极点配置问题

1、110.2 极点配置问题极点配置问题2概概 述述q本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的定常连续系统的极点配置（极点配置（Pole assignment），也，也就是使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。就是使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题，也对线性定常离散系统的状态反馈设计问题，也有类似的方法和结论。有类似的方法和结论。3q 对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在很大程度上是由很大程度上是由闭环系统的极点位置闭环系统

2、的极点位置所决定的。所决定的。 因此在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于因此在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点，是可以有效地改善系统的性能品质指标的。点，是可以有效地改善系统的性能品质指标的。 这样的控制系统设计方法称为这样的控制系统设计方法称为极点配置极点配置。 在经典控制理论的系统综合中，无论采用在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率域法频率域法还是还是根轨迹法根轨迹法，都是通过改变极点的位置来改善性，都是通过改变极点的位置来改善性能指标，能指标，本质上均属于极点配置方法本质

3、上均属于极点配置方法。 本节所讨论的极点配置问题，则是指如何通过状态反馈本节所讨论的极点配置问题，则是指如何通过状态反馈阵阵 K 的选择，使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预的选择，使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。先选择的一组期望极点上。q 由于线性定常系统的特征多项式为实系由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式，因此考虑到问题的可解性，数多项式，因此考虑到问题的可解性，对期望的极点的选择应注意下列问题对期望的极点的选择应注意下列问题:1) 对于对于 n 阶系统，可以而且必须给出阶系统，可以而且必须给出 n 个期望的极点个期望的极点;2) 期望的极点必须是实数或

4、成对出现期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数的共轭复数;3) 期望的极点必须体现对闭环系统的期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。性能品质指标等的要求。 p2 p1 p3 5q 基于指定的期望闭环极点，线性定常连续系统的状态反馈极基于指定的期望闭环极点，线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为点配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统给定线性定常连续系统 确定反馈控制律确定反馈控制律uxxBA 使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的个期望的闭环极点也就是成立闭环极点也就是成立vxuKnisBKAii,.,2 , 1

5、,)(*6q下面分别讨论下面分别讨论: 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理 SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法 MIMO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法* 输出反馈极点配置输出反馈极点配置*10.2.1 状态反馈极点配置定理状态反馈极点配置定理q在进行极点配置时，存在如下问题在进行极点配置时，存在如下问题: 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件, 则系统是可以进行极点配置的。则系统是可以进行极点配置的。 下面的定理就回答了该问题。下面的定理就回答了该问题。q定理定理2-1 对线性定常系统对线性定常系统 (A,

6、B, C) 利用线性状态反利用线性状态反馈阵馈阵K，能使闭环系统，能使闭环系统 K(A-BK, B, C) 的极点任意的极点任意配置的配置的充分必要条件充分必要条件为为被控系统被控系统 (A, B, C) 是状态是状态完全可控的完全可控的。q 证明证明 (1) 先证充分性先证充分性(条件条件结论结论)。 即证明，若被控系统即证明，若被控系统 (A, B, C)状态完全可控，则状态反状态完全可控，则状态反馈闭环系统馈闭环系统 K(A-BK, B, C)必能任意配置极点。必能任意配置极点。 由于由于线性变换和状态反馈都不改变状态可控性线性变换和状态反馈都不改变状态可控性，而开环，而开环被控系统被控

7、系统 (A, B, C) 状态可控，状态可控， 因此一定存在线性变换因此一定存在线性变换能将其变换成可控标准型。能将其变换成可控标准型。 不失一般性，下面仅对可控标准型证明充分性。不失一般性，下面仅对可控标准型证明充分性。 下面仅对下面仅对SISO系统进行充分性的证明，对系统进行充分性的证明，对MIMO系统可系统可完全类似于完全类似于SISO的情况完成证明过程。的情况完成证明过程。 证明过程的思路为证明过程的思路为:分别求出开分别求出开环与闭环系环与闭环系统的传递函统的传递函数阵数阵比较两传比较两传递函数阵递函数阵的特征多的特征多项式项式建立极点建立极点可任意配可任意配置的条件置的条件证明过程

