2015年清华大学数理体验营数学试题

1、2015清华大学数理体验营数学试题1、已知函数 f(x)=4sin 3xcosx-2sinxcosx-1 cos4x 2(1)求f (x)的最小正周期及最大值；(2)求f (x)的单调区间.2、设函数 f (x)=(2x 2- 4ax)lnx+x 2(1)求函数f (x)的单调区问；(2)若不等式f (x)0对x?1恒成立，求a的取值范围.3、袋中有若干枚均匀硬币，其中一部分是普通硬币，其余的两面均为正面，已 知普通硬币占总硬币数的比例为 9 (0 9 0, an+a2n+? +ann= , (n=1,2, ?)证明:2(1) anan+1 (n=1,2, ?) (2)对于任意给定的0?m时，

2、0a-1?.36、已知集合Sn=X|X=(x 1,x 2, ? ,x n),x i 0,1,i=1,2,?,n,n ?2,A=(a1,a 2, ? ,a n) C Sn,B=(b 1,b 2, ? ,b n) Sn, 定义A与B的差为A-B=(|a 1- b1|,|a 2- b2|, ? ,|a n- bn|),且A与B之间的距离为d(A, B)(1)对任意 A,B,CC S,证明：d(A-C,B- C)=d(A,B),且 d(A,B) , d(A,C) , d(B,C) 三个数中至少有一个是偶数；(2)设P?&, P中有m(n?2)个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为mnd(P),证明

3、：d(P) -mn-.2(m 1)(3)当n=3时，若M满足：M? &且M中元素间的距离均为2,试写出含有元素 个数最多的所有集合M2015清华大学数理体验营数学试题解答1、(1)因为f(x) sin(4x ),所以f(x)的最小正周期为一，最大值为史.2422(2)f(x)的单调递增区间为一+U,5_+L ,k e z.16 2 1622、 (1) f (x)=4(x - a)(1+lnx)当a?0时，f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增； ee当0al时，f(x)在(0, 1)(和(a,+ )上单调递增，在(1 ,a)上单调递减.(2)由(1)可知，当a?1时，f(x

4、)在1,+ 8)上单调递增，故只需满足f(1)0 即可，而此时f(1)=10恒成立，所以a? 1满足题意.当a1时，只需满足f(a)=a 2(1-2lna)0,即可，解得1a0对？xC 1,+8)恒成立，则a的取值范围是(-oo,品).3、(1)根据全概率公式可得分布列为X0i j2pi-n*%(2)根据二项分布的计算方式，可得分布列为24、(1)椭圆L的方程为土y2 12(2)设A点坐标为(X1,y 1), B点坐标为(X2,y 2), C点坐标为(x3,y 3).由XFi = 1再日,AFi =刖跖 C,可得1 +工111 一町 I 1了酒=-1,汇口 =十 LAiAs由椭圆的焦准性质可知

5、，尸段，将X2= U 1代入上式，可得入产2次+3;X221同理，2= U1，将X3J2X3Xi1代入上式，可得 入2=-2xi+3.所以入l+入2=6.(3)当直线AC的方程为x=1时，AFiAC的面积S取到最大值V2 .5、(1)若？kC N+,使得 0a?ak+i,则g =%+碌+4 &叫工+4H+*1 an+1(n=1,2, ?).(2)显然 0an1(n=1,2, ?),故有1. 2 n 所(1 一明 On不=/ 斗“-I1-=； 1/3 .由于数列an单调递减有下界，所以n一8时，数列an的极限存在.设lim Qn = A则EmK1 0nA _ 11-A 2解得a=i/3.所以对于

6、任意给定的0em时，0a-1?. 36、(1)d(A -C,B-C尸d(A,B)显然成立.因为(ai - bi)+(bi -ci)+(ci -ai)=0 ,而(ai -bi)+(bi -ci)+(ci - ai)与|ai -bi|+|bi-ci|+|ci -ai|的奇偶性相同，故d(A,B)+d(A,C)+d(B,C)是偶数.所以 d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.(2)I -1d(产)=k E *4 旧)A屎尸其中AP表示P中所有两个元素间距离的总和.设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1, mti个0,则44声)=4 声 EFi122T71TlTTl由于Mm % 丁G = 12，所以 E.4角屎p4ii =1 nm2 mn从而 d(尸)=y- d(AB) W j-=不TVCm Ap4cm(3) S中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点.易知集合M中的元