期的图象、定义域、值域、周期y0 x21-134 x 0 2 sinx 0 1 0 -1 0223复复 习习正弦函数正弦函数

2、y = sinx 的图象、定义域、值域、周期的图象、定义域、值域、周期y0 x21-134定义域：定义域： 值域值域: 周期：周期： R -1，1 2单调增区间：单调增区间： +2k , +2k ,k Z2 2 单调减区间：单调减区间： +2k , +2k ,k Z2 23 物体作简谐振动时物体作简谐振动时 ，位移，位移 s 与时间与时间 t 之间的关系为之间的关系为 s = A sin (t + )我们知道我们知道 正弦交流电的电压正弦交流电的电压 u 与时间与时间 t 之间的关系为之间的关系为 u = Um sin (t + )y = A sin(x+ )（其中其中A 、 、 为常数。为常

3、数。正弦型函数正弦型函数不妨设不妨设A0，0）正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质学习目标学习目标1、了解正弦型函数的定义域、值域、周期、了解正弦型函数的定义域、值域、周期2、由正弦型函数的表达式，、由正弦型函数的表达式，3、知道、知道A、 的作用的作用4、会利用五点法，作正弦型函数的图象、会利用五点法，作正弦型函数的图象5、通过正弦型函数、通过正弦型函数 的学习，提高数形结的学习，提高数形结 合意识和数学思想合意识和数学思想 可以求出函数的定义域、值域、周期可以求出函数的定义域、值域、周期1、定义域：、定义域：由由x + R，有，有 x R，所以所以 定义域

4、为定义域为R2、值域：、值域：由由 y =sinx-1，1，即即 -1 sin(x+ ) 1故故 -A Asin(x+ ) A所以所以 y = Asin(x+ ) -A，A值域为值域为 -A，A又又A0正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质 有有 y =sin(x+ )-1，1对于对于y = sinx 有有x R3、周期：、周期： 2sinxA2)sin( xA)sin( xAy 2 T令令)(sin)sin( TxAxA则则有有的的一一个个周周期期是是所所以以)sin( xAyT 2 T即即周周期期正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图

5、象和性质)2sin( xA 2sinxA)sin( xA1、定义域：、定义域： R2、值域：、值域： -A，A3、周期：、周期： 2 T例例求下列函数的最大值、最小值、周期求下列函数的最大值、最小值、周期)64sin(2xy1、)421sin(31xy2、12.0)sin(5 .0 xy3、3)35sin(5xy4、正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质求函数求函数 y =Asin(x + )+k 的最值、周期的方法的最值、周期的方法由由A、k 确定确定 函数的最大值、最小值：函数的最大值、最小值：由由确定函数的周期：确定函数的周期：y最大值最大值=A+k， y

6、最小值最小值= -A+k 2 T例例求下列函数的最大值、最小值、周期求下列函数的最大值、最小值、周期)64sin(2 xy1解：解： A=2 y最大值最大值=2 ， =4 2 T正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质 y最小值最小值=-2 42 2 例例求下列函数的最大值、最小值、周期求下列函数的最大值、最小值、周期)421sin(31 xy2解：解： A=31 y最大值最大值= ， y最小值最小值=31 31=21 2 T正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质212 4 例例求下列函数的最大值、最小值、周期求下列函数的最大值、最

7、小值、周期12.0)sin(5 .0 xy3解：解： A=0.5 y最大值最大值=0.62 ， =即即-0.5 0.5sin(x) 0.5 2 T正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质 故故 y=0.5sin(x) -0.5 , 0.5 +0.12 +0.12 +0.12 y最小值最小值= -0.3822 求函数求函数 y =Asin(x + )+k 的最值、周期的方法的最值、周期的方法由由A、k 确定确定 函数的最大值、最小值：函数的最大值、最小值：由由确定函数的周期：确定函数的周期：y最大值最大值=A+k， y最小值最小值= -A+k 2 T例例求下列函数的

8、最大值、最小值、周期求下列函数的最大值、最小值、周期3)35sin(5 xy4 解：解： A=5, y最大值最大值= A+k 35 2 T正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质k= -3 y最小值最小值= -A+k 352 )35( = 5-3 = 2 = -5-3 = -8练习练习求下列函数的最大值、最小值、求下列函数的最大值、最小值、 周期周期)6sin(21 xy1、)41sin(5 xy2、1)2sin(43 xy 3、21max y21min y 2 T5max y5min y22 T41max y47min y1 T正弦型函数正弦型函数y =Asin