8、证明过程: 如果如果SISO被控系统被控系统 (A, B, C)为可控标准型，则其各矩阵为可控标准型，则其各矩阵分别为分别为1.00.0.10bbbCBaaaAnnnn且其传递函数为且其传递函数为nnnnnasasbsbsG.)(1111 若若SISO被控系统被控系统 (A, B, C) 的状态反馈阵的状态反馈阵 K 为为K=kn k2 k1则闭环系统则闭环系统 K(A-BK, B, C) 的系统矩阵的系统矩阵 A-BK 为为111101.0.-00.1-.-.-.-nnnnkA BKaaka k 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式相应的状态反馈闭环控制系统的

9、传递函数和特征多项式分别为分别为11111111.( )().()( )().()nnknnnknnnnnbsbG ssak sakfskasaks 如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+an* 那么那么, 只需令只需令fK(s)=f*(s), 即取即取a1+k1=a1* an+kn=an* 则可将状态反馈闭环系统则可将状态反馈闭环系统 K(A-BK, B, C)的极点配置在的极点配置在特征多项式特征多项式f*(s)所规定的极点上。所规定的极点上。 即证明了充分性。即证明了充分性。 同时，还可得到相应的状态反馈阵为同时

10、，还可得到相应的状态反馈阵为K=kn k2 k1 其中其中*iiikaa(2) 再证必要性再证必要性(结论结论条件条件)。 即证明，若被控系统即证明，若被控系统 (A, B, C) 可进行任意极点配置，可进行任意极点配置，则该系统是状态完全可控的。则该系统是状态完全可控的。 采用采用反证法反证法。 即证明，即证明，假设系统是状态不完全可控的，但可以进假设系统是状态不完全可控的，但可以进行任意的极点配置。行任意的极点配置。证明过程的思路为证明过程的思路为:对状态不完对状态不完全可控的开全可控的开环系统进行环系统进行可控分解可控分解对可控分对可控分解后的系解后的系统进行状统进行状态反馈态反馈其完全

11、不可其完全不可控子系统不控子系统不能进行极点能进行极点配置配置与假设与假设矛盾矛盾, 必必要性得要性得证证证明过程证明过程:1111121222200AABAxxuxx其中状态变量其中状态变量 是完全可控的是完全可控的; 状态变量状态变量 是完全不可控的。是完全不可控的。1 x2 x 对状态反馈闭环系统对状态反馈闭环系统 K(A-BK,B,C)作同样的线性变换作同样的线性变换, 有有11111112121222200AB KAB KBA xxvxx其中其中12KKKP 被控系统被控系统 (A,B,C)状态不完全可控状态不完全可控, 则一定存在线性变换则一定存在线性变换x=Pc , 对其可进行可

12、控分解对其可进行可控分解, 得到如下状态空间模型得到如下状态空间模型: x 由上式可知，状态完全不可控子系统的系统矩阵由上式可知，状态完全不可控子系统的系统矩阵 的特的特征值不能通过状态反馈改变，即该部分的极点不能配置。征值不能通过状态反馈改变，即该部分的极点不能配置。22A 虽然状态完全可控子系统的虽然状态完全可控子系统的 的特征值可以任意配的特征值可以任意配置，但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵置，但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 的的特征值个数。特征值个数。11AA 因此因此, 系统系统 的所有极点并不都能任意配置。的所有极点并不都能任意配置。( , ,)A B C 由于线性变换不

13、改变系统特征值，因此系统由于线性变换不改变系统特征值，因此系统 (A,B,C)的的极点并不是都能任意配置的。极点并不是都能任意配置的。 这与前面假设矛盾，即证明了：这与前面假设矛盾，即证明了：被控系统被控系统 可任意配置可任意配置极点，则系统一定是状态完全可控的极点，则系统一定是状态完全可控的。 故必要性得证。故必要性得证。 16q 由可控标准型的状态反馈闭环系统的传递函数由可控标准型的状态反馈闭环系统的传递函数 状态反馈虽然可以改变系统的极点，但状态反馈虽然可以改变系统的极点，但不能改变系统的零点不能改变系统的零点。 当被控系统是当被控系统是状态完全可控状态完全可控时，其极点可进行任意配置。

