(整理)复合函数求导

1、2已知函数解 332x复合函数导数、定积分内容要求ABC导数及其 应用简单的复合函数的导数定积分二、应知应会知识和方法：1已知x> 0，比较2x 与 ln(2x 1)的大小解2x> ln(2x 1)说明 利用函数f(x) 2x ln(2 x 1)的导数，研究其单调性，进而说明其恒大于03f(x) sinx， x0， 2 的图象如图所示，求图中阴影部分的面积y3计算抛物线y x2 2x 3 与直线y x 3 所围成的图形的面积y=x 2x 3，如图，由解得 x1 0， x2 3y=x 3S30（x 3） （x2 2x 3） dx13 323 93x 2x ）|02n4若(2x 1)

2、n展开式中，各项二项式系数之和为x64，求n 13（2x） dx 的值1xn 6 所以n 1 n31262（2x x） dx（2x x）2dx（4x214 31 6 5354 x2）dx （3x3 4x x）|125如图，用图“以直代曲”的方法计算直线的面积2x 0， x 1 ， y 0 和曲线y ax (a> 0)围成的阴影图形解 ( 1)分割把区间0，1等分成n 个小区间：0，1n，n1，n2，i n 1，ni，nn1，nn( 2 )以直代曲 Si f( ) x a nnn( 3)作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以以n 个小矩形面积之和就是曲边三角形面积S

3、的近似值，n a1a 11即SS1S2SnSin36n(n1) (2n1)6 (1 n)(2n)( 4)逼近当分割无限变细，即 x 无限趋近于0(亦即n 趋向于)时， a (1 1) (2 1)无限6n na1 1aa趋近于S，而当n 趋向于时，6 (1 n) (2 n)无限趋近于3由此可知S 3二 复合函数的求导法则掌握导数的四则运算，复合函数的求导法则并能熟练运用法则解决实际问题。教材、参考材料复习：法则一:(u(x) v(x) = u (x) v (x);法则二 :(u(x)v(x) = u(x)v (x) + u (x)v(x);v(x) u(x)v (x) u (x)v(x).u(x

4、)u(x)法则三( 约 10分钟)讲解新课二、复合函数的求导法则(重点讲解，约 50分钟)定理 2 设函数 y=f(u)， u= (x)均可导，则复合函数y = f( (x) 也可导 .yxyu ux，yx f (u)(x)，dydy dudxdu dx课堂练习(约 25 分钟)小结 ( 约 5 分钟)定理 2 设函数 y=f(u)， u= (x)均可导，则复合函数y = f( (x) 也可导 .dy dudu dxyxyu ux，yx f (u)(x)，dydx证： 设变量 x 有增量所以x， 相应地变量 lim u0u 有增量u， 从而 y 有增量y. 由于 ux0.可导，yyuy uy

5、ulixm0xlixm0u xlixm0ulixm0xlium0 ulixm0 x yu ux，yxyu ux .推论 设 y = f(u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复合函数y = f ( (x) 也可导，yxyu uv vx.例 1 设 y = (2x + 1) 5，求y .解 把 2x + 1 看成中间变量u，将y = (2x + 1)5看成是y = u5， u = 2x + 1 复合而成，由于所以yu (u5)5u4, ux(2x 1) 2.yx yu ux 5u4 2 10(2x 1)4.例 2 设y =sin 2x，求y .解 这个函数可以看成是y = sin

6、x·sinx, 可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将 y = sin2 x 看成是由y = u2， u = sin x 复合而成.y u (u2) 2u , ux (sin x) cosx.而所以yxyu ux 2u cosx 2sin xcosx.例 3 设 y=sin3x，求y .y u 3， u sin x，则解：dy dy du223u cosx 3sin x cos x.dx du dxy'例 4 设 y=lncosx， 求y ln u， u cos x，则解：dydy du1( sin x)dx du dxu1( sin x)cosx tanx.3

7、例 5设y sin (2x 1)，求y'.解： y' (sin3(2x 1)' 3sin2(2x 1) (sin(2x 1)'23sin2(2x 1) cos(2x 1) (2x 1)'23sin2(2x 1) cos(2x 1) 26sin2(2x 1)cos(2x 1).例 6 设 y = etan x，求y .解 y = e tan x 可以看成是由y = e u， u =tanx 复合而成，所以复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.uu 22 tan xyxyu ux (e )u (tan x)x e sec x sec xe .例 7 设

8、 y 1 x2,122xyx(1 x2) 2 (1x2 ) x221 x2解例 8 设 f(x) =arcsin(x2) ，求 f (x).f (x)1(x2) x 2x .1 x41 x4例9设 y ln sin x,求 y.解yx (x)1 (sin x) x sin xsin xcos x( x) x 1 cot x.2x例 10 设 y x ex, 求 y1x2x 1x2xyx(x e ) (x e ) x (x e ) (x) x (e ) x22解11(x e ) 1 e ( x) x (x e ) (1 e ).22例 11设y1x解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则(x) 1x2x( 1x2)1 x21212xx2x (1x2)x212 22223.( 1 x )1 x1 x (1 x )(1 x2)2例 12 设 y =sin(xlnx)，求 y .解 先用复合函数求导公式，再用乘法公式y = cos(xlnx)·(xlnx) = cos( xlnx) ·(x ·(lnx) + x lnx )= (1+ln x)cos(xlnx) .求 ln( x 1 x2 )例 13解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数1 x2 的求