直线方程课件

1、 如果直线如果直线l沿沿x轴负方向平移轴负方向平移3个单位个单位,再沿再沿y轴正方向轴正方向平移平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的的斜率是斜率是 复习3方向向量方向向量 经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线的方向向量是 ，其坐标为 ，若直线的斜率为k (x1x2)，则直线的方向向量是 (x2x1，y2y1)(1，k) 4.直线的截距直线的截距 直线直线l与与x轴轴、y轴分别交于点轴分别交于点A(a,0)和和B(0,b)a、b分别叫直线分别叫直线l在在x轴和轴和y轴上的截距轴上的截距.截截距距 ，也可能等于，也可能等于 .可正可负可

2、正可负零零复习：复习：简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。答：答：（1）已知直线上的一点和直线的倾）已知直线上的一点和直线的倾 斜角（斜率）可以确定一条直线。斜角（斜率）可以确定一条直线。 （2）已知两点可以确定一条直线。）已知两点可以确定一条直线。y=kx+b)(11xxkyy 112121xxyyxxyy1 byax点斜式点斜式:斜截式斜截式:两点式两点式:截距式截距式:Ax + By +C 0(A,B 不同时为不同时为0 )一般式一般式直线方程的关系直线方程的关系一一.直线方程的几种形式：直线方程的几种形式：a=b=0时时,y=kx 不垂直

3、不垂直x,y轴和过原轴和过原点点x,y轴上截距为轴上截距为分别分别a,b截距式截距式A,B,C为为0时时,直线的特点直线的特点 任意直线任意直线 A,B不同时为不同时为0 Ax+By+C=0 一般式一般式 x1=x2时时,x=x1y1=,y2时时,y=,y1 不垂直不垂直x,y轴轴 (x1,y1), (x2,y2)是直线是直线上两定点且上两定点且(x1x2 ,y1,y2) 两点式两点式 k不存在时不存在时, x= x0 k存在存在 斜率为斜率为k, y轴轴上截距为上截距为by=kx+b 斜截式斜截式 k不存在时不存在时, x= x0 k存在存在 斜率为斜率为k,过定过定点点 (x0,y0)y-

4、y0=k(x-x0) 点斜式点斜式 备注备注 适用范围适用范围 已知条件已知条件 方程形式方程形式 直线名称直线名称 121121xxxxyyyy1byax若点若点P1，P2的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线，且线段段P1P2 的中点的中点M的坐标为的坐标为(x，y)，则，则二、线段的中点坐标公式二、线段的中点坐标公式直接法和待定系数法直接法和待定系数法A(-2,0),B(0,3)设直线设直线l经过点经过点 两点，两点，你能写出几种形式的直线你能写出几种形式的直线l的方程？的方程？ 例例1:直接法直接法 ABC的顶点是的顶点是A（- -5，0），），B（3，- -3）

5、，）， C（0，2），求这个三角形三边所在的直线方程。），求这个三角形三边所在的直线方程。C 2A -53BO-3xy例例2:求适合下列条件的直线的方程：求适合下列条件的直线的方程：(1)在在y轴上的截距为轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是，倾斜角的正弦值是 ; (2)若直线过（若直线过（1 1，0 0），且直线的方向向量为），且直线的方向向量为 a=a=（1 1，2 2），求直线的方程），求直线的方程. .3.下列四个命题中，真命题是下列四个命题中，真命题是( )A.经过定点经过定点P0( x0 ,y0 )的直线都可用方程的直线都可用方程y-y0=k( x-x0 )表示表示B.经过两不同点经过

6、两不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用的直线都可用方程方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示表示C.不经过原点的直线都可以用方程不经过原点的直线都可以用方程 表示表示D.经过点经过点A(0,b)的直线都可以用方程的直线都可以用方程 y=kx+b表示表示1xyabB 4过点过点A(3,1)，倾斜角的余弦为，倾斜角的余弦为0的直线方程是的直线方程是() Ax3 By1 Cy3 Dx1A5已知直线的倾斜角是已知直线的倾斜角是60，在，在y轴上的截距是轴上的截距是5， 则该直线的方程为则该直线的方程为_53 xy6已知直线已知直线l过点过点P(2,3)，它的