14、时，其极点可进行任意配置。 因此，当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点因此，当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重合时，则闭环系统的传递函数中存在重合时，则闭环系统的传递函数中存在零极点相消零极点相消现象。现象。11111.( )().()nnknnnnbsbG ssak sak17 根据零极点相消定理可知，闭环系统根据零极点相消定理可知，闭环系统或状态不可控或状或状态不可控或状态不可观态不可观。 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全可控由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全可控特性，故该闭环系统只能是状态不完全可观的。特性，故该闭环系统只能是状态不完全可观的。 这说

15、明了这说明了状态反馈可能改变系统的状态可观性状态反馈可能改变系统的状态可观性。 从以上说明亦可得知，若从以上说明亦可得知，若SISO系统没有零点，则状态反系统没有零点，则状态反馈不改变系统的状态可观性。馈不改变系统的状态可观性。10.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法q 上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置的充分必要条件，而且给出了求反馈矩阵的充分必要条件，而且给出了求反馈矩阵 K 的一种方法。对的一种方法。对此，有如下讨论此，有如下讨论:1. 由上述定理的充分性证明中可知，对于由上述定理的充分性

16、证明中可知，对于SISO线性定常连线性定常连续系统的极点配置问题，若其状态空间模型为续系统的极点配置问题，若其状态空间模型为可控标准可控标准型型，则相应的，则相应的反馈矩阵反馈矩阵为为K=kn k1 =an*-an a1*-a1 其中其中 ai 和和 ai*(i=1, 2, , n)分别为开环系统特征多项式和分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。所期望的闭环系统特征多项式的系数。11AP APBP B对可控标准型对可控标准型 进行极点配置，求得相应的状态反馈阵进行极点配置，求得相应的状态反馈阵因此，原系统因此，原系统 的相应状态反馈阵的相应状态反馈阵K为为*1111nnn

17、nKaaaaaa1KKP2. 若若SISO被控系统的状态空间模型不为可控标准型，则由被控系统的状态空间模型不为可控标准型，则由9.9节讨论的求可控标准型的方法节讨论的求可控标准型的方法, 利用线性变换利用线性变换x=P ,将系统将系统 (A,B)变换成可控标准型变换成可控标准型 , 即有即有x ( ,) A Bq 下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵 K 的方法。的方法。q 例例2-1 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为122131 xxu 求状态反馈阵求状态反馈阵K 使闭环系统的极点为使闭环系统的极点为 - -1j2。q 解解 ： 1.

18、判断系统的可控性判断系统的可控性 开环系统的可控性矩阵为开环系统的可控性矩阵为2-41-5BAB 则开环系统为状态可控，可以进行任意极点配置。则开环系统为状态可控，可以进行任意极点配置。 2. 求可控标准型求可控标准型11111111/61/312118601052101BP BpBABpPp AAP AP 3. 求反馈律求反馈律 因此因此开环特征多项式开环特征多项式f(s)=s2-2s-5而由期望的闭环极点而由期望的闭环极点 -1 j2 所确定的所确定的期望闭环特征多项式期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5则得状态反馈阵则得状态反馈阵 K 为为1*12211-1215-(-5) 2-

19、(-2)-1861-7263KKPa aa a P11582141713 xxu通过验算可知，该闭环系统的极点为通过验算可知，该闭环系统的极点为-1j2，达到设计要求。，达到设计要求。则在反馈律则在反馈律 u=-Kx+v 作用下的闭环系统的状态方程为作用下的闭环系统的状态方程为q 例例2-2（P252 例例10-1，掌握掌握） 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为)2)(1(10)(ssssG 试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K，使闭环系统的，使闭环系统的极点配置在极点配置在 -2 和和 -1j 上。上。q 解解 ： 1. 要实现极点任意配置，则系统

