理学第一张行列式学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)第一张行列式第一张行列式第一页，共66页。2022-5-72线性代数(xin xn di sh)的主要研究内容：1. 线性方程组求解(qi ji)；2. 求二次型的最简型。主要研究(ynji)工具：1. 行列式；2. 矩阵；3. 向量。第1页/共66页第二页，共66页。2022-5-73线性代数(xin xn di sh)的主要特点：1. 概念多；2. 符号(fho)多；3. 运算法则多.一.二. 内容纵横交错(zng hng jio cu)，前后联系紧密; 环环相扣，相互渗透; 对抽象性和逻辑性有较高要求.三. 第2页/共66页第三页，共66页。2022-5-74已

2、知二元线性（一次）方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x元用消元法求解(qi ji)第3页/共66页第四页，共66页。2022-5-75;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.2112221121

3、12112aaaaabbax 观察上式不难发现：解的分子、分母(fnm)形式十分相似，为方便记忆，引入行列式的概念。第4页/共66页第五页，共66页。2022-5-76四四个个数数参参加加运运算算得得到到的的由由22211211,aaaa称称为为二二阶阶行行列列式式，数数21122211aaaa 即.2112221122211211aaaaaaaaD 22211211aaaa并并记记作作第5页/共66页第六页，共66页。2022-5-7711a12a22a12a主对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算(j sun)若记,22211211aaaaD .,2222121121

4、2111bxaxabxaxa对于(duy)二元线性方程组系数行列式第6页/共66页第七页，共66页。2022-5-78 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD 第7页/共66页第八页，共66页。2022-5-79 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .2211112babaD 第8页/共66页第九页，共66页。2022-5-710 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .2211112babaD 已知二元线性方程组,22211211aaa

5、aD 可计算(j sun)出第9页/共66页第十页，共66页。2022-5-711则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意 分母(fnm)都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 第10页/共66页第十一页，共66页。2022-5-712 . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 第11页/共66页第十二页，共66页。2022-5-713已知三元(sn

6、 yun)线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法求解(qi ji)可得到类似的结果DDxDDxDDx332211,只不过，这里要引入三阶(sn ji)行列式的概念第12页/共66页第十三页，共66页。2022-5-714333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为(c

7、hn wi)数表（5）所确定的三阶行列式.第13页/共66页第十四页，共66页。2022-5-715333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意(zh y) 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明(shumng)1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三阶行列式的计算(j sun)_对角线法则第14页/共66页第十五页，共66页。2022-5-716 如果(rgu)三元线性方程组 ;,33332321312323222121131321211

8、1bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数(xsh)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解(qi ji)三元线性方程组 2. 三阶行列式包括3!项;每项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积;其中三项为正,三项为负.第15页/共66页第十六页，共66页。2022-5-717 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或 121bbb第16页/共66页第十七

9、页，共66页。2022-5-718 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 同理得,3323122221112113baabaabaaD 第17页/共66页第十八页，共66页。2022-5-719,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元(sn yun)线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,33323232221312

10、11aabaabaabD 第18页/共66页第十九页，共66页。2022-5-7202-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则(fz)，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第19页/共66页第二十页，共66页。2022-5-721. 094321112 xx求解方程求解方程方程(fngchng)左端1229184322 xxxxD, 652 xx3.2 xx或或解得由0652 xx第20页/共66页第二十一页，共66页。2022-5-722例4 解线性方程组 . 0, 132, 2232132132

11、1xxxxxxxxx由于(yuy)方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 第21页/共66页第二十二页，共66页。2022-5-723同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx第22页/共66页第二十三页，共66页。2022-5-724 二阶和三阶(sn ji)行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332

12、112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa第23页/共66页第二十四页，共66页。2022-5-725 使求一个二次多项式,xf .283, 32, 01 fff第24页/共66页第二十五页，共66页。2022-5-726解设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意(t y)得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数 的线性方程组,即：cba,28393240cbacbacba第25页/共66页第二十六页，共66页。2022-5-727故所求

13、多项式为 . 1322 xxxf, 020 D.20,60,40321 DDD, 21 DDa, 32 DDb13 DDc第26页/共66页第二十七页，共66页。2022-5-728 线性方程组的未知数往往不止两个、三个，为了研究 n 元线性方程组的求解问题，需将二阶、三阶(sn ji)行列式的概念进行推广，因此先研究排列和它的性质。第27页/共66页第二十八页，共66页。2022-5-729引例(yn l)用1、2、3三个数字，可以组成多少(dusho)个没有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有6123 第28页/共66页第二十九

14、页，共66页。2022-5-730同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题(wnt)定义(dngy)1把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.nnP由引例61233PnPn )1( n)2( n123 !.n 同理第29页/共66页第三十页，共66页。2022-5-731 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如(lr) 排列32514 中， 定义(dngy)2我们规定n 个自然数 1,2,n 按由小到大次序排列称为自然次序、

15、标准(biozhn)次序或顺序.排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序第30页/共66页第三十一页，共66页。2022-5-732定义3 一个(y )排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如(lr) 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序数(xsh)为31010故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.第31页/共66页第三十二页，共66页。2022-5-733计算排列逆序数(xsh)的方法方法(fngf)1分别计算出排在 1,2,n-1 前面比它大的数的个数即分别算出1,2, ,n-1 这n个元素的逆序数，这n-1个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.定义4 逆序数为奇数(