7、一个方向向量为，它的一个方向向量为 a(2,4)，则直线，则直线l的方程为的方程为_2xy70求经过点求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；相等的直线方程；例例3:待定系数法待定系数法（8）直线过点（直线过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距），且在两坐标轴上的截距 之和为之和为12；（9）直线过点（直线过点（5，10），且原点到直线的距离为），且原点到直线的距离为5.例例4: 已知直线已知直线l过点过点P(3,2)，且与，且与x轴、轴、y轴的正半轴的正半轴分别交于轴分别交于A、B两点，如右图所示，求两点，如右图所示，求ABO的的面积的最小值及此时直线

8、面积的最小值及此时直线l的方程的方程 直线被两条直线直线被两条直线l1:y=1和和l2:x-y-7=0 截得的线段中点为截得的线段中点为P(1,-1),求该直线的方程求该直线的方程.例例5:y=1x-y-7=0P(1,-1),若一直线被直线若一直线被直线l1:4x+y+6=0和和l2:3x-5y-6=0截得的线段的截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这中点恰好在坐标原点，求这条直线方程条直线方程.求经过点求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；相等的直线方程；例例3:待定系数法待定系数法（8）直线过点（直线过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距），且在两坐

9、标轴上的截距 之和为之和为12；（9）直线过点（直线过点（5，10），且原点到直线的距离为），且原点到直线的距离为5.两直线的位置关系两直线的位置关系斜截式斜截式一般式一般式方程方程A1xB1yC10A2xB2yC20相交相交垂直垂直 平行平行重合重合yk1xb1yk2xb221kk A1B2-A2B10.121kkA1A2+B1B20.2121,bbkk2121,bbkk斜率存斜率存在！在！1.以下命题中的真命题是（以下命题中的真命题是（ ）A平行直线的倾斜角相等平行直线的倾斜角相等 B平行直线的斜率相等平行直线的斜率相等C互相垂直的两直线的倾斜角互补互相垂直的两直线的倾斜角互补 D互相垂直

10、的两直线的斜率互为相反互相垂直的两直线的斜率互为相反练习A斜率相等是两直线平行的斜率相等是两直线平行的 条件条件 既不充分也不必要既不充分也不必要例例1: 已知两直线已知两直线l1：mx8yn0和直线和直线l2：2xmy10，试确定，试确定m，n的值，使的值，使(1)l1l2；(2)l1l2且且l1在在y轴上的截距为轴上的截距为1.两条直线的平行与垂直的判定两条直线的平行与垂直的判定 1.已知直线已知直线l1：(a2)x3ya0， l2：ax(a2)y10. (1)当当l1l2时，求时，求a的值及垂足的坐标；的值及垂足的坐标； (2)当当l1l2时，求时，求a的值的值2.已知直线已知直线l1：

11、(k3)x(4k)y10与与l2：2(k3)x2y20平行，则平行，则k的值是的值是 () A5或或3B1或或5 C3 D1或或2C3直线直线l1：axy3，l2：xbyc0，则，则ab1 是是l1l2的的 () A充要条件充要条件B充分不必要条件充分不必要条件 C必要不充分条件必要不充分条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件C2.2.若点（若点（5 5，b b）在两条平行直线）在两条平行直线6x-8y+1=06x-8y+1=0与与 3x-4y+5=03x-4y+5=0之间，则整数之间，则整数b b的值为的值为 （ ） A.5 B.-5 C.4 D.-4A.5 B.-5 C.4 D.