20、实现需状态完全可控。要实现极点任意配置，则系统实现需状态完全可控。 因此，可以通过选择可控标准型来建立被控系统的状态因此，可以通过选择可控标准型来建立被控系统的状态空间模型。空间模型。0100001002311000 xxuyx2. 系统的开环特征多项式系统的开环特征多项式 f(s) 和由期望的闭环极点所确定的闭和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式环特征多项式 f *(s) 分别为分别为 f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵则相应的反馈矩阵 K 为为K=a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1 =4 4 1系统的可控标准型实现为系统的可控标准型实

21、现为q 因此，在反馈律因此，在反馈律 u=-Kx+v 下，闭环系统状态方程为下，闭环系统状态方程为0100001046411000 xxuyxq 在例在例2-2中中, 由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现需先求系统实现，即需选择状态变量和建立状态空间模型。，即需选择状态变量和建立状态空间模型。 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。可以直接作反馈量的问题。 由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的，因由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的，因此对

22、于实际的控制系统，它可能不能直接测量，甚至此对于实际的控制系统，它可能不能直接测量，甚至只是抽象的数学变量而已，实际中不存在物理量与之只是抽象的数学变量而已，实际中不存在物理量与之直接对应。直接对应。 若状态变量不能直接测量，则在状态反馈中需要引入若状态变量不能直接测量，则在状态反馈中需要引入所谓的所谓的状态观测器状态观测器来估计系统的状态变量的值，再用来估计系统的状态变量的值，再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。10.2.3 MIMO系统状态反馈极点配置方法系统状态反馈极点配置方法*q MIMO线性定常连续系统极点配置问题的提法为线性定

23、常连续系统极点配置问题的提法为:nisBKAii,.,2 , 1,)(* 对给定的状态完全可控的对给定的状态完全可控的MIMO被控系统被控系统(A,B)和一组和一组所期望的闭环极点所期望的闭环极点 , 要确定要确定r n的反馈矩阵的反馈矩阵K,使成立使成立nisi,.,2 , 1,*29q 对对SISO系统，由极点配置方法求得的状态反馈阵系统，由极点配置方法求得的状态反馈阵K是唯一的是唯一的, 而由而由MIMO系统的极点配置所求得的状态反馈阵系统的极点配置所求得的状态反馈阵K不唯一。不唯一。 这也导致了求取这也导致了求取MIMO系统极点配置问题的状态反馈矩系统极点配置问题的状态反馈矩阵的方法多

24、样性。阵的方法多样性。 MIMO系统极点配置主要方法有系统极点配置主要方法有:(1) 化为单输入系统的的极点配置方法化为单输入系统的的极点配置方法(2) 基于基于MIMO可控标准型的极点配置方法可控标准型的极点配置方法(3) 鲁棒特征结构配置的极点配置方法。鲁棒特征结构配置的极点配置方法。 下面分别介绍前下面分别介绍前2种方法。种方法。 301. 化为单输入系统的极点配置方法化为单输入系统的极点配置方法q 对可控的多输入系统，若能先通过状态反馈化为单输入系对可控的多输入系统，若能先通过状态反馈化为单输入系统，则可以利用前面介绍的统，则可以利用前面介绍的SISO系统的极点配置方法来求系统的极点配

25、置方法来求解解MIMO系统的极点配置问题的状态反馈矩阵。系统的极点配置问题的状态反馈矩阵。q 为此，有如下为此，有如下MIMO系统极点配置矩阵求解算法步骤。系统极点配置矩阵求解算法步骤。第第1步步: 判断系统矩阵判断系统矩阵A是否为循环矩阵是否为循环矩阵(即每个特征值仅有即每个特征值仅有一个约旦块或其几何重数等于一个约旦块或其几何重数等于1)。 若否若否, 则先选取一个则先选取一个r n维的反馈矩阵维的反馈矩阵K1, 使使A-BK1为为循环矩阵循环矩阵,并令并令 ; 若是若是, 则直接令则直接令 。1AABKAA31第第3步步: 对于等价的单输入系统的极点配置问题对于等价的单输入系统的极点配置

