圆锥曲线的原理最详细图解平面与圆锥面的截线

1、平面与圆锥面的截线立几画板制作）改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系:将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线1与l相交于O点，其夹角为“，1围绕l旋转得到以O为顶点，1为母线的圆锥面，任取平面兀，若它与轴1交角为3（兀与1平行，记作3=。），则:(1) 3a,平面(2) 3=a,平面(3) 3Va,平面兀与圆锥的交线为椭圆；兀与圆锥的交线为抛物线;兀与圆锥的交线为双曲线。三、

2、证明结论:利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：3%平面与圆锥的交线为椭圆.二点义|以定义户动蔺口示控制由II冏困PF1|=2.9615(PF2|=4.0175|PO1|=2.9615|PQ2|=4.0175|PA|二81956|PF1|门，J=0.361IPAI2C=25218236.979。e二立二。,361：如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值.卜面证明：3=时，平面与圆锥面的交线为抛物线。如图.设平面靠与圜悔内切球栩切于点F1球与圆锥的交线为S,过该交裳的平面为一i

3、r与/交于直线孙在平面不与圆锥的截线上任就一点P,连接PB.过点P作PA，m,交m于点A.过点P作F垂统,垂足为B,连接内B,JWABmt所以/产AB是1c与一所成二面角的平面角，连携点P般住的D（点，与S相交于点Qi,连接BQ.则/HPQi=s/apb=a在RtAAPE中.P8MAHg在RtZXFEQ.中.PB=PQ1eo5.工8E2_.PActwa*又:他*Laa1即PF,=PA,动点P到定点巴的距离等于它到定宜线m的距离，故当。=5时.平面苛削螳交或为橄物线.卜面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率:我们就图中下面的氏nddin球进行付的.即讨论一条准线的情册,上面一支*曲线

4、的准线同现“Ji在裁口上任取点F.连接尸后.过好和圜幡顶点O作伸线，与律相切于Q,球号觊椎的交线NS.记所在的平面为截面寓与平面一相交于直线M过点P在富中作PAJ_e,交m于点4过F作平面/的垂线，等足为讯连接QBARPg为直角三角形，且NQPBh。.ZXPA3也是宜体三角形,SZAFB&在RtZPM中,PBPQtcosa.在RiZXPAH中.FB-PAe峥段二曲#PA又丁产人=9:.普=定胤PAMMtaV00於：ccOs5-1PArosa：E是双曲线的一条准缓，且瓮$Lcosa换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用一个

5、半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点储印正上方有一个光源A,AA与球相切，AAi=6,球召桌面上的投影是什么形状？离心率是多少？用图霸制作三维直观图:解答参看下图:五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在几何图霸中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1 .作全自由点O,过点O作平行于z轴上的点B,过B作平行于x轴上的点C,作点B、关于O的对称点B、C.2 .选取点O、B、C,作圆锥，选取点O、B、C,作圆锥.3 .在圆B上任取点D,作D关于B对称点，连接OD,OD,在OD上任取一点E,以E为圆心画过点D、D的心点圆，在圆E上任取点F,连EF,它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB交于O1;作角DEF的平分线，与轴BB交于O2,它们就是双球的球心.5.过球心01、02分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2,它们就是焦点6 .选取点01、F1,作球01（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球02.7 .取线EF上的点G、H,作GD0垂线上的伸缩点I,作点I关于点G的对称点I按向量GH平称点I、I得点12、I.添加面II2II，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J,连结OJ交截面于点K,选取点J、K,添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9 .点E按向量OD平移得点E,