12、-4C4已知已知l1的倾斜角为的倾斜角为45，l2经过点经过点P (2，1)，Q (3，m)，若，若l1l2，则实数，则实数m_.6A5. “m-1”是是“直线直线mx(2m1)y10和和直线直线3xmy30垂直垂直”的的 ( )A充分而不必要条件充分而不必要条件B必要而不充分条件必要而不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件若直线若直线 和和直线直线 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，求与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，求实数实数 的值的值.02052 yx0102 ymxm例例2:1.这是一道已知两直线的位置关系求某这是一道已知两直线的位置关系求某系数的问

13、题系数的问题.法一用两直线的斜率关系，法一用两直线的斜率关系，法二用了项的系数关系法二用了项的系数关系.2.两直线的斜率关系公式要在两直线的两直线的斜率关系公式要在两直线的斜率都存在的前提下才好用，否则分类斜率都存在的前提下才好用，否则分类讨论；讨论；3.当给出的是斜截式方程，可以用法一；当给出的是斜截式方程，可以用法一；当给出的是一般式方程，用法二较方便当给出的是一般式方程，用法二较方便.点评：点评： 1.（2009安徽）安徽）直线直线l过点（过点（-1，2）且与）且与 直线直线2x-3y+4=0垂直，则垂直，则l的方程是（的方程是（ ） A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0 C.2

14、x-3y+5=0D.2x-3y+8=0A2. (2008全国全国)设曲线设曲线y=ax2在点在点(1,a)处的处的切线与直线切线与直线2x-y-6=0平行平行,则则a=( ) A.1 B.2 C.- 2 D.-1 A 一条直线过点一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线且被两条平行直线4x3y10和和4x3y60截取的线段长截取的线段长为为 ，求这条直线的方程，求这条直线的方程 2例例4:已知两条直线已知两条直线l1：axby40和和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的，求满足下列条件的a，b 的值的值(1)l1l2，且，且l1过点过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距

15、离相等，且坐标原点到这两条直线的距离相等引例引例:两直线的交点坐标两直线的交点坐标与与距离公式距离公式将两条直线的方程联立将两条直线的方程联立11122200AxB yCA xB yC方程组有唯一解方程组有唯一解两条直线相交两条直线相交方程组无解方程组无解两条直线平行两条直线平行方程组有无数解方程组有无数解两条直线重合两条直线重合一一.两条直线的交点两条直线的交点1.两两点的距离公式：点的距离公式：2. 点到直线的距离公式为：点到直线的距离公式为：3. 两条平行线两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离为：的距离为：二、二、距离距离212212)()(yyxxAB

16、2200BACByAxd2221BACCd 求经过直线求经过直线 ： 和和 直线直线 ： 的交点，且的交点，且（1）垂直于直线）垂直于直线 ： 的直线的直线 的方程的方程;（2）平行于直线）平行于直线 ： 的直线的直线 的方程的方程;0123yx1l2l0125yx3l3l0653 yx例例1.0653 yx练习练习1： 求经过两直线求经过两直线l1：x2y40和和l2： xy20的交点的交点P，且与直线，且与直线l3： (1）3x4y50垂直的直线垂直的直线l的方程的方程（2）3x4y50平行的直线平行的直线l的方程的方程.1 1对于直线对于直线l l1 1：AxAxByByC C0 0，(

17、1)(1)若若l l2 2l l1 1，则，则l l2 2可设为可设为A Ax xB By ym m0(0(m mC C) )(2)(2)若若l l2 2l l1 1，则，则l l2 2可设为可设为B Bx xA Ay yn n0.0.2 2经过两相交直线经过两相交直线A A1 1x xB B1 1y yC C1 10 0和和A A2 2x xB B2 2y yC C2 20 0的交点的直线系方程为的交点的直线系方程为A A1 1x xB B1 1y yC C1 1( (A A2 2x xB B2 2y yC C2 2) )0(0(这个直线系方程中不包括直线这个直线系方程中不包括直线A A2

18、2x xB B2 2y yC C2 20.)0.)?0)22(243 ,. 2图形有何特点表示什么图形方程变化时当例yxyx(21)(3)(4) 0 xy 不论 取何实数，直线都过定点练习：练习：(1, 1) 1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握公式，应熟练掌握2点到几种特殊直线的距离点到几种特殊直线的距离(1)点点P(x0，y0)到到x轴的距离轴的距离d|y0|.(2)点点P(x0，y0)到到y轴的距离轴的距离d|x0|.(3)点点P(x0，y0)到与到与x轴平行的直线轴平行的直线ya的距离的距离d|y0a|.(