26、问题, 利用单输入利用单输入极点配置方法极点配置方法, 求出状态反馈矩阵求出状态反馈矩阵K2, 使极点配置在期望使极点配置在期望的闭环极点的闭环极点 。nisi,.,2 , 1,*第第2步步: 对循环矩阵对循环矩阵, 适当选取适当选取r维实列向量维实列向量p, 令令b=Bp且为可且为可控的。控的。第第4步步: 当当A为循环矩阵时为循环矩阵时, MIMO系统的极点配置反馈矩阵系统的极点配置反馈矩阵解解K=pK2; 当当A不为循环矩阵时不为循环矩阵时, MIMO系统的极点配置系统的极点配置反馈矩阵解反馈矩阵解K=pK2+K1。32q 在上述算法中，之所以需要判断系统矩阵在上述算法中，之所以需要判断

27、系统矩阵A是否为循环矩阵是否为循环矩阵是因为对单输入系统是因为对单输入系统, 若若A不为循环矩阵不为循环矩阵(其某个特征值对应约旦块多于一个其某个特征值对应约旦块多于一个), 则根据推论则根据推论3-1, 系统直接转化成的单输入系统不可控系统直接转化成的单输入系统不可控, 不能进行极点配置。不能进行极点配置。q 例例2-3 设线性定常系统的状态方程为设线性定常系统的状态方程为uxx110110100010011 求状态反馈阵求状态反馈阵K使闭环系统的极点为使闭环系统的极点为 - 2, -1j2。 33q 解解 (1) 判断系统的可控性。判断系统的可控性。 由于被控系统状态空间模型恰为约旦规范形

28、由于被控系统状态空间模型恰为约旦规范形, 由定理由定理3-2可知可知, 该开环系统为状态可控该开环系统为状态可控, 可以进行任意极点配置。可以进行任意极点配置。(2) 由于系统矩阵由于系统矩阵A不为循环矩阵不为循环矩阵, 需求取需求取r n维的反馈矩阵维的反馈矩阵K1, 使使为循环矩阵。为循环矩阵。 试选反馈矩阵试选反馈矩阵K1为为:10000034 可以验证可以验证为循环矩阵。为循环矩阵。2000101111BKAA(3) 对循环矩阵对循环矩阵 , 选取选取r维实列向量为维实列向量为 p=1 1T, 可以验证可以验证A211,200010111),(),(BpAbA 为可控的。为可控的。35

29、(4) 对于等价的可控的单输入系统对于等价的可控的单输入系统 的极点配置问题的极点配置问题,利用利用单输入极点配置方法，求出将闭环极点配置在单输入极点配置方法，求出将闭环极点配置在-2,-1j2 的状的状态反馈矩阵态反馈矩阵K2为为),(bA211112121300112224312642286cTBABA BTTT AT A K2=-24 -68 50T 计算过程为计算过程为36 因此系统开环特征多项式因此系统开环特征多项式f(s)=|sI-A|=s3-4s2+5s-2, 而由期望的闭环极点而由期望的闭环极点-3, -1j2 所确定的期望的闭环特征所确定的期望的闭环特征多项式多项式f(s)=

30、s3+4s2+9s+10 则得系统的状态反馈阵则得系统的状态反馈阵 K2 为为1*1223322112- 243110-(-2) 9-54-(-4)2642286246850ccKKTa aa aa a T 37(5) 对对MIMO系统的极点配置反馈矩阵解为系统的极点配置反馈矩阵解为4968245068241000005068241112KpKK 则在反馈律则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为下的闭环系统的状态方程为vxx1101109813648506924496925 通过验算可知通过验算可知, 该闭环系统的极点为该闭环系统的极点为-2, -1j2, 达到设计要求。达到设计要求

