第四章(众数、中位数)

1、第四章 数值的分布特征 对统计数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述：集中趋势集中趋势、离散程度离散程度、偏偏态和峰度态和峰度。重点：掌握各类统计指标的计算方法和应用原则，并进行初步的分析。 难点：结合实例准确进行集中趋势和离散程度的测度及分析。集中趋势(Central tendency)0四、众数（四、众数（Mode） 一、 众数( 是一组数据中出现次数最多的变量值。主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据 1.无众数或复众数无众数或复众数对于未分组数据和单项式分组数据，可直接观察确定,即在一组数列或单项数列当中,次数最多的那个变量值就为众数。如果每个变量值出现的次数相同则没有众数

2、； 如果有两个或以上变量值出现次数相同且为最大次数，则为复众数。M0)工资(x)工人数(f)工资总额(xf)50021000530421207408592086054300102011020合计20143607400M例：职工平均工资情况（众数的确定）2.对于组距数列，首先确定众数所在组，次数最多的那一组即为众数组。组距数列众数的计算公式：iLMo211下限公式iUMo212上限公式其中：其中： L-众数所在组下限；众数所在组下限； U-众数所在组上限；众数所在组上限； 1-众数组次数与前一组次数之差；众数组次数与前一组次数之差； 2-众数组次数与后一组次数之差；众数组次数与后一组次数之差；

3、i-众数所在组的组距。众数所在组的组距。1012MLd 2021MUd下限公式下限公式上限公式上限公式众数所在组次数与众数所在组次数与指指标标相邻组相邻组次数差次数差众数所在组次数与众数所在组次数与指指标标相邻组相邻组次数差次数差组距式组距式众数所在众数所在组下限组下限众数所在众数所在组的组距组的组距注 意例：某车间职工加工零件 （计算众数）按零件数分组(个)职工人数(人)40502050 604060 7080708050809010合 计200 解：按下限公式计算： 按上限公式计算： 71.651050804080408060oM 71.651050804080508070oM（个）（个）

4、1、众数的数值要受到众数所在组相邻两组次数多少的影响。2、当众数组前一组次数大于众数所在组后一组次数时，众数接近众数组的下限；反之，当众数组前一组次数小于众数所在组后一组次数时，众数接近众数组的上限；3、当众数所在组前后两组次数相等或当该数列次数呈对称分布时，众数所在组的组中值就是众数。注意五、中位数（五、中位数（Median)二、中位数（Me） 是一组数据按一定顺序排列后，处于中间位置上的变量值。1、对于未分组数据， 先把数据按大小顺序排列，然后中位数位置按 确定当一个序列中的项数为奇数时，则处于序列中间位置的变量值就是中位数。例如：根据7、6、8、2、3这五个数据求中位数，先按大小顺序排成

5、2、3、6、7、8。在这个序列中，选取中间一个数值6，小于6的数值有两个，大于6的数值也有两个，所以6就是这五个数值中的中位数。当一个序列的项数是偶数时，则应取中间两个数的中点值作为中位数，即取中间两个变量值的平均数为中位数。例如一个按大小顺序排列的序列2、5、7、8、11、12，其中位数的位置在7与8之间，中位数就是7与8的平均数，即：21n5 . 7287eM例例1：某车间：某车间9名职工生产的零件数排序为名职工生产的零件数排序为 7，9，11，12，15，16，18，20，21计算中位数计算中位数例例2：上例最后一名职工不算重新计算中位数：上例最后一名职工不算重新计算中位数 7，9，11

6、，12，15，16，18，20奇数奇数偶数偶数2、单项式数列确定中位数它是先计算各组的累计次数（或频数）；再按公式 确定中位数的位置，并对照累计次数确定中位数。即比较211niif211niif与累计次数的大小，当累计次数大于211niif时，所对应的变量值即为中位数。向上累计例：某班同学按年龄分组资料如表所示，求中位数。 年龄（岁）学生人数向上累计向下累计1755501881345192639372094811212502合 计50 解：年龄中位数的位置为 ，说明位于第25与第26位同学之间，根据累计次数可确定中位数为第三组的变量值19岁。5 .2521503. 由组距数列确定中位数由组距数

7、列确定中位数根据组距数列资料确定中位数，应先按 的公式求出中位数所在组的位置；运用公式推算出中位数的近似值。公式如下：21niififsfLMmmniie112ifsfUMmmniie112下限公式上限公式 其中：L中位数所在组的下限；U中位数所在组的上限； 向上累计至中位数所在组前一组止的次数； 向下累计至中位数所在组后一组止的次数； 中位数所在组的次数； 中位数所在组的组距。1ms1msmfi并与累计频数比较大小例：现利用表中的资料，计算中位数。按零件数分组(个) 职工人数（人）向上累计向下累计405020202005060406018060708014014070805019060809

8、01020010合 计200 【解】步骤为：计算 确定中位数所在位置，即大约在第100个单位；计算累计次数到第三组时为20+40+80=120100，即中位数在6070这一组。 将表中的资料代入计算中位数的上限公式和下限公式，所得结果一致。按下限公式计算：65108060220060eM按上限公式计算：65108060220070eM（个）（个）10021nifi（三）四分位数（三）四分位数 一组数据排序后，处于一组数据排序后，处于25%和和75%位置上的值。位置上的值。最小值最大值第一四分位第一四分位数数第三四分位第三四分位数数中中位位数数QL=N/4Qu=3N/4N代表的是总次数 三个数值可以将变量数列划分为项数相等的四部分，这三个数值就定义为四分位数(Quartiles)，分别称为第一四分位数、第二四分位数和第三四分位； 分别称为第一四分位数、第二四分位数和第三四分位数，记作 、 和 。对于不分组数据而言，三个四分位数的位置分别是：在 ； 在 ； 在 ，可 可见 就是中位数。1Q2Q3Q1Q2Q3Q2Q4N242NN43N 例：一组数据排序后为750，780，850，960，1080，1250，1500，1630，2000， 求其第一和第三四分位数。解：