19、4)点点P(x0，y0)到与到与y轴平行的直线轴平行的直线xb的距离的距离d|x0b|.例例3:要注意斜要注意斜率不存在率不存在哦！哦！ 已知点已知点P(2，1)(1)求过求过P点且与原点距离为点且与原点距离为2的直线的直线l的方程；的方程；(2)求过求过P点且与原点距离最大的直线点且与原点距离最大的直线l的方程，的方程，最大距离是多少？最大距离是多少？(3)是否存在过是否存在过P点且与原点距离为点且与原点距离为6的直线？若的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由存在，求出方程；若不存在，请说明理由 已知直线过点已知直线过点 (3，4)且与点且与点 (-2,2), (4,-2)等距离等距

20、离,求该直线求该直线方程方程.PAB例例.ABPyxo2与与A(1,1)，B(2,2)距离都等于距离都等于 的直线的条数为的直线的条数为_条条AB 两条平行线分别过点两条平行线分别过点A（6，2）、）、B（-3，-1）并并各自绕点各自绕点A、B旋转，旋转，d表示两直线间的距离表示两直线间的距离.（1）求）求 d 的取值范围的取值范围 （2）当）当 d 取最大时，求两直线的方程取最大时，求两直线的方程.yxo例例.练习练习2 2、若三条直线、若三条直线4x+y+4=0,mx+y+1=0 x4x+y+4=0,mx+y+1=0 xy+1=0y+1=0不能围成三角形，求不能围成三角形，求m m的值的值

21、. .m=4或或1或或11 1、两条直线、两条直线y=kx+2k+1y=kx+2k+1和和x+2y-4=0,x+2y-4=0,的交点的交点 在第四象限，则的取值范围是在第四象限，则的取值范围是. .若直线（若直线（2m2m2 2+m-3+m-3）x+(mx+(m2 2-m)y=4m-1-m)y=4m-1在在x x轴轴上的截距为上的截距为1,1,则实数则实数m m是是 ( )( ) A.1 B.2 C. D.2 A.1 B.2 C. D.2或或2121D1（08年全国）原点到直线年全国）原点到直线x+2y5=0的距离为的距离为( )A1 B C2 D352.(2010北京高考北京高考)若点若点P

22、(m,3)到直线到直线4x3y10的距离为的距离为4，且点，且点P在不等式在不等式2xy3表示的平面区域表示的平面区域内，则内，则m_.3D3.(2009全国全国)若直线若直线m被两平行线被两平行线l1：xy10与与l2：xy30所截得的线段的所截得的线段的长为长为则则m的倾斜角可以是的倾斜角可以是()1530 45 60 75其中正确答案的序号是其中正确答案的序号是_(写出写出所有正确答案的序号所有正确答案的序号)2220 xxy0 xy10 xy 10 xy 10 xy 10 xy 4.（08广东）经过圆广东）经过圆的圆心的圆心C，且与，且与直线直线 垂直的直线方程是（垂直的直线方程是（

23、）A、 B 、C 、 D 、 C5. (2008全国全国)设曲线设曲线y=ax2在点在点(1,a)处的处的切线与直线切线与直线2x-y-6=0平行平行,则则a=( ) A.1 B.2 C.- 2 D.-1 A 3yx0901133yx 113yx 33yx113yx6.（08四四）直线）直线绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转 ,再向右平移个单位，所得到的直线为再向右平移个单位，所得到的直线为( )、 B、 C 、 D、A6.6.（20102010安徽安徽) )过点（过点（1 1，0 0）且与直线）且与直线x-2y-2=0 x-2y-2=0平行的直线方程是平行的直线方程是( )( )(A) x-2

24、y-1=0 (B)x-2y+1=0(B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (C)2x+y-2=0 (D) x+2y-1=0 B对 称 问 题(1)点关于点对称点关于点对称 点关于点成中心对称的对称中心恰是点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.CBA),(B),(A的坐标的对称点点点关于试求已知点例1485:（3，-6）.),(Cyxyx，)y, x(C:为所求点坐标为得由中点坐标公式有点坐标为设解6363281254练习练习:设设P（x0，y0），