31、。 382. 基于基于MIMO可控标准型的极点配置方法可控标准型的极点配置方法q 类似于前面介绍的类似于前面介绍的SISO系统的极点配置方法，对可控的系统的极点配置方法，对可控的MIMO系统，也可以通过线性变换将其变换成系统，也可以通过线性变换将其变换成旺纳姆旺纳姆(W.M. Wonham)可控标准型可控标准型或或龙伯格龙伯格(D. Luenberger)可控标准型可控标准型，然后再进行相应的极点配置。然后再进行相应的极点配置。 这种基于可控标准型的极点配置方法，计算简便，易于这种基于可控标准型的极点配置方法，计算简便，易于求解。求解。 主要有两种方法主要有两种方法 基于旺纳姆可控标准型的设计

32、基于旺纳姆可控标准型的设计 基于龙伯格可控标准型的设计基于龙伯格可控标准型的设计39(1) 基于旺纳姆可控标准型的设计基于旺纳姆可控标准型的设计 q 下面结合一个下面结合一个3个输入变量，个输入变量，5个状态变量的个状态变量的MIMO系统的系统的极点配置问题，求解来介绍基于旺纳姆可控标准型的极点极点配置问题，求解来介绍基于旺纳姆可控标准型的极点配置算法。配置算法。第一步第一步: 先将可控的先将可控的MIMO系统化为系统化为旺纳姆可控标准型旺纳姆可控标准型。 不失一般性，设变换矩阵为，所变换成的旺纳姆可不失一般性，设变换矩阵为，所变换成的旺纳姆可控标准型的系统矩阵和输入矩阵分别为控标准型的系统矩

33、阵和输入矩阵分别为:40第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极点 , 按旺纳姆可控按旺纳姆可控标准型标准型 的对角线的维数的对角线的维数, 相应地计算相应地计算1113121121222322210100000*0010000*0010*0000100*01*wwwwwATATBTB *22*212*5*4*2*13*122*113*3*2*1*1)()()()()(sssssssfassssssssssfnisi,.,2 , 1,*wA41第三步第三步: 取旺纳姆可控标准型下的反馈矩阵取旺纳姆可控标准型下的反馈矩阵 为为*131312121111*22222121000000

34、0000wK 将上述反馈矩阵将上述反馈矩阵 代入旺纳姆代入旺纳姆可控标准型验算，可得可控标准型验算，可得wK*131211*212223222101000001000000001wwwAB K wK42第四步第四步: 原系统的反馈矩阵为原系统的反馈矩阵为1wwKK T1wwKK T43(2) 基于龙伯格可控标准型的设计基于龙伯格可控标准型的设计 q 下面结合一个下面结合一个3个输入变量，个输入变量，6个状态变量的个状态变量的MIMO系统的系统的极点配置问题求解，来介绍基于龙伯格可控标准型的极点极点配置问题求解，来介绍基于龙伯格可控标准型的极点配置算法。配置算法。第一步第一步: 先将可控的先将可

35、控的MIMO系统化为龙伯格可控标准型系统化为龙伯格可控标准型变换。变换。 不失一般性，设变换矩阵为，所变换成的龙伯格不失一般性，设变换矩阵为，所变换成的龙伯格可控标准型的系统矩阵和输入矩阵分别为可控标准型的系统矩阵和输入矩阵分别为:441312111415161212223222126313233343531121312301000000100000001000000010011LLLLLATATBTB 45第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极点 ，按龙伯格，按龙伯格可控标准型可控标准型 的对角线的维数，相应地计算的对角线的维数，相应地计算nisi,.,2 , 1,*LA*3