9、(x + )的图象和性质的图象和性质因为因为 =1，所以，所以22T因为因为A= 21所以所以y最大值最大值=2121y最小值最小值=因为因为 = 2 ，所以，所以12T所以所以y最大值最大值=A+k=4114347143y最小值最小值=-A+k=因为因为A= ，k = -1 43正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )求函数求函数y =Asin(x + ) 的最值的最值、周期、周期定义域：定义域： R值值 域：域： -A，A 周周 期：期： 2 T+ky最大值最大值=A y最小值最小值= -A +k+k由由确定函数的周期：确定函数的周期： 2 T性质性质：应用应用：由由 A 确定函数的

10、确定函数的最大值最大值、最小、最小值值：、k练习：练习：求下列函数的最大值、最小值、求下列函数的最大值、最小值、 周期周期)8sin( xy1)32sin(4 xy27)3sin(5 xy323)4sin(2 xy 451)22sin(23 xy1max y1min y 2 T4max y4min y T12max y2min y 2 T22max y21 T24min y21max y25min y2 T612)37sin(6 xy7max y5min y 237 T正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质1、的作用：研究的作用：研究 y=sinx与与y=sin

11、x 图象的关系图象的关系y0 x2341-11、列表、列表2、描点、描点3、连线、连线作作y=sinx的图象的图象先观察先观察y=sin2x、y=sin x与与y=sinx的图象间的关系的图象间的关系21 x 0 2 sinx 0 1 0 -1 0223正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质y0 x2341-11、列表、列表2、描点、描点3、连线、连线作作y=sin2x的图象的图象先观察先观察y=sin2x、y=sin x与与y=sinx的图象间的关系的图象间的关系1、的作用：研究的作用：研究 y=sinx与与y=sinx 图象的关系图象的关系21 2x 0 2

12、 x 0 sin2x 0 1 0 -1 02422343正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质y0 x2341-11、列表、列表2、描点、描点3、连线、连线先观察先观察y=sin2x、y=sin x与与y=sinx的图象间的关系的图象间的关系1、的作用：研究的作用：研究 y=sinx与与y=sinx 图象的关系图象的关系21 x 0 2 x 0 2 3 4 sin x 0 1 0 -1 02232121作作y=sin x的图象的图象21正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质y0 x2341-1的作用：使正弦函数的周期发生变化。的作

13、用：使正弦函数的周期发生变化。y=sinxy=sinx（0, 0, 1)1)的图象是由的图象是由y=sinx的图象沿的图象沿x轴关于轴关于y轴压缩轴压缩(当当11时时) )或伸长或伸长（当（当0100, AA0, A 1)1)的图象是由的图象是由y=sinx的图象沿的图象沿y轴轴方向方向伸长伸长 (当当A1A1时时) )或或压缩压缩（当（当0A10A1时时)A)A倍而成倍而成. .正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质2、A的作用：研究的作用：研究 y=Asinx 与与 y=sinx 图象的关系图象的关系先观察先观察y=2sinx、y= sinx与与y=sinx

14、的图象间的关系的图象间的关系21y0 x21-1正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质3、 的作用：研究的作用：研究 y=sin(x+ )与与y=sinx 图象的关系图象的关系与与 y=sinx 的图象间的关系的图象间的关系先观察先观察y = sin（x+ ）、）、y = sin（x ）22y0 x21-1 的作用：使正弦函数的图象发生位移变化。的作用：使正弦函数的图象发生位移变化。y=sin(x+y=sin(x+ ) )（ 0)0)的图象是由的图象是由y=sinx的图象的图象沿沿x轴方向轴方向平移平移 - - 个单位个单位而成而成. .正弦型函数正弦型函数y

15、=Asin(x + )的图象和性质的图象和性质3、 的作用：研究的作用：研究 y=sin(x+ )与与y=sinx 图象的关系图象的关系与与 y=sinx 的图象间的关系的图象间的关系先观察先观察y = sin（x+ ）、）、y = sin（x ）22正弦型函数正弦型函数 y = Asin(x+ )的图象的图象可以将可以将 y = sinx 的图象的图象1、沿沿 x 轴压缩或伸长轴压缩或伸长 1/倍；倍；2、再沿、再沿 y 轴压缩或伸长轴压缩或伸长A倍；倍；3、最后沿、最后沿x轴方向平移轴方向平移 - /个单位而成个单位而成.- /- /- /- /正弦型函数正弦型函数y =Asin(x +

