反三角函数(一)(学生版)

1、精锐教育学科教师辅导讲义年级：高一辅导科目：数学课时数：3课题反三角函数1 、熟练掌握反三角函数的定义、图像及基本性质；教学目的2、会求特殊的反三角函数值，会用反三角函数值表示角的大小；3、会求一般形式的三角函数的反函数。教学内容反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinxx -, 的反函数，叫做反正弦函数，记作 x=arsinyy=cosx(x 0, 的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tanxx (-,)的反函数，叫做反正切函数，记作 x=arctanyy=cotxx (0, ) 的 反 函数，叫做反余切函数，记作 x=arccoty理解arcs

2、inx 表 示 属于 -,且正弦值等于x的角arccosx 表示属于 0， ，且余弦 值等于x的角arctanx 表 示属于(-,) ，且正切值等于x 的角arccotx 表示属于 (0 ， ) 且余切值等于x 的角图像性 质定义域 -1 ， 1 -1 ， 1 (- ，+)(- ，+ )值域-，22 0， (-，)(0 ， )单调性在 -1 ， 1 上是增 函数在 -1 ， 1 上是减 函数在 (- ，+ ) 上是增数在 (- ，+ ) 上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinx 奇函数arccos(-x)=-arccosx非奇非偶函数arctan(-x)=-arcta nx奇函数

3、arccot(-x)=-arcotgx非奇非偶函数周期性都不是周期函数恒等式sin(arcsinx)=x (x -1 ， 1 )arcsin(sinx)=x(x -, )cos(arccosx)=x(x -1,1 )arccos(cosx)=x (x 0, )tan(arctanx) (x R) arctan(tanx)=x( x (-,)cot(arcotgx)=x(x R) arccot(cotx)=x (x (0, )互余恒等式arcsinx+arccosx=(x -1,1 )arctanx+arccotx=(X R)例 1 、 在下列式子中：(1)arcsin ;(2)arcsin ;

4、(3)arcsin( 3);(4)arcsin(sin 3);(5)sin(arcsin 3) 有意义的是哪几个？63并简述理由。3变式练习：(1)arccos ;(2)arccos ;(3)arccos( 2);(4)arccos(cos 6);(5)cos(arccos )434哪些有意义？为什么？3(1)arctan ;(2)arctan ;(3)arctan( 2);(4)arctan(cos 6);(5)cos(arctan ) 哪些有意义、为什么？ 434例2、 求值3 (1)arcsin23;(6)arctan 1 ;(7)arctan113(2)arcsin1;(3)arcsi

5、n ;(4)arccos ;(5)arccos22例3、用反三角函数表示下列式子中的x.1(1)sin x , x 0,;52(2)sin x ,x ,;5243(3) cosx ,x , 5258(4)tan(x ) 5,x,633注意用反三角函数表示角的步骤：先利用诱导公式把角转换到相应的反三角函数的定义域内，再用反三角函数表示。变式练习：用反三角函数表示下列式子中的x.331 ) sin x ( x )422 ) tan x 3,x 0,2 例 4 求下列函数的反函数。x(1)y 2sin (0 x );231(2) y arccos(2x 1)(0 x );2(3) y 2 arcta

6、n x.例 5 求下列函数的定义域和值域1(1)y arcsin(2 x 1);2(2) y arcsin( x 3);62(3) y 2arccos( x x 1);2(4) y arctan( x 2x).例 6、满足arccos(1-x) arccosx的 x 的取值范围是( )A. -1,-2B.- 1 ,0 2C1. 0,2D.1 ,1 2例 7、已知cos2 = 725, (0,),sin 25-, ( ,1332 )求 + ( 用反三角函数表示).l 1 和 l 2 的交点个数是(例8、 记函数 y= 1 的图像为l 1， y=arctanx 的图像为l 2，那么xA. 无穷多个

7、B.2 个 C.1 个 D.0 个【课堂总结】注意本节内容在理解与应用中常见的错误是：1 、不清楚反三角函数存在的条件，导致解题错误；2、不在规定定义域内运用反三角函数的性质。【课后练习】1 、函数y 2arcsin( x 3) 的定义域为，值域为2 、 arcsin 1 arcsin( 3)。13、若sin x ,x , ，则 x。3234、 tan(arccos arctan 3)5、设4 , 则 arccos(cos )36、下列各式中正确的是(A、B、55 arcsin( )66sin(arcsin )C、3arcsin(sin )D、tan( arcsin 0) 07、若sin(ar

8、ccos x) x，则 x 的取值范围是(A、,22,02、 0,1 D、 -1,118、在ABC中，若cosA ,则A为1A、 arccos B31arccos C1 arccos3D 、 arccos1 或 31 arccos39、 arccoscos( ) 的值等于(4A、B、43C、D、4410、若arcsin(sin 4) ，则等于(A、 4 B 、 -4 C 、4 D、 4311、在区间,1上与函数y=x 的图像相同的函数是：2A、y arccos(cosx)B、y arcsin(sin x)sin(arcsin x)D、y cos(arccosx)12、求下列函数的定义域和值域。xy arcsin332y arccos( x x 1)3)y