36、*2*1123111213*2*2452122*3631( )()()()( )()()( )()fssssssssssafsssssssfssss46第三步第三步: 对龙伯格对龙伯格可控标准型可控标准型，一定存在状态反馈阵，一定存在状态反馈阵 使得使得闭环反馈矩阵为闭环反馈矩阵为 LK*131211*2221*3101000101LLLAB K 其中其中 为期望闭环特征多项式的系数。为期望闭环特征多项式的系数。*ij 因此因此,将开环的将开环的 带入代数上述方程，由该方程的带入代数上述方程，由该方程的第第3, 5, 6行行(即每个分块的最后一行即每个分块的最后一行)可得如下关于状态可得如下关

37、于状态反馈阵反馈阵 的方程的方程LLAB和LK47 由代数方程论知识可知由代数方程论知识可知，上述代数方程组有唯一解。，上述代数方程组有唯一解。 由于该方程为下三角代数方程组，可以快捷地求解出状由于该方程为下三角代数方程组，可以快捷地求解出状态反馈矩阵。态反馈矩阵。第四步第四步: 原系统的反馈矩阵为原系统的反馈矩阵为1wwKK T*1213131312121111141516*232122232222212126*31323334353131111LK1LLKK T48q 例例2-4 试将线性连续定常系统试将线性连续定常系统 1wwKK T010000000100003101211000010

38、04311401 xxu 的闭环极点配置在和的闭环极点配置在和 -1, -2 j, -1 2j 上。上。 49q 解解 (1) 采用旺纳姆可控标准型求解。采用旺纳姆可控标准型求解。第一步第一步: 按照按照4.5节求解旺纳姆可控标准型的算法步骤，求得节求解旺纳姆可控标准型的算法步骤，求得如下旺纳姆可控标准型如下旺纳姆可控标准型1wwKK T 其中变换矩阵其中变换矩阵 0100001/220010003/2200010013/2200001049/2272414241161/22xxu1410001410 001414310004310wT50第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极

39、点 , 按旺纳姆可按旺纳姆可控标准型的对角线的维数，控标准型的对角线的维数， 相应地计算相应地计算1wwKK T第三步第三步: 取旺纳姆可控标准型下的反馈矩阵为取旺纳姆可控标准型下的反馈矩阵为nisi,.,2 , 1,*5*543211( )()+7+24+48+55 +25iifssssssss32796226300000wK 则闭环系统的系统矩阵为则闭环系统的系统矩阵为:511wwKK T01000001000001000001255548247wwwAB K 52第四步第四步: 原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为 1wwKK T11041206615

40、0188100000220100000100-38/22-98/22-3-128/22-144/2200001431-1-4wwKK TABK53(2) 采用龙伯格可控标准型求解。采用龙伯格可控标准型求解。第一步第一步: 按照按照4.5节求解龙伯格可控标准型的算法步骤求得如节求解龙伯格可控标准型的算法步骤求得如下龙伯格可控标准型下龙伯格可控标准型1wwKK T 其中变换矩阵其中变换矩阵 01000000010000430121100001003101401xxu1000001000 001001001001001LT54第二步第二步: 对给定的期望闭环极点对给定的期望闭环极点 ，按龙伯格可，按

41、龙伯格可控标准型的对角线的维数，相应地计算控标准型的对角线的维数，相应地计算1wwKK T第三步第三步: 期望的闭环系统矩阵为期望的闭环系统矩阵为 nisi,.,2 , 1,*321*22( )(1)(2)(2)595( )(12 )(12 )25fsssj sjsssfssj sjss 0100015950152LLLAB K 55 因此状态反馈阵满足的方程为因此状态反馈阵满足的方程为即即 *121313121211111415*2122232222212111LK119125120131042LK 因此可以解得因此可以解得61353431042LK56第四步第四步: 原系统的反馈矩阵和闭环

42、系统矩阵分别为原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为 199534110420100000100595000000152152LLKK TABK 5710.2.4 输出反馈极点配置输出反馈极点配置*q 由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间，因此输出由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间，因此输出反馈也称之为反馈也称之为部分状态反馈部分状态反馈。 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少，由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少，因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。q 线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统给定线性定常连续系统ABCxxuyx58确定反馈控制律确定反馈控制律 使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的