16、)的图象和性质的图象和性质 y=sin(x+ y=sin(x+ ) )（ 0)0)的图象是由的图象是由y=sinx的图象沿的图象沿x轴方向轴方向平移平移 - - 个单个单位位而成而成. . y = sin(x+ y = sin(x+ ) ) = sin = sin(x+ / /)y=Asin(x+ )的图象的图象可以将可以将y=sinx的的图象沿图象沿x轴方向平移轴方向平移- / /个单位。个单位。 y=2sinx y= sinx y=sinxy0 x212-1-221y0 x2341-1 y=sin2x y=sin x y=sinx21y0 x21-1 y = sin（x ） y = sin

17、（x ） y=sinx 22A 正弦型函数正弦型函数y =Asin(x + )的图象和性质的图象和性质对于正弦型函数，我们称：对于正弦型函数，我们称：A为为振幅振幅，为为角频率角频率， 为为 频率频率，x+ 为为相位相位，x=0 时的相位时的相位 为为初相初相。 为为周期周期 2 T 21 Tf 周期周期T的倒数的倒数例、在同一坐标系中例、在同一坐标系中, ,作函数作函数y=sinx,yy=sinx,y=sin2x,y=2sinx,=sin2x,y=2sinx, 的图象，并比较与的图象，并比较与y=sinxy=sinx的变换关系。的变换关系。y=sin x+4 0 0Y YX Xy=sinxy

18、=sinxy=2sinxy=2sinxy=sin2xy=sin2xy=sin x+4 y=sinx纵坐标伸长纵坐标伸长2 2倍得倍得y=2sinxy=2sinx横坐标缩短为原来的横坐标缩短为原来的 得得y=sin2xy=sin2x12y=sin x+44左左移移得得(三维三维)y=3sin 2x+,xZ3 练习、作出函数练习、作出函数的简图，的简图，说明它与说明它与y=sinxy=sinx图象之间的关系。图象之间的关系。X XO OY Yy=sinxy=sinx的图象的图象y=sin x+33 左左移移得得y=sin 2x+3 得得横坐标缩短为原来的横坐标缩短为原来的12纵坐标伸长到原纵坐标伸

19、长到原来的来的3倍倍y=3sin 2x+3 得得例、指出将函数例、指出将函数y=sinxy=sinx的图象变换成的图象变换成y=sin 2x+3 的图象的两种方法。的图象的两种方法。方法方法1 1：y=sinxy=sinx横坐标缩短为原来的横坐标缩短为原来的12y=sin2xy=sin2x向左平移向左平移 个单位个单位6 y=sin 2 x+=sin 2x+63方法方法2 2：y=sinxy=sinx向左平移向左平移 个单位个单位3 y=sin x+3 横坐标缩短为原来的横坐标缩短为原来的12y=sin 2x+3 随堂练习随堂练习1 1、要得到、要得到y=sin(2x- )y=sin(2x-

20、)的图象的图象, ,只要将只要将y=sin2xy=sin2x的图象的图象3 A A、向左平移、向左平移 个单位个单位 B B、向右平移、向右平移 个单位个单位3 3 C C、向左平移、向左平移 个单位个单位 D D、向右平移、向右平移 个单位个单位6 6 D 2 2、把、把y=sinxy=sinx的图象上各点向右平移的图象上各点向右平移 个单位，再把横坐个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4 4倍，则所得倍，则所得的图象的解析式是的图象的解析式是3 xA y=4sin- B y=4sin 2x-233xC y=4sin+ D y=4sin

21、 2x+233、B3 3、函数、函数y=sin(xy=sin(x+ )+ )的对称轴方程为的对称轴方程为4 A x=k +,kZ B x=k +,kZ24C x=k -,kZ D x=k -,kZ42、B 4 4、将函数、将函数y=f(xy=f(x) )图象上每个点的纵坐标保持不变，横图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的坐标伸长到原来的2 2倍，然后再将整个图象沿倍，然后再将整个图象沿x x轴向左平移轴向左平移 个单位，得到曲线个单位，得到曲线y= sinxy= sinx的图象相同，则的图象相同，则y=f(xy=f(x) )的函的函数表达式为数表达式为2 12111A y=sinx