16、j sh)的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性第32页/共66页第三十三页，共66页。2022-5-734从排列第二个元素(yun s)起，分别计算出它前面比它大的元素(yun s)个数，即算出排列中每个元素(yun s)的逆序数，这每个元素(yun s)的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法(fngf)2例1 求排列(pili)32514的逆序数.解在排列32514中,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;第33页/共66页第三十四页，共66页。2022-5-7353 2 5 1 41 0 3 1于是(ysh)排列32514的逆序数为13010 t. 5 5

17、的前面(qin mian)没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面(qin mian)比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;第34页/共66页第三十五页，共66页。2022-5-736例2 计算下列排列(pili)的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 2179863541解453689712544311 t18 此排列(pili)为偶排列(pili).54 100134 0 0第35页/共66页第三十六页，共66页。2022-5-737 321212 nnn解12 ,21 nn当 时为偶排列；14 ,4 kkn当 时为奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n

18、32121 nnn1 n 2 n第36页/共66页第三十七页，共66页。2022-5-738 kkkkkk132322212123 解0 t kkk 21112,2k 当 为偶数时，排列为偶排列，k当 为奇数时，排列为奇排列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k第37页/共66页第三十八页，共66页。2022-5-739定义(dngy)5一个排列(pili)中交换某两个元素的位置，其他元素不变称为排列(pili)的对换将相邻两个元素对调(dudio)，叫做相邻对换mlbbbaaa11例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111

19、nmlccabbbaa111baab第38页/共66页第三十九页，共66页。2022-5-740定理1对换(du hun)改变排列的奇偶性证明(zhngmng):设排列(pili)为mlbbabaa11对换 与abmlbbbaaa11除 外，其它元素的逆序数不改变.b ,aabba0)12345(t1)21345(t2)21354(t21354 21345 12345第39页/共66页第四十页，共66页。2022-5-741当 时，ba ab的逆序数不变;经对换后 的逆序数增加1 ,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列(pili)改变奇偶性.设排列(pil

20、i)为nmlcbcbabaa111当 时，ba 现来对换 与a.b第40页/共66页第四十一页，共66页。2022-5-742次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换(du hun)，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab第41页/共66页第四十二页，共66页。2022-5-743定理2 所有的n级排列中，奇偶(q u)排列各半，均为 n!/2.定理3 任意n级排列，均可经一系列对换变成自然排列，且所做对换次数(csh)与原

21、排列有相同的奇偶性。第42页/共66页第四十三页，共66页。2022-5-7442 排列(pili)具有奇偶性，且奇偶排列(pili)个数相等.3 计算排列逆序数(xsh)常用的方法有2 种.1 个不同的元素的所有排列个数为n!.n第43页/共66页第四十四页，共66页。2022-5-745分别(fnbi)用两种方法求排列16352487的逆序数.第44页/共66页第四十五页，共66页。2022-5-746思考题解答(jid)解用方法(fngf)11 6 3 5 2 4 8 7 用方法(fngf)201012130 t8 由前向后求每个数的逆序数. 810231100 t第45页/共66页第四

22、十六页，共66页。2022-5-747第46页/共66页第四十七页，共66页。2022-5-748333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明(shumng)（1）三阶行列式共有 项，即 项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素(yun s)乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行、不同列 的三个元素的下标排列的奇偶性第47页/共66页第四十八页，共66页。2022-5-749例如(lr)322113aaa列标排列(pili)的逆序数为 , 211312 t

23、322311aaa列标排列(pili)的逆序数为 , 101132 t偶排列奇排列正号正号 ,负号负号 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 第48页/共66页第四十九页，共66页。2022-5-750nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同

24、列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义(dngy).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa第49页/共66页第五十页，共66页。2022-5-751为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 第50页/共66页第五十一页，共66页。2022-5-752说明(shumng)1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同(xin tn)

25、的一次方程组的需要而定义的，它的实质是一 元的函数；2、 阶行列式是 项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;nn4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为nnpppaaa2121 .1t nn第51页/共66页第五十二页，共66页。2022-5-753例1计算(j sun)副对角行列式0004003002001000分析(fnx)展开式中项的一般(ybn)形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa否则这个项为零，所以 只能等于 , 1p4同理可得1, 2, 3432 ppp解第52页/共66页第五十三页，共66页

26、。2022-5-7540004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例2 计算(j sun)上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211线元素乘积不一定等于负的副对角阶副对角行列式的值并n第53页/共66页第五十四页，共66页。2022-5-755分析(fnx)展开式中项的一般(ybn)形式是.2121nnpppaaa, 1, 2, 1,121ppnpnpnn乘积(chngj)不为零等于.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解所以只有当第54

27、页/共66页第五十五页，共66页。2022-5-756例3?8000650012404321 D0001002002009002010000D20100000000020090020001000D第55页/共66页第五十六页，共66页。2022-5-757同理可得下三角(snjio)行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 第56页/共66页第五十七页，共66页。2022-5-758n 21 .12121nnn ;21n n 21例4 证明(zhngmng)对角行列式第57页/共66页第五十八页，共66页。2022-5-759n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明(zhngmng)第一(dy)式是显然的,下面证第二式.若记,1, iniia 则依行列式定义(dng