25、对称中心为），对称中心为A（a，b），则），则P关于关于A的对称点为的对称点为P（2ax0，2by0）.1.点点A (3， 1) 关于点关于点B（2，1）的对称点是）的对称点是 。 ),( ),(abMbaM，的坐标是关于原点对称的点点特殊地2、点关于直线的对称点问题（1）明确点A关于直线l对称的点A之间的关系。（2）能够求出点关于直线对称之后得到的点的坐标。 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线垂直平分线”.利用利用“垂直垂直”“”“平分平分”这两个条件这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形

26、如下：一般情形如下： 设点设点P（x0，y0）关于直线）关于直线y=kx+b的的对称点为对称点为P（x，y），）， 20yy 则有则有 00 xxyyk=1， =k 20 xx +b 可求出可求出x、y.0942)2 , 2(的对称点坐标关于直线求点 yxA解法一解法一、过点、过点A A（2 2，2 2）关于直线）关于直线2x-4y+9=02x-4y+9=0的对称点为的对称点为AA（x x0 0,y,y0 0) )两点所在的直线两点所在的直线ll与原与原直线是相互垂直的，那么就可以求出直线直线是相互垂直的，那么就可以求出直线ll的的方程，从而求出两条直线的交点，也就再利用方程，从而求出两条直线

27、的交点，也就再利用中点坐标公式求出对称点。中点坐标公式求出对称点。解法二解法二、设所求的点是、设所求的点是AA（a,b),a,b),利用利用A A与与AA两点连线与原直线垂直关系，得出两点所两点连线与原直线垂直关系，得出两点所在直线的斜率，又利用中点坐标公式求出中点，在直线的斜率，又利用中点坐标公式求出中点，代入原方程，求出对称点即求出相应的代入原方程，求出对称点即求出相应的a a与与b b。例例2:1.若点若点P(3,4)、点、点Q（a,b)关于直线关于直线x-y-1=0对对称，则称，则( )A.a=1,b=2 B.a=2,b=-1C.a=4,b=3 D.a=5,b=2D2.已知已知A(7,

28、 4)关于直线关于直线l的对称点为的对称点为B(5, 6)，则直线，则直线l的方程是的方程是( ) A. 5x+6y11=0 B. 6x5y1=0 C. 6x+5y11=0 D. 5x6y+1=0B3.3.光线自点光线自点M M（2 2，3 3）射到）射到N N（1 1，0 0）后被）后被x x轴反轴反射，则反射光线所在的直线方程为射，则反射光线所在的直线方程为 （ ） A.yA.y=3x=3x-3 B.y-3 B.y=-3x+3=-3x+3 C.y C.y=-3x=-3x-3 D.y-3 D.y=3x+3=3x+3 B1.点点P(x,y)关于关于X轴轴的对称点的对称点Q的坐标的坐标为为(-x

29、,y)特殊的对称特殊的对称2.点点P(x,y)关于关于y轴轴的对称点的对称点Q的坐标的坐标为为(x,-y)3.点点P(x,y)关于关于直线：直线：y=x的对称点的对称点Q的坐标为的坐标为(y,x)4.点点P(x,y)关于关于直线：直线：y=-x的对称点的对称点Q的坐标为的坐标为(-y,-x)3 3、直线关于点的对称直线问题、直线关于点的对称直线问题（1）直线关于点的对称问题主要体现在求出直线关于点对称后的新的直线的方程。（2）常用的思想就是点关于点对称的问题。如何理解？（同学们给出结论）.C)y(B)x(AOCByAx)(003对称直线是的关于原点能理解直线（4）直线l关于点A对称后得到的新的直线l与原直线l有什么关系？.) 1, 2(043对称的方程关于点求直线Pyx提示：1、使用点关于点对称的问题入手. 2、使用直线关于点对称得到的直线与原直线平等，则对称点到两直线的距离相等的问题来解。)yx(0103例例3:4、直线关于直线的对称直线问题（1）直线关于直线的对称的类型可分为几种？答：相交对称和平行对称（2）要掌握直线关于直线的对称直线的求