22、- B y=sin2 x+22222111C y=sinx+ D y=sin 2x-22222、D 5 5、将、将y=sin2xy=sin2x的图象向左平移的图象向左平移 个单位，得到曲线对个单位，得到曲线对应的解析式为应的解析式为3 A y=sin 2x+ B y=sin 2x-3322C y=sin 2x+ D y=sin 2x-33、Cx6y=sin+26 、要要得得到到的图象，可将的图象，可将y=sinxy=sinx的图象的图象 A A、各点的横坐标伸长到原来的、各点的横坐标伸长到原来的2 2倍，再向左平移倍，再向左平移 个单位个单位6 B B、各点的横坐标缩小到原来的、各点的横坐标缩

23、小到原来的 ，再向左平移，再向左平移 个个单位单位3 12 C C、向左平移、向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的长到原来的2 2倍倍3 D D、向左平移、向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的长到原来的2 2倍倍6 D7 7、函数、函数y=sin(2x+)y=sin(2x+)的图象关于的图象关于y y轴对称，则轴对称，则A =2k +,kZ B =k +,kZ22C =2k + ,kZ D =k + ,kZ 、B 8 8、要得到函数、要得到函数y= sin(xy= sin(x+ )+ )的图象，只需

24、将函数的图象，只需将函数2y= 2sin 2x+4 的图象上所有的点的的图象上所有的点的 A A、横坐标缩小到原来的、横坐标缩小到原来的 ，再向左平移，再向左平移 个单位个单位8 12 B B、横坐标缩小到原来的、横坐标缩小到原来的 ，再向右平移，再向右平移 个单位个单位4 12 C C、横坐标伸长到原来的、横坐标伸长到原来的2 2倍，再向左平移倍，再向左平移 个单位个单位4 D D、横坐标伸长到原来的、横坐标伸长到原来的2 2倍，再向右平移倍，再向右平移 个单位个单位8 C2 8 8、要得到函数、要得到函数y= sin(xy= sin(x+ )+ )的图象，只需将函数的图象，只需将函数2y=

25、 2sin 2x+4 的图象上所有的点的的图象上所有的点的 A A、横坐标缩小到原来的、横坐标缩小到原来的 ，再向左平移，再向左平移 个单位个单位8 12 B B、横坐标缩小到原来的、横坐标缩小到原来的 ，再向右平移，再向右平移 个单位个单位4 12 C C、横坐标伸长到原来的、横坐标伸长到原来的2 2倍，再向左平移倍，再向左平移 个单位个单位4 D D、横坐标伸长到原来的、横坐标伸长到原来的2 2倍，再向右平移倍，再向右平移 个单位个单位8 29y=5sin 2x+3 、的的对称中心坐标为对称中心坐标为_k-,0 kZ26 111y=sin 2x-29 、的振幅是的振幅是_，频率是，频率是_

26、，初相是初相是_121 -9 小小 结结 1、定义域：、定义域： D=R2、值域：、值域： -A，A3、周期：、周期： 2 T一、正弦型函数一、正弦型函数y =Asin(x + )的的性质性质二、正弦型函数二、正弦型函数y =Asin(x + )的的图象图象 的作用：使正弦函数的的作用：使正弦函数的周期周期发生变化。发生变化。A 的作用：使正弦函数相应的的作用：使正弦函数相应的函数值函数值发生变化。发生变化。 的作用：使正弦函数的图象发生的作用：使正弦函数的图象发生位移位移变化。变化。五点作图法：五点作图法：1、列五点表列五点表，2、描点、连线。、描点、连线。作作 业业 求函数求函数)6sin(2 xy 的最大值、的最大值、最小值、周期；最小值、周期； 并用五点法作出它并用五点法作出它在一个周期内的图象。在一个周期内的图象。有兴趣的同学可以思考：上题要求有兴趣的同学可以思考：上题要求“作出函数在作出函数在00，22内的图象内的图象”应如何作图？应如何作图？相信你能画出来相信你能画出来!学学 会会 学学 习习走走 向向 成成 功功 用五点法作出用五点法作出y=Asin(x+ )在一个周期内的图象，在